1、高考资源网（） 您身边的高考专家第1讲平面向量、三角函数的图象与性质1(2015福建高考)设a(1，2)，b(1，1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()ABC. D.【解析】因为c(1k，2k)，bc0，所以1k2k0，解得k.故选A.【答案】A2(2015山东高考)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位【解析】ysin(4x)sin 4(x)，故要将函数ysin 4x的图象向右平移个单位故选B.【答案】B3(2015四川高考)下列函数中，最小正周期为的奇函数是()Aysin BycosCysin
2、2xcos 2x Dysin xcos x【解析】ysincos 2x是周期为的偶函数，ycossin 2x是周期为的奇函数，ysin 2xcos 2xsin是周期为的非奇非偶函数，ysin xcos xsin是周期为2的非奇非偶函数故选B.【答案】B4(2014湖北高考)已知向量，|3，则_【解析】因为，|3，所以()|2|2329.【答案】9从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.三角函数的定义、基本关系及诱导公式考查三角函数定义的应用；考查平方关系、商数关系及诱导公式的应用，常与和差角公式、倍角公式相结合考查.题型：选择题或填
3、空题难度：基础题2.平面向量的运算及应用考查向量的线性运算及其几何意义；考查向量的坐标运算；考查数量积运算及应用.题型：选择题或填空题难度：基础题3.三角函数的图象与性质考查由解析式作图象或由图象求解析式；考查函数yAsin(x)的图象变换；考查以三角恒等变换为工具，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质.题型：三种题型都可出现难度：基础题或中档题三角函数的定义、基本关系式及诱导公式(自主探究型)1.(2014全国大纲高考)已知角a的终边经过点(4，3)，则cos ()A.B.C D【解析】直接利用任意角的三角函数的定义求解因为角的终边经过点(4，3)，所以x4，y3，r5，所以
4、cos .【答案】D2(2015福建高考)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A. BC. D【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系式等基础知识，意在考查考生的转化与化归能力、运算求解能力因为sin ，且为第四象限角，所以cos ，所以tan .故选D.【答案】D3(2015河北邯郸模拟)sin 60tan 240的值是()A B.C D.【解析】本题主要考查诱导公式的应用，意在考查考生的转化与化归能力、运算求解能力sin 600tan 240sin(360240)tan(18060)sin240tan 60sin 60tan 60.【答案】B【规律感悟】1.运用定义可求解的
5、两类问题(1)求三角函数值(或角)当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论(2)建模由于三角函数的定义与单位圆，弦长公式等存在一定的联系，因此在命题思路上可以把圆的有关知识同三角函数间建立联系2利用同角三角函数的关系式化简求值的三种常用方法(1)切弦互换法：利用tan 进行转化(2)和积转化法：利用(sin cos )212sin acos 进行变形、转化(3)常值代换法：其中之一就是把1代换为sin2cos2.同角三角函数关系sin2cos21和tan 联合使用，可以根据角的一个三角函数值求
6、出另外两个三角函数值根据tan 可以把含有sin ，cos 的齐次式化为tan 的关系式【典例1】(1)(2015新课标高考)向量a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a()A1 B0C1 D2(2)(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_【解析】(1)本题主要考查平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力a(1，1)，b(1，2)，(2ab)a(1，0)(1，1)1.故选C.(2)本题考查向量的加、减运算与平面向量的基本定理，意在考查考生对向量运算的综合应用能力由题中条件得()xy，所以x，y.【答案】(1)C(2)一题多变若题(2)变为：0，若存在实数m
7、使得m，则m_【解析】因为0，所以点M是ABC的重心所以3.则m3.【答案】3【规律感悟】1.向量的有关概念及运算的关注点(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念(2)牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件，并会灵活应用(3)有关向量模长的计算有两种方法：一是转化为向量的数量积，二是把向量转化为坐标的形式，利用代数运算求解2求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出等式，依据等式求最值(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值针对训练1(2015山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2
8、D.a2【解析】在菱形ABCD中，所以()a2aacos 60a2a2a2.故选D.【答案】D2(2015陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2【解析】对于A选项，设向量a，b的夹角为，|ab|a|b|cos |a|b|，A选项正确；对于B选项，当向量a，b反向时，|ab|a|b|，B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出(ab)(ab)a2b2，故D选项正确，综上选B.【答案】B命题角度一由三角函数的图象求解析式【典例2】
9、(2013四川高考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，【解析】通过函数yAsin(x)(A0，0)的图象的周期、相位、振幅来确定，A三个量()，T.2.由五点法作图知当x时，x，即2，.故选A.【答案】A命题角度二三角函数图象变换【典例3】(2015湖南高考)将函数f(x)sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B.C. D.【解析】本题考查三角函数图象的平移、函数的最值和三角函数图象的性质，结合数形结合思想和转化思想求解即可由已知得g(x
10、)sin(2x2)，满足|f(x1)g(x2)|2，不妨设此时yf(x)和yg(x)分别取得最大值与最小值，又|x1x2|min，令2x1，2x22，此时|x1x2|，又0，故.故选D.【答案】D命题角度三三角函数的性质【典例4】(2015天津高考)已知函数f(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值【解】本小题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识考查基本运算能力(1)先利用三角公式化简函数解析式，再利用周期公式求解；(2)结合三角函数的图象求解最值(1)由已知，有f(x)(cos2x
11、sin2x)cos2xsin2xcos2xsin(2x)所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，f()，f()，f().所以，f(x)在区间，上的最大值为，最小值为.【规律感悟】1.函数表达式yAsin(x)B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定AB由最值确定B由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定2.三角函数图象的两种变换方法(1)ysin xyyyAsin(x
12、)(A0，0)(2)yyyyAsin(x)(A0，0)3研究三角函数性质的思路第一步：化简：先利用三角恒等变换把函数化为“一角一函数”，即yAsin(x)B的形式；第二步：换元：把“x”视为一个整体，将其转化为正弦函数求yAsin(x)B的有关问题，如单调性及奇偶性、最值、对称性等问题第三步：还原，即将得到的性质转化为所求函数的性质针对训练1(2015山东师大附中模拟)设函数f(x)sin(2x)，则下列结论正确的是()f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的图象关于点对称；f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象；f(x)的最小正周期为，且在上为增函数A BC D【解析】当x时，s
13、insin 0，所以f(x)的图象不关于x对称；当x时，sin0，所以f(x)的图象不关于点对称；f(x) 得sincos 2x，是偶函数；由T，2x，知不正确故选D.【答案】D2(2015湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值【解】(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(
14、x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.数形结合思想求解三角函数的图象与性质的应用问题思想诠释三角函数的图象与性质的应用问题用到数形结合思想的常见题型：1确定函数的性质：确定某些三角函数的最值(值域)、周期性等性质时，常根据条件作出函数的图象数形结合求解2由图象特点求解析式：求解时根据所给图象由最值点求A，由周期求，由特殊点求，实现“以形助数”3三角函数零点(或三角方程解)的
15、问题：求解此类问题时，常作出符合要求的图象数形结合求解4变换法作图：结合函数解析式特征，通过平移变换、伸缩变换、对称变换作出图象，实现“以数辅形”典例剖析【典例】(2015福建三明模拟)已知函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在x0，的图象；(2)当x时，求f(x)的值域；(3)当x0，时，根据实数m的不同取值，讨论函数g(x)f(x)m的零点个数【审题策略】(1)看到作函数在x0，的图象，联想到数形结合思想，通过解析式求关键点“以数辅形”；(2)涉及求f(x)在上的值域，联想到数形结合思想，结合f(x)在上的图象求解；(3)看到讨论g(x)
16、零点个数，联想到数形结合思想，结合(1)中图象求解“以形助数”【解】(1)f(x)22sin.由T，得2，则f(x)2sin.列表x02x2f(x)2020描点作图：(2)因为x，则2x.结合(1)中f(x)在上的图象知f(x)1，2(3)函数g(x)f(x)m在x0，的零点个数，即函数f(x)2sin，x0，与函数ym的交点个数由(1)中图象知：当m2或m2时，函数g(x)无零点；当m2时，函数g(x)仅有一个零点；当 2m或m2时，函数g(x)有两个零点；当m时，函数g(x)有三个零点针对训练(2015漳州模拟)设函数f(x)Acos x(A0，0)的部分图象如图所示，其中PQR为等腰直角
17、三角形，PQR，PR1，求：(1)函数f(x)的解析式；(2)函数yf(x)在x0，10时的所有零点之和【解】(1)由已知PR1，所以T2，所以.因为PQR为等腰直角三角形，所以Q到x轴的距离即为A，所以f(x)cos x.(2)由f(x)0，得cos x，故x2k或x2k(kZ)，所以当x0，10时的所有零点之和为S50.1必记公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab(b0)x1y2x2y10；abab0x1x2y1y20.(2)向量的夹角公式：设为a与b(a0，b0)的夹角，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .(3)同角三角函
18、数之间的关系平方关系：sin2cos21；商数关系：tan .(4)诱导公式公式：Sa2k；S；Sa；巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看2重要性质(1)增减性函数递增区间递减区间ysin x(kZ)(kZ)ycos x2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)ytan x(kZ)无(2)对称性函数对称中心对称轴ysin x(k，0)(kZ)xk(kZ)ycos x(kZ)xk(kZ)ytan x(kZ)无3.重要结论(1)若a与b不共线，且ab0，则0.(2)已知(，为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是1.(3)运用整体换元法求解单调区间与对称性类比ysin x的性质，只需将yAsin
19、(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整体代入求解令xk(kZ)，可求得对称轴方程；令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标；将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(4)奇偶性函数yAsin(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAtan(x)，xR是奇函数(kZ)(5)周期性函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T，注意y|Asin(x)|的周期T.(6)最值(或值域)求最值(或值域)时，一般要确定ux的范围，然后结
20、合函数ysin u或ycos u的性质可得函数的最值(值域)4易错提醒(1)忽视向量共线致误：在解决有关向量夹角及共线问题时，忽视向量共线时的方向性导致错误(2)同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误(3)忽视定义域：求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域(4)重视图象变换顺序：在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向(5)忽视A，的符号：在求yAsin(x)的单调区间时，要特别
21、注意A和的符号，若0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的限时训练(八)建议用时实际用时错题档案40分钟一、选择题1(2015广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则()A5B4C3D2【解析】由(1，2)(2，1)(3，1)，得(2，1)(3，1)5.故选A.【答案】A2(2015陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10【解析】由题图可知3k2，k5，y3sin5，ymax358.【答案】C3(2014安徽高考)若将函数f(x)s
22、in 2xcos 2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是()A. B. C. D.【解析】f(x)sin 2xcos 2xsin，将其图象向右平移个单位得到g(x)sin(2(x)sin(2x2)由g(x)的图象关于y轴对称得2k(kZ)，即，(kZ)，当k1时，min.【答案】C4(2015重庆高考)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.B.C. D【解析】由条件，得(ab)(3a2b)3a22b2ab0，即ab3a22b2.又|a|b|，所以ab3(|b|)22b2b2，所以cosa，b，所以a，b.故选A.【答案】A5(2
23、015济南模拟)若sin，则cos的值为()A. BC. D【解析】sinsin，cos，coscoscos.故选B.【答案】B二、填空题6(2015四川高考)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_【解析】sin 2cos 0tan 2，所以2sin cos cos21.【答案】17(2015天津高考)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_【解析】f(x)sin xcos xsin，因为函数f(x)的图象关于直线x对称，所以f(w)sin，所以2k，kZ，即2k，kZ，又函
24、数f(x)在区间(，)内单调递增，所以()，即2，取k0，得2，所以.【答案】8(2015武汉市武昌区调研)给出以下结论：在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是平行四边形；已知三角形ABC中，a5，b8，C60，则20；已知正方形ABCD的边长为1，则|2；已知a5b，2a8b，3(ab)，则A，B，D三点共线其中正确结论的序号为_【解析】对于，因为，所以，DCAB且DCAB，故四边形ABCD为平行四边形；对于，abcos(180C)abcos C20；对于，|2|2|2；对于，因为a5b，a5b，所以，则A，B，D三点共线综上可得，正确【答案】三、解答题9(2015广东高考)在平面直角坐
25、标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值【解】(1)mn，mn0.故sin xcos x0，tan x1.(2)m与n的夹角为，cosm，n.故sin.又x，x，x，即x.故x的值为.10(2015安徽高考)已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值【解】(1)因为f(x)sin2 xcos2 x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知，f(x)sin
26、1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.第2讲三角恒等变换与解三角形1(2015重庆高考)若tan ，tan()，则tan ()A.B.C. D【解析】tan tan().故选A.【答案】A2(2015北京高考)在ABC中，a3，b，A，则B_【解析】由正弦定理，得sin B，因为ab，所以B.【答案】3(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的
27、方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】在ABC中，BAC30，BCA753045，所以由正弦定理得，BCAB600600300.在BCD中，CDBCtan 30300100.故此山的高度为100m.【答案】1004(2015江苏高考)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值【解】(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2.从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016
28、年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.三角恒等变换考查利用三角恒等变换求值和化简；考查利用三角恒等变换研究三角函数的图象与性质.题型：三种题型均可出现难度：基础题和中档题2.正、余弦定理考查利用正、余弦定理求边、角和面积；考查利用正、余弦定理判断三角形的形状；考查利用正、余弦定理解决一些现实生活中的实际问题.题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题3.正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇问题主要考查正、余弦定理及三角函数的图象、性质与平面向量的综合应用题型：解答题难度：中档题1(2015新课标高考)sin 20cos 10cos 160sin 10()AB.C D.【解析】本题考
29、查诱导公式以及两角和的正弦公式的逆用，考查考生的运算能力原式sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010).【答案】D2(2015广东高考)已知tan 2.(1)求tan的值；(2)求的值【解】本题主要考查两角和的正切公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化思想，以及运算求解能力(1)tan3.(2)1.【规律感悟】三角恒等变换的思路与方法1思路：(1)和式：降次、消项、逆用公式(2)三角分式：分子与分母约分或逆用公式(3)二次根式：切化弦、变量代换、角度归一2方法：(1)弦切互化：一般是切化弦(2)常值代换：特别是“1”的代换，如1sin2cos2t
30、an 45等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式(降幂公式)降次(4)公式的变形应用：如sin cos tan ，sin2，cos2，tan tantan()(1tan tan ) ，1sin 等(5)角的合成及三角函数名的统一：asin bcos sin().(6)角的拆分与角的配凑：如a()，可视为的半角等【典例1】(1)(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定(2)(2015新课标高考)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，s
31、in2B2sin Asin C.()若ab，求cos B；()设B90，且a，求ABC的面积【解】(1)利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系bcos Cccos Bbcaasin A，sin A1.A(0，)，A，即ABC是直角三角形故选A.(2)求解第()问时，首先由正弦定理将角化边，即b22ac，再与ab结合，用c表示a，b，然后用余弦定理求解；求解第()问时，先利用勾股定理求出a，c，再利用三角形面积公式求解()由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.()由()知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22
32、ac，得ca.所以ABC的面积为1.一题多变若题(1)变为：“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，则ABC的形状如何？【解】由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，所以2a2cos Asin B2b2cos Bsin A.由正弦定理得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，即sin 2Asin Asin Bsin 2Bsin Asin B.因为0A，0B，所以sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.所以ABC是等腰三角形或直角三角形【规律感悟
33、】1.解三角形常见类型及解法在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解决一边和二角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c；Sacsin B，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，c)余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由ABC180求出另一角. Sabsin C，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B再利用ABC180求出角C.Sabsin C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如正弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180求出角C；再利用正弦定理求出c边Sa
34、bsin C，可有两解、一解或无解2.确定三角形的形状主要的途径及方法 针对训练1(2014江西高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积为()A3 B.C. D3【解析】c2(ab)26，c2a22abb26.c，c2a2b2ab.ab6.SABCabsin C6.【答案】C2(2015山东实验中学一模)设ABC中，角A，B，C的边分别为a，b，c，且满足(2bc)cos Aacos C0.(1)求角A的大小；(2)若a，ABC的面积SABC，试判断ABC的形状，并说明理由【解】(1)方法一：(2bc)cos Aacos C0，(2sin
35、 Bsin C)cos Asin Acos C0.2sin Bcos Asin(AC)，2sin Bcos Asin B，cosA，又0A，A.方法二：(2bc)cos Aacos C0，(2bc)a0，2ab32abc22a3b2acb20，即b2c2a2bc0.cos A.又0A，A.(2)SABC，bcsin A，bc3.cos A，bc2.bc.又A，ABC是等边三角形.正、余弦定理与三角函数、平面向量的交汇问题(多维探究题)命题角度一与三角函数的综合【典例2】(2015山东高考)设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对
36、边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值【解】(1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f(x)的单调区间；(2)首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出ABC面积的最大值(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bc
37、b2c22bc，即bc2，且当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.命题角度二与平面向量的综合【典例3】(2015陕西高考)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积【解】第(1)问依据向量平行构建三角函数等式就可求出A；第(2)问可利用余弦定理求出c，再求解三角形的面积，也可运用正弦定理求出角B的三角函数值，进而求出角C的正弦函数值，从而可求出三角形的面积(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin
38、 B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3.故ABC的面积为bcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为absin C.【规律感悟】求解正、余弦定理与三角函数、平面向量交汇问题的思路(1)向量性质与运算的应用：以向量为载体，通过向量的概念、性质与运算，建立向量与三角形、三角函数的联系(2)边角转化：在三角形中考查三角函数，它是在新的载体上进行的三角
39、函数图象与性质的考查，求解时：作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”；求解三角函数图象与性质的规律方法都适用，但要注意角的范围限制针对训练1(2014辽宁高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值【解】(1)由2，cos B得cacos B2，所以ac6；又由b3及余弦定理得b2a2c22accos B，所以a2c213，结合ac，解
40、得a3，c2.(2)由a3，b3，c2得cos C，sin C.由cos B得sin B；所以cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.2(2015重庆模拟)已知向量m，n.记f(x)mn.(1)若f()，求cos的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，若f(A)，试判断ABC的形状【解】f(x)sin cos cos2sin cos sin，(1)由已知f()得sin，于是4k，kZ，所以coscos1.(2)根据正弦定理，知：(2ac)cos Bbcos C(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C2s
41、in Acos Bsin(BC)2sin Acos Bsin Acos BB.因为f(A)，所以sin或A或，而0A，所以A，因此ABC为等边三角形建模思想求解与三角形有关的实际问题思想诠释与三角形有关的实际问题用到建模思想的常见类型：1与测量有关的山高、堤坝、土地面积：求解时，运用所学的解三角形知识，构建可解的三角形模型，利用正、余弦定理求解2与航海有关的航行问题：求解时作出符合题意的示意图，构建可解三角形模型，利用正、余弦定理求解3图形设计问题：求解时，根据设计要求，构建可解三角形模型，利用正、余弦定理及解三角形的其他知识求解4与三角形有关的最优化问题：求解时选择适当的量为变量，先构建可解
42、三角形模型，利用解三角形知识，构建函数模型或大小比较模型求解典例剖析【典例】(2015厦门模拟)如图所示，扇形AOB中，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.(1)若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；(2)设COP，求POC周长的最大值及此时的值【审题策略】(1)求线段PC，联想到构建以PC为边的三角形模型，利用正、余弦定理求解；(2)涉及求POC周长的最大值，联想到构建函数模型，利用函数性质求解【解】(1)在POC中，OCP，OP2，OC1，由OP2OC2PC22OCPCcos ，得PC2PC30，解得PC.(2)因为CPOB，
43、所以CPOPOB，在POC中，由正弦定理得，即，所以CPsin ，又，所以OCsin，记POC的周长为L，则LCPOC2sin sin22sin2，所以当时L取得最大值为2.针对训练(2015北京模拟)如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后 以同样的速度，沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛 (1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求BAC的正弦值【解】(1)在ABC中，由已知，AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120.据余弦定理，得AC2502302250
44、30cos 1204 900，所以AC70(海里)故A，C两岛之间的直线距离是70海里(2)在ABC中，据正弦定理，得，所以sin BAC.故BAC的正弦值是.1必记公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().辅助角公式：asin bcos sin()cos()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos ；cos 2cos 2sin 22cos2112sin2；tan 2.(3)降幂公式sin2；cos2.(4)正弦定理 (5)余弦定理定理推论a2b2c22bccos Ab2a2
45、c22accos Bc2a2b22abcos Ccos Acos Bcos C(6)面积公式SABCbcsin Aabsin Cacsin B.2重要结论(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧如1cos2sin2tan 45等“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如()，2()()，等3易错提醒(1)忽视解的多种情况：如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况(2)忽略角的范围：应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围(3
46、)忽视解的实际意义：求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合限时训练(九)建议用时实际用时错题档案40分钟一、选择题1(2015广东高考)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b()A3B2C2D.【解析】由余弦定理a2b2c22bccos A，即4b2126bb26b80(b2)(b4)0，由bc，得b2.故选C.【答案】C2(2015重庆高考)若tan 2tan ，则()A1 B2 C3 D4【解析】3.故选C.【答案】C3(2014四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的
47、宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m【解析】由题意知AB，C30，BAC45.在ABC中，由正弦定理得，BCBC120(1)故选C.【答案】C4(2014全国新课标高考)设，且tan ，则()A3 B2C3 D2【解析】tan ，即sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos ，即sin()cos sin又，0.，即2.故选B.【答案】B5(2015成都模拟)ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(sin B，ac)，q(sin Csin A，ba)若R，使pq，则角C的大小为()A. B.
48、C. D.【解析】因为R，使pq，所以pq，所以有(ba)sin B(ac)(sin Csin A)0，由正弦定理得：b2abc2a20，cos C.又C(0，)，所以C.【答案】C二、填空题6(2015北京高考)在ABC中，a4，b5，c6，则_【解析】由正弦定理得sin Asin Bsin Cabc456，又由余弦定理知cos A，所以2cos A21.【答案】17(2015江苏高考)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_【解析】tan tan()3.【答案】38(2015新课标高考)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_【解析】如图所示，延长BA与CD相
49、交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CFB中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.【答案】(，)三、解答题9(2015西安模拟)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sin2cos 2A.(1)求角A的大小；(2)若a，cos B，求ABC的面积【解】(1)由4sin2cos 2A，得4sin2(2cos2A1).4cos2(2cos2A1)42cos2A1，得(2cos A1)20，即cos A，因为0A，所以A60.(2)由cos B，得sin B，由正弦定理，得b.
50、sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以ABC的面积Sabsin C.10(2015四川高考)如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角(1)证明：tan ；(2)若AC180，AB6，BC3，CD4，AD5，求tan tan tan tan 的值【解】(1)证明：tan .(2)由AC180，得C180A，D180B.由(1)，有tan tan tan tan .连接BD.在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcos A，在BCD中，有BD2BC2CD22BCCDcos C，所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A.则co
51、s A .于是sin A.连接AC，同理可得cos B，于是sin B，所以tan tan tan tan .解题策略三：中档大题规范练三角函数与解三角形解答题的解法考试大纲对三角函数的要求有三处：其一是三角函数基础知识部分，理解任意角三角函数的定义、能推导诱导公式、能画出三角函数的图象、理解正弦函数余弦函数的性质、理解同角三角函数的基本关系式其二是三角变换，能导出两角差的正弦、余弦、正切公式，能导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式其三是解三角形，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计
52、算有关的实际问题三角部分解答题是每年高考的必考题目，考查主要有两种形式：一是求较为复杂的三角函数表达式的某些性质、图象的变换、值域或者最值；二是三角形中有关边角的问题高考试卷中将这两种形式合二为一，这很可能会是今后命题的趋势试题呈现以下特点：(1)利用三角函数公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等)求值；(2)通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名称的三角函数(一般化为yAsin(x)k(A0，0)，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等；(3)利用正、余弦定理及恒等变换解三角形(也包括利用三角形求解与测量、航海有关的实际问
53、题)；(4)利用向量的工具作用，与向量结合在一起命制综合题，体现了在知识交汇点处命题的指导思想这类问题求解时，首先利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换【典例】(12分)(2015浙江绍兴模拟)已知m(2cos x2sin x，1)，n(cos x，y)，且mn.(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的单调增区间；(2)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f3，且a2，bc4，求ABC的面积解题流程规范解答(1)由mn，得mn0，(1分)2cos2x2sin xcos xy0，即y2cos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x
54、12sin1，(4分)2k2x2k，kZ，kxk，kZ，即增区间为，kZ.(2)f3.2sin13，sin1，A2k，kZ.0A，A.(8分)由余弦定理得：a2b2c22bccos A，即4b2c2bc，4(bc)23bc.bc4，bc4，(10分)SABCbcsin A.(12分)解题模板求解函数性质和解三角形的模板第1步：由向量为工具把f(x)化简为Asin(x)k的格式；第2步：求解性质；第3步：根椐已知三角形中的条件，选择正、余弦定理和面积公式求解；第4步：明确规范地表述结论反思感悟1平面向量作为一种数学符号，易与其他知识结合这种向量符号在解题中主要起转化作用(将表述语“翻译”成数学条
55、件)，用向量的这些“表述”来解题，可以看作是一种理解题目的方式，相当于数学的表述多了一门“外语”2三角函数性质的求解方法：(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)Asin(x)的形式再求解(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期3破解正、余弦定理的综合应用问题的关键是根据所给条件和式子的理论，利用正、余弦定理将边角互化一般情况单个边用正弦定理，边的平方或出现余弦时要用余弦定理，求面积时，已知有哪个角就用哪个角的面积公式针对训练1(2014江苏高考)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值【
56、解】(1)因为，sin ，所以cos .故sinsincos cossin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212 sin 212，所以coscoscos 2sinsin 2.2(2015哈师大附中模拟)已知函数f(x)sin2xsin xsin2cos2x(xR，0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象(1)求函数g(x)的最大值及单调递减区间；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，bc3，且f(A)2，求ABC的面积【解】(
57、1)f(x)sin 2xcos 2xsin.令2x，将x代入可得1，所以f(x)sin，所以g(x)sin.当x2k(kz)，即x2k(kZ)时，函数取得最大值.令2kx2k，即x(kZ)为函数的单调递减区间(2)f(x)sin.f(A)2，sin.而2A，2A，A.由余弦定理知cos A，所以b2c2bc3，即(bc)23bc3.又bc3，所以bc2，SABCbcsin A.专题检测(三)(时间60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分)1(2015甘肃兰州诊断)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B则B()A.B.C.D.【解析】
58、根据题意结合正弦定理，得sin Bsin Asin Acos B因为sin A0，所以sin Bcos B，即tan B，所以B.故选C.【答案】C2(2015吉林长春模拟)已知平面向量a，b满足|a|，|b|2，ab3，则|a2b|()A1 B.C4 D2【解析】|a2b|.故选B.【答案】B3(2015河北唐山一模)已知2sin 21cos 2，则tan 2()A B.C或0 D.或0【解析】或tan 20或tan 2.故选D.【答案】D4(2015新课标高考)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ【解析】由题图知
59、，函数f(x)的最小正周期T22，所以，又可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以cos0，解得，所以f(x)cos，所以由2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，所以函数f(x)的单调递减区间为(2k，2k)，kZ.故选D.【答案】D5(2015山东淄博二模)将函数ysin图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是()Ax BxCx Dx【解析】ysinsinsin.由2xk得，x(kZ)令k1，x.故选B.【答案】B6(2015山东实验中学模拟)函数ytan(0x4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则()()A8 B4C4 D
60、8【解析】由ytan0得，x0，即x2.由ytan的图象知，A为BC的中点，所以2，所以()2222228.故选D.【答案】D7(2014天津高考)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A. B. C D2【解析】f(x)2sin(x)，由f(x)1，得sin(x)，x2k或x2m(k，mZ)x1，x2.|x2x1|min.取k0，m0，.2，f(x)2sin(2x)，T.故选C.【答案】C8(2014全国新课标高考)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B. C2 D1【解
61、析】SABCac sin B1sin B，sin B，B(0，)，B或.当B时，由余弦定理b2a2c22accos B21211，b1，ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去B时，由余弦定理：b2a2c22accos B5，b.故选B.【答案】B9(2013浙江高考)已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. B.C D【解析】把条件中的式子两边平方，得sin24sin cos 4cos2，即3cos24sin cos ，所以，所以，即3tan28tan 30，解得tan 3或tan ，所以tan 2.【答案】C10(2015云南模拟)已知平面向量a(2cos2x，sin2x)，b(c
62、os2x，2sin2x)，f(x)ab，要得到ysin 2xcos 2x的图象，只需要将yf(x)的图象()A向左平行移动个单位B向右平行移动个单位C向左平行移动个单位D向右平行移动个单位【解析】由题意得：f(x)ab2cos4x2sin4x2(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)2cos 2x2sin(2x)，而ysin 2xcos 2x2sin(2x)2sin2(x)，故只需将yf(x)的图象向右平移个单位即可故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)11(2015新课标高考)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_【解析】由于ab与a2b平行，所以存在
63、R，使得ab(a2b)，即()a(12)b0，因为向量a，b不平行，所以0，120，解得.【答案】12(2015山东潍坊3月模拟)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米【解析】在三角形BCD中，可得CD10，BCD105，BDC45，由正弦定理可得BC10，在直角三角形ABC中可得AB10tan 6010.【答案】1013(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_【解
64、析】以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.又，则E，F，0，所以(2)2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.【答案】14(2015马鞍山市第一次质检)函数f(x)3sin的图象为C，如下结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)图象C关于直线x对称；图象C的所有对称中心都可以表示为(kZ)；函数f(x)在区间内是增函数；由y3cos 2x的图象向左平移个单位长度可以得到图象C；函数f(x)在上的最小值是3.【解析】图象的对称轴为2xk(kZ)，即x(kZ)，当k1时，x，故直线x是图象C的对称轴，所以正确；令2xk(kZ)，即x(kZ)，因此图
65、象C的对称中心为(kZ)，所以错误；函数的单调增区间为2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)当k0时，x，所以正确；将y3cos 2x的图象向左平移个单位长度可得y3cos3cos3sin，所以正确；当x时，2x，所以f(x)，故错误综上：正确【答案】三、解答题(本大题共2小题，每小题15分)15(2015山东青岛二模)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b3.(1)求角B；(2)若sin A，求ABC的面积【解】(1).a2b2acc2cos B.B(0，)，B.(2)由b3，sin A，得a2.由ab得AB，从而cos A，故sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以ABC的面积为Sabsin C.16(2015福州三明模拟)已知函数f(x)sin(x)cos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值【解】(1)f(x)sin(x)cos xcos2x，f(x)sin xcos xsin 2xcos 2xsin.0，依题意得，1.(2)由(1)知f(x)sin，g(x)f(2x)sin.当0x时，4x，sin1，1g(x).故g(x)在区间上的最小值为1.高考资源网版权所有，侵权必究！