1、第1章 空间向量与立体几何 知识系统整合 规律方法收藏一、空间向量及其运算1空间向量的概念(1)在空间中，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)，始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的，两个向量相等的充要条件是大小相等、方向相同(2)空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段表示向量的有向线段表示，使向量与几何图形产生了必然的联系，为运用向量解决几何问题奠定了基础2空间向量的运算(1)空间向量可以进行加、减、数乘和数量积等运算，各种运算的性质与平面向量的运算性质基本相同在向量的数量积运算中，不满足结合律(2)空间向量可以进行代数运算、几何运
2、算代数运算与实数运算基本相同；几何运算赋予向量运算以明确的几何意义和物理意义3空间向量中的一些重要结论(1)空间向量共线、垂直的充要条件：abab(R，b0)；abab0.(2)空间向量共面的充要条件：p，a，b共面pxayb(a，b不共线，x，yR)(3)空间向量基本定理：给定空间一个基底a，b，c，对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使pxaybzc.(4)空间向量的数量积及夹角公式：ab|a|b|cosa，b；cosa，b.二、空间向量的坐标表示1空间坐标系在空间任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴为
3、z轴，建立空间直角坐标系，记作Oxyz.在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90能与y轴的正半轴重合2空间向量的直角坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；aba1b1a2b2a3b3；a(a1，a2，a3)；(x2x1，y2y1，z2z1)；abab0a1b1a2b2a3b30；ab(b0)ab(b1，b2，b30)3有关公式(1)模：|a|；(2)夹角：cosa，b；(3)两点间距离：|AB|.三、运用向量方法研究平行与
4、垂直1线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量2线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直3线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量4线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行；(2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题5面面平行(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；(2)转化为线面平行、线线平行问题6面面垂直(1)证明两个平面的
5、法向量互相垂直；(2)转化为线面垂直、线线垂直问题四、用向量方法求空间角和距离1求两异面直线所成的角利用公式cosa，b，但务必注意两异面直线所成角的范围是，故实质上应有cos|cosa，b|.2求线面角求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角，即可求出直线与平面所成的角，其关系是sin|cos|.3求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个半平面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大
6、小；另一种方法是转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补4空间中两点之间的距离若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB|.5点到直线的距离点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离，这一距离也等于|.6点到平面的距离的求法点P到它在一个平面内射影的距离，称为点P到这个平面的距离若A为平面内任一点，n为平面的法向量，则点P到平面的距离d. 学科思想培优一、空间向量及其运算本部分内容包括空间向量及其线性运算，共线向量与共面向量，空间向量基本定理，两个向量的数量积，这是学习立体几何的基础，也是立体几何的重点内容，通过本部
7、分的学习我们就可以很方便地使用向量工具，证明线与线、线与面、面与面的位置关系，求空间角和空间距离，把几何推导转化为向量代数运算1 向量的线性运算选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量作新的调整，如此反复，直到所有向量都符合目标要求典例1如图所示，在空间四边形OABC中，点E为BC的中点，点F在OA上，且2，则等于()A.BC.D.解析在空间四边形OABC中，点E为线段BC的中点，2，()().故选D.答案D用已知向量表示未知向量
8、，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键2 空间向量的数量积正确运用数量积公式及性质求角及距离(1)向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b；(2)向量的数量积的性质ae|a|e|cosa，e；abab0；|a|2aa；|ab|a|b|.典例2如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，求这时二面角BACD的余弦值解作DGAC于点G，BHAC于点H.在RtADC中，AC5，cosDAC.在RtAGD中，AGADcosDAC3，DG.同理，cosBCA，CH，BH.()0，()()330.又|，cos，.因此所求二面角的余弦值为.
9、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，然后转化为求这两个向量的夹角，通常取这两个向量的始点在二面角的棱上3 共线向量、共面向量运用共线向量定理和共面向量定理可以解决立体几何中的平行问题和共面问题典例3如右图，已知ABCD，从平面AC外一点O引向量k，k，k，k，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)平面AC平面EG.证明(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以，又因为kkkk()k().所以E，F，G，H四点共面(2)因为k()k，且由(1)可得k，于是EFAB，EGAC，又EFEGE，ABACA，所以平面EG平面AC.共面向量定理的应用之一是证明四点共面本题考查利用
10、共面向量定理证四点共面及利用共线向量定理证线线平行，从而证明面面平行，使问题变得更简单二、立体几何中的向量方法空间向量要解决的问题主要是用空间向量的方法解决立体几何中的基本问题，根据问题的特点，以适当的方式(如构建向量，建立空间直角坐标系)利用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系，然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系(平行、垂直、角和距离)，最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何问题1 利用向量证明平行问题(1)若直线a平面，其方向向量为a，平面的法向量是n，且an，则a.(2)若u，v分别是平面，的法向量，且uv，则.典例4已知正方体
11、ABCDA1B1C1D1，求证：AD1平面BDC1.证明以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则有D(0,0，0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，D(1,1,0)，(0,1,1)设n(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则n，n，所以即令x1，则n(1，1,1)由n(1，1,1)(1,0,1)0，知n.又AD1平面BDC1，所以AD1平面BDC1.(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量(2)证明
12、线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理证明这两个平面的法向量是共线向量2 利用向量证明垂直问题(1)若直线a的方向向量为a，直线b的方向向量为b，且ab，则ab.(2)若直线m的方向向量为m，平面的法向量是n，且mn，则m.(3)若u，v分别是平面，的法向量，且uv，则.典例5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点用向量法证明：MN平面A1BD.证明()().设a，b，c，则
13、(abc)又ba，(abc)(ba)(b2a2cbca)又A1AAD，A1AAB，cb0，ca0.又|b|a|，b2a2，b2a20.0，MNBD.同理可证，MNA1B，又A1BBDB，MN平面A1BD.(1)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直(2)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直(3)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直证明两个平面的法向量互相垂直典例6如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE
14、.证明设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a，0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，.又CDDED，平面CDE，即AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上3 利用空间向量求角(1)用方向
15、向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角时，则它的补角等于异面直线所成的角(2)用法向量求二面角时，应结合图形来判断求出的是二面角的平面角，还是它的补角(3)直线与平面所成的角用向量来求时，得到的不是线面角，而是线面角的余角(或线面角的余角的补角)应注意到线面角的取值范围为0,90典例7如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值解(1)证明：如图(a)，因为
16、四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC，同理DD1BD，因为CC1DD1，所以CC1BD，而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C，故O1O底面ABCD.(2)解法一：如图(a)，过O1作O1HOB1于点H，连接HC1.由(1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1B1D1，从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1，于是OB1平面O1HC1，进而OB1C1H，故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角不妨设AB2.因为CBA60，
17、所以OB，OC1，OB1.在RtOO1B1中，易知O1H，而O1C11，于是C1H.故cosC1HO1.即二面角C1OB1D的余弦值为.解法二：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直如图(b)，以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AB2，因为CBA60，所以OB，OC1，则O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，(，0,2)，(0,1,2)易知，n1(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量设n2(x，y，z)是平面OB
18、1C1的一个法向量，则即取z，则x2，y2，所以n2(2,2，)，设二面角C1OB1D的大小为，易知是锐角，于是cos|cosn1，n2|.故二面角C1OB1D的余弦值为.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin|cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个半平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则二面角和法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是
19、锐角还是钝角，同时要注意二面角和平面与平面所成的角范围不同，二面角是不小于0，不大于180；平面与平面所成角是不小于0，不大于90.4 利用空间向量解决存在性问题存在性问题是在一定条件下论证会不会出现某个结论这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性典例8如右图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2
20、)在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由解(1)如图，以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.依题意，得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0，0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，(1,0,1)cos，异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN.(0,1,1)，可设(0，)，又，.由ES平面AMN，得即故，此时，|.经检验，当AS时，ES平面AMN.故在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS.解决此题可先假设存在，然后将线面垂直转化为线线垂直，进而探求S点的位置
