1、2021届高三数学第一学期期末考试数学试卷卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据交集子集的概念即可得到答案【详解】集合， 故选:A2. 设，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运
2、算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4. ，且，则（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】C【解析】【分析】根据题中条件，由不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为，且，所以，；故C正确；若，则，故A错；若，则，故B错；若，则与无意义，故D错；故选：C.5. 已知 （0，），2sin2=cos2+1，则sin=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案【详解】，又，又，故选B【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉6. 执行如图
4、所示的程序框图，输出的s值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次， ， ，运行第二次， ， ，运行第三次， ， ，结束循环，输出 ，故选B【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.7. 已知数列an满足a1=1，an+1=2an，则a4=（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】由已知可得通项公式，即可求a4的值.【详解】由题意an+1=2an可知，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，故可得数列的通项公式为， 故选：B.【点睛】本题考查了等比数列，由定义法求等比
5、数列通项公式，进而求项，属于简单题.8. 函数在区间上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的奇偶性，可判断AB错误；再取特殊值可判断D错误.【详解】因为，则，即为偶函数，其函数图象关于轴对称，据此可知选项AB错误；且当时，据此可知选项D错误.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9. 已知，则的最小值是（ ）A. B. 4C. D. 5
6、【答案】C【解析】【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得的最小值.【详解】因为，所以（当且仅当，即时等号成立）.所以的最小值是.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10. 已知向量 ，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.11
7、. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ）小时A. 22B. 23C. 24D. 33【答案】C【解析】由题意可得：，解得：该食品在33的保鲜时间是24小时故选C12. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则的解集是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式可化为，利用单调性解不等式即可.【详解】因为，所以函数在区间上单调递减不等式可化为，即，解得故选：C【点睛】关键点睛：解决本题
8、的关键是由导数公式得出函数的单调性，利用单调性解不等式.卷II（非选择题） 二、填空题（本题共计4小题，每题5分 ，共计20分 ） 13. 已知，向量，若与共线，则_.【答案】【解析】【分析】首先求出，再根据平面向量共线的坐标公式计算即可得到答案.【详解】，因为与共线，所以，解得.故答案为：14. 若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束
9、条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.15. 已知向量的夹角为，则_.【答案】【解析】【分析】由平面向量数量积定义求得，利用，结合平面向量数量积的运算律可求得结果
10、.【详解】，.故答案：.16. 定义在实数集R上的函数满足，且，现有以下三种叙述：8是函数的一个周期；的图象关于直线对称；是偶函数其中正确序号是_ .【答案】【解析】试题分析：由，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由，得的图像关于直线对称；由与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题（本题共计6小题，共计70分 ） 17. 已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值【答案】（）an=1+（n1）（2）=32n（）k=7【解析】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d
11、，然后根据首项为1和第3项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值解：（I）设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d由a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，从而，an=1+（n1）（2）=32n；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，进而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，
12、又kN+，故k=7为所求点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.19. 已知向量（1）若，求x的值；（2）记，求函数yf（x）的最大值和最小值及对应的x的值【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.【解析】【分析】
13、（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值（2）根据求解求函数yf（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值【详解】解：（1）向量由，可得：，即，x0，（2）由x0，当时，即x0时f（x）max3；当，即时【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键20. 等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.（1）求数列an的通项公式.（2）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质
14、可得，代入可求得的值，代入，可求出的值，从而求出通项公式.（2）把代入可得，取到数裂项相消可求出的前项和.【详解】解:（1），即，所以，又因为所以又因为，所以，所以.所以(2) 因为所以 设数列的前项和为，则所以的前项和为.【点睛】易错点睛：裂项相消时注意前后的保留项（1）前面保留的项数和后面保留的项数要一致；（2）裂项相消时注意常数的提取，一般情况下分母的差是几，所提常数就是几.21. 已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】（1）a=1；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过分析可知f（x）0等价于h（x）axalnx0，进而利用h（x）a可得h（x）minh
15、（），从而可得结论；（2）通过（1）可知f（x）x2xxlnx，记t（x）f（x）2x2lnx，解不等式可知t（x）mint（）ln210，从而可知f（x）0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）f（）【详解】（1）解：因为f（x）ax2axxlnxx（axalnx）（x0），则f（x）0等价于h（x）axalnx0，求导可知h（x）a则当a0时h（x）0，即yh（x）在（0，+）上单调递减，所以当x01时，h（x0）h（1）0，矛盾，故a0因为当0x时h（x）0、当x时h（x）0，所以h（x）minh（），又因为h（1）aaln10
16、，所以1，解得a1；另解：因为f（1）0，所以f（x）0等价于f（x）在x0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x1处是极小值，所以解得a1；（2）证明：由（1）可知f（x）x2xxlnx，f（x）2x2lnx，令f（x）0，可得2x2lnx0，记t（x）2x2lnx，则t（x）2，令t（x）0，解得：x，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，所以t（x）mint（）ln210，从而t（x）0有解，即f（x）0存在两根x0，x2，且不妨设f（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x02lnx0
17、0，所以f（x0）x0x0lnx0x0+2x02x0，由x0可知f（x0）（x0）max；由f（）0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）f（）；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）22【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求直线与曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为；（2）或2.【解析】【分析】（1）利用消去参数可得曲线的普通方程，将代入直线方程可得直线的普通方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式建立关系可求出.【详解】（1）由得，平方相加利用消去参数可得，故曲线的普通方程为，将代入直线方程得，故直线的普通方程为；（2）可知曲线是以为圆心，3为半径的圆，则圆心到直线的距离，解得或2.