1、向量法 一、教学背景1.1教学内容解析通过具体实例的分析，帮助学生掌握向量法解几何问题的一般方法,在过程中体会向量法的应用价值。本节课的教学重点是运用基向量法解决几何问题，而难点在于如何将几何问题转化为向量问题。因此从认知心理学的角度看，所教授的知识主要是程序性知识，当然这些知识需要与向量有关的陈述性知识为依托。本节课的上位知识是向量，特别是向量的线性运算，基本定理，数量积等相关内容。在本节课的教学过程中会涉及从一般到特殊的思想、数形结合思想、转化与化归思想以及类比推理等思维形式。1.2教学目标设置引导学生经历从具体的几何问题（如长度，角度，位置关系等）出发、不断分析，将条件与结论逐步用向量表
2、示，并利用向量运算得到向量结论，进而解决几何问题的全过程，重构向量的知识体系，体验其中蕴涵的丰富的数学思想。1.3学情分析第一个维度：学生的知识储备和方法储备：学生必修四学习了平面向量，选修2-1学习了空间向量，经过第一轮复习，学生熟悉向量的基本知识，对向量法在平面几何和空间几何中的应用有一定的了解。但对向量的工具性认识较浅，面对几何问题，基本都选择建立坐标系，用向量坐标法解决。不明白向量法的理论基础及背后所蕴含的数学思想，无法变被动应用为主动运用。第二个维度：教师优势在于态度友善，尊重和宽容课堂上的每一个人，有耐性，注重问题引导、思路分析，善于变式教学，精于将学科课程与信息技术的整合。而不足
3、在于课堂教学语言相对不够准确简练，板书不够清晰美观。1.4教学策略分析：由于教学目标重点在于数学思想方法的体会，因此在教学素材的选择上，第一，例题的来源尽量选择课本例题，习题改编，例如问题1和问题2均来源于课本，不仅突出思想，简化运算，也提醒学生高三复习要回归课本。第二，例题选择注意丰富性。向量法解决的几类几何问题，例如长度，角度和位置关系问题都有涉及，帮助学生有全面的认识。第三，例题安排的层次性，根据教材的安排，本堂课选择从一般到特殊的思路安排，而且注意到从平面到空间的类比推理等，力求处处渗透数学思想方法。第四，注重变式训练，从题目条件的增减，结论的改变等多方面多角度变式，力求帮助学生掌握基
4、本方法，领会数学思想，培养理性思维。 二、设计思想波利亚强调，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”、思维的方式、有条不紊的工作习惯。而现代建构主义关于学习的理论中，不断强调教师在讨论中要设法把问题一步步引向深入以加深学生对所学内容的理解；要启发诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识。而教师应该在这一过程当中提供一些学习的“支架”：教师演示，并且说出其思想；提示或给予线索：帮助学生在停滞时找到出路；提问：帮助学生诊断错误的原因，并且修正完善。帮助学生从现有能力提高一步。具体到本节课当中，学生已经复习了向量的基本知识，但还未能深刻体会向量法的本质，无法主动运用向量法解决几
5、何问题。对于向量法所蕴涵的数学思想体会不深，无法应用来指导解题实践。向量兼具几何与代数的双重特点，向量法解题往往蕴含丰富的数学思想方法。通过向量法的教学，有利于学生重建向量的知识体系，深刻理解向量的核心知识点，有利于理解向量本质，并运用向量法解决几何问题，在解题中体会数学思想，提升数学能力。因此本节课的设计中大胆突破平面和空间的界限，精选例题，强化类型，让不同层次的学生都能充分体会到向量法的基本思路。重在分析，重在引导，讲练结合，讲在关键处，让学生经历挫折，调整，成功的过程。在课堂上，学生可亲身体验到向量在沟通几何与代数方面的作用，体会向量基本定理的重要作用，深挖向量坐标法的理论基础，体会基向
6、量法与向量坐标法的区别与联系。在整节课当中，不断渗透各种数学思想，帮助学生从宏观上重视蕴涵其中的关系映射反演，数形结合，基底转化，函数方程等思想，确立向量法解题的策略，能自觉运用数学思想方法来指导解题实践，摆脱题海的羁绊。 三、教学目标（一）知识与技能1. 掌握向量坐标法和基向量法；2. 能合理的选用向量法求解几何问题。（二）过程与方法1.经历几何问题转化为向量问题，再从向量结论回归几何解释的过程，体会向量在代数和几何的问题解决中的桥梁作用。2.在从平面到平面，从平行四边形到矩形，从空间到空间，从平行六面体到长方体，从平面到空间不断运用向量工具解决几何问题的过程中，学习从具体实例中提炼数学方法
7、，体会不同方法间的区别与联系。（三）情感、态度与价值观1.在课堂教学过程当中，学生能从具体到抽象，从一般到特殊，能充分发挥在学习中的主体地位，主动观察、思考、模仿、互动、探究、归纳、反思，形成研究氛围。2.在方法的归纳与应用过程中，养成扎实严谨的科学作风。3.在向量法解题过程中体会向量法的简洁美、和谐美。 四、教学重点与难点 1.重点：基向量法解几何问题 2.难点：几何问题的向量表示 五、教学方式以问题为主线的启发式教学 六、教学媒体多媒体课件 七、教学过程设计教学环节教学过程问题驱动与互动学情预设设计意图问题引入开场白数学是从认识和研究图形和数开始的，而向量既有图形形象直观的特点，又便于运算
8、，是我们解决几何问题的好帮手，我们共同来回顾向量法在几何中的应用。设问1：请问，什么叫向量？大部分学生经过高三复习对向量的定义比较熟悉。但个别同学可能会忽视向量定义。开宗明义，指出本堂课教学目标和学习目标，帮助学生做好心理准备。一、向量法在平面几何中的应用问题1: 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.已知：平行四边形ABCD求证：证明：不妨设，则，所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方。知识链接（课件展示）：向量的加法的平行四边形法则，三角形法则，减法的三角形法则，平面向量基本定理。设问2：请大家观察，这个问题陌生吗？能否用向量法解决这个问题？设问3：已知条件是什么？
9、目标是什么？如何用向量来表示条件与结论？（分析与引导细节）问题的目标是求什么？长度如何用向量来表示？如何将对角线相应的向量向边相应的向量转化？运用了向量的哪些知识点？总结：在问题1的解决过程当中，我们通过选取一组基底，运用向量加法和减法的法则，完成了向量的表示过程，由形到数，其次通过向量数量积运算，由数到形，得到向量结论，第三步将向量结论回归几何转化为几何结论。这一过程体现了向量法解几何问题的基本步骤：向量表示；向量运算回归几何，其中蕴涵了数形结合以及转化与化归的数学思想。学生对文字型的证明问题有畏难情绪。所以首先要引导学生将文字转化为符号语言。要帮助学生将几何问题转化为向量问题。部分学生对向
10、量的加减法，数乘运算还不够熟悉。引导学生认识平面向量基本定理与加减法法则之间的关系。部分基础不扎实的学生对向量数量积运算有所遗忘，尤其是借助其来求模。从课本例题出发，引导学生复习回归课本；引导学生将几何对象用向量表示，体会向量法解几何问题的一般方法。体现向量法求解距离问题的优势。变式：在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,BDCE,试求A .解：不妨设，设，则，即有，易得，所以A=90设问4：如果增加题目条件，请尝试用向量法解决这个问题？（分析与引导细节）问题的目标是求什么？角度如何用向量来表示？需要运用向量的何种运算？A是哪两个向量的夹角？选择哪两个向量作为基底？已知条件如何用向量转化？与
11、问题1有何区别？经过复习，学生已熟悉向量的数量积运算，容易得出解决问题方向。题目难点在垂直条件的应用和基向量的选择。复习向量的数量积；体会向量法求解角度问题的一般方法；体会基底的转化思想，体会从一般到特殊的思想方法二、知识重构从以上两个问题当中，我们可以发现向量-有3大法宝，1.向量的线性运算；2.向量的数量积；3向量的基本定理。在平面几何中，向量在距离，角度和位置关系问题中大显身手，我们进一步来研究向量法在立体几何中是如何发挥作用的。设问5：以上的两个问题的解决过程当中，向量的哪些知识点起了关键作用？设问6：运用这些法宝可以解决哪些问题呢？学生经过两个问题的复习，对向量法解题的基本工具有了一
12、定了解。通过具体问题的解答过程，激活学生头脑中先前掌握的知识，构建完整的知识体系。三、向量在立体几何中的应用猜一猜：平行六面体的的对角线的平方和和各棱平方和有何关系？已知：平行六面体求证：证明：不妨设，所以平行六面体的的对角线的平方和等于各棱平方和知识链接：空间向量基本定理设问7：类比问题1，猜猜看，平行六面体的的对角线的平方和与各棱平方和之间有何关系？（分析与引导细节）问题的条件是什么？有几条对角线？结论分别是什么？如何转化为向量结论？向量法解题三部曲第一步是什么？关键是什么？我们如何选择基底？以对角线相应的向量为例，如何用基底表示？设问8：问题1到问题2的过程当中，哪个知识点起了关键作用？
13、突出了哪种数学思想？总结：空间向量基本定理与平面向量基本定理的最大不同在于平面中需要两个不共线的基向量，而空间中需要三个不共面的基向量。数学中定理虽多，但每一个基本定理并不是随意命名的，向量基本定理将无穷的向量转化为了2个或3个基向量，充分体现了无限到有限，化繁为简化归思想。根据问题1，学生易于猜想得出结论。但是，由于对平行六面体并不熟悉，尤其是对角线，因此，在此注意引导，找到对角线。对于空间向量的表示问题中，由于基向量的增加，图形复杂程度增加，部分同学在向量表示上存在困难，要考虑提示回路法。通过这个问题从平面类比到空间，帮助学生体会平面向量和空间向量的共同的本质。注意到平面向量基本定理和空间
14、向量基本定理的不同，在这一过程当中体会基底化繁为简、化无限为有限的转化思想。变式：如果，且，（1）求 （2）求直线和所成角的余弦值。解：设，则设所求角为，则其余弦值为知识链接：异面直线成交与相应向量夹角相等或互补请同学们将变式完成在学案上。（分析与引导细节）直线用向量如何用表示？模如何求？夹角如何求？总结：在以上问题的解答当中，基底思想显得如此重要，既然基底如此重要，那么，基向量应该如何选择？其实，平面向量只需2个不共线即可，空间向量只需3个不共面即可，但是在具体解题过程当中，为了解决问题的方便，我们常选择模长已知，夹角已知，且共起点的向量作为基底。学生基本能用合理的基向量将表示出来。三个数的
15、和的平方公式有部分学生会有问题，需及时提醒。对异面直线成角与向量成角之间的关系还有部分同学有所遗忘，需适时引导。部分学生提到向量法解立体几何就认为是坐标法，不考虑具体情况建立坐标系解决。让学生全程动手，在操作的过程当中，体会空间向量基本定理和数量积的作用，体会基向量的选取方法。问题3：（2012 福建理改编）如图，在长方体中，E为CD中点在棱上是否存在一点P，使得平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；知识链接：空间向量的正交分解设问8：阅读问题3，考虑如何运用向量方法解决这个问题？还采用基向量方法吗？设问9：请进一步思考基向量方法与向量坐标法之间什么关系？总结：向量坐标法与基向量法思路
16、是一致的，坐标法强调由形到数，再由数到形，强化了数的运算，显示了向量运算简洁明快的特点。而基向量法是由形到向量，由向量到形，在运算部分还需要运用线性运算法则，对几何的还有一定的依赖性。向量坐标法关键在于选取了3个两两垂直的单位向量作为基底，进而得到其坐标表示。二者其实统一于基本定理。面对正方体长方体模型，学生首先想到的应该是坐标法，但由于本节课之前所有问题均强化基向量法，因此，学生在此会犹豫。学生对向量坐标法较为熟悉，但是并未能从学科方法的角度来理解，尤其与基向量方法的关系，学生理解有困难。从方法上进行比较，进一步渗透数学思想方法。在比较的过程中，总结归纳，深化学生对基本定理尤其是正交分解的认
17、识。四、归纳总结本节课我们复习了运用向量法解决角度长度位置关系等几何问题的基本步骤。首先通过向量的线性运算，基本定理完成了几何问题的向量表示，可以通过代数的角度用坐标表示，也可以通过几何的角度用基底来表示。其次，经过简单的向量运算得到向量结论。最后，将向量结论回归几何。这一过程当中，蕴涵有丰富的数学思想，有数形结合，基底转化，类比等等。最后我们用李尚志老师的一首诗来结束本堂课：平面空间向量同，不须插翅便腾空，登天入地凭加减，角度棱长一点通。希望同学们课后仔细体会其内涵。设问10：我们本节课主要学习了向量法，其基本步骤是什么？设问11：解决的基本问题是什么？设问12：蕴涵的常见数学思想有哪些？（
18、分析与引导细节）在向量表示的过程当中我们一般有几种方法？分别是？其中向量坐标法突出了向量的代数运算简洁明快的特点，而基向量方法则突出几何图形形象直观的特点。通过本堂课的教学，学生对向量法应该有了一定的认识。需要进一步归纳其中蕴涵的数学思想，增进认识的深度。帮助学生养成及时总结归纳的习惯，帮助学生从学科方法的角度理解向量法，理解其中蕴涵的数学思想。五、课后巩固必做作业：点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在，上，且，1.若平面ABCD，且，（1）求异面直线MN与PC成角的余弦值；（2）求平面AMN与平面PBC所成锐二面角。2.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M在上，且，N为BD
19、上的动点，若平面ABCD，且，求MN的最小值，并求当MN最小时，MN与平面ABCD所成角的正弦值。3.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在，上，且，求证：平面4.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在，上，且，若，试求。5.如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB,BC上的一个三等分点，且AE和CD交于点P，求证：BPDC选做：1.请同学们根据学案上向量的知识结构框图，整理相关知识点；2.有兴趣的同学请参阅绕来绕去的向量法 张景中 彭翕成/著.请同学们课后完成以下作业，仔细比较1,2两题和3,4两题的解题方法，完成在学案上。学生对1,2两题比较熟悉，能熟练运用向量坐
20、标法来解决，问题主要集中在向量夹角与异面直线成角，线面成角和二面角的关系。学生的主要问题在于第3,4题上，不注意审题，想当然有垂直条件，建系用坐标法解决。另外，在运用基本定理来解决线面平行关系证明上稍显薄弱。第5题，在必修2课本用直线方程来解决较麻烦。但合理选择基底，用基本定理来解决就简洁许多。进一步巩固基本定理，熟悉回路法。复习向量基本知识点，制作向量知识框图，头脑风暴，构建完整知识体系。板书设计： 向量法问题1分析： ，变式分析：BDCE ，猜一猜 分析：设，一 基本步骤：1.向量表示 2.向量运算 3.回归几何二 核心知识：1.线性运算 2.基本定理 3.数量积三 基本问题：角度 长度 位置关系四 基本思想：数形结合 基底转化 类比 八、参考文献1.张景中、彭翕成. 论向量法解几何问题的基本思路 数学通报 2008第2期 6-10 2.张景中、彭翕成. 论向量法解几何问题的基本思路续 数学通报 2008第3期 31-36 3.李尚志. 中学数学中的向量方法 数学通报 2007第2期 1-8 4.李尚志. 中学数学中的向量方法续 数学通报 2007第3期 1-8
