1、第二节二项式定理考情解读命题规律考点二项展开式中的特定项或系数问题二项式系数及项的系数问题多项式展开式中的特定项或系数问题考查频次近年为单独命题卷,5年1考卷,5年3考 卷,5年1考考查难度中等中等常考题型及分值选择题,5分选择题,5分命题趋势 预计高考对本部分的考查以二项展开式为主,主要以多项式的综合命题为主.复习时注意:熟练应用二项展开式,并对多项式展开式加以注意.基础导学知识梳理1.二项式定理(+)=1.其中右端为(+)的二项展开式.0 0+1 1+0 2.二项展开式的通项公式，第 +1 项为 +1=2.性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 4 增减性二项式系数
2、 Ckn当 6 （）时,是递减的 2最大值n 当 n 为偶数时,中间的一项 2 取得最大值当 n 为奇数时,中间的两项 7 和 8 取得最大值各二项式系数和 0+1+2+=2 3.二项式系数（1）定义：二项式系数为3 （2）二项式系数的性质0,1,2,=+12 +12 n 12 +12 知识拓展1.一对易混概念 二项展开式中第+1 项的（1）二项式系数是,而不是+1.（2）项的系数是该项的数字因数.2.两个常用公式（1）0+1+2+=2 .（2）0+2+4+=1+3+5+=2 1.（展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等）3.三个重要特征（1）字母 的指数按降幂排列由 到 0.（2）字母 的指
3、数按升幂排列由 0 到.（3）每一项字母 的指数与字母 的指数和等于.重难突破考点一 通项公式法解决特定项或系数问题典例研析【例1】C28（1）2018全国卷(2+2)5 的展开式中4 的系数为()A.10 B.20 C.40 D.80 （2）2019天津卷(2 183)8 的展开式中的常数项为 .解析(2+2)5 的展开式的通项+1=5(2)5 (21)=25 103,令10 3=4,得=2,所以4 的系数为22 52=40.故选.解析 二项展开式的通项公式为 +1=8(2)8(183)=(1)8 28 23 84=(1)8 284 84,令8 4=0,得=2,即 3=(1)2 82 20=
4、82=28,故常数项为 28.5解析(2+)9 展开式的通项+1=9(2)9=9 292 (=0,1,2,.,9),令=0,得常数项 1=90 292 0=292=16 2,要使系数为有理数,则只需92 ,则 必为奇数,满足条件的 有 1,3,5,7,9,共五种,故系数为有理数的项的个数是 5.（3）2019浙江卷在二项式(2+)9 的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数是 .16 2 方法技巧：通项公式法即利用二项展开式的通项公式,根据题意,对相应的指数进行赋值,从而解决指定项问题的方法.此方法适用于已知二项式,求常数项、指定项的系数等问题.破解此类题的关键点：（1）求通项,根据二项
5、式(+)的展开式的通项公式 +1=(=0,1,2,),整理出 +1=().（2）找方程,依题设条件中的指定项的相关信息,寻找关于 的方程.（3）解方程,通过解方程,求出 的值.（4）得结论,把 的值代入通项公式,得结论.对点训练131.二项式(1)6(0)展开式中2 项的系数为 15,则实数=.解析由题意可知+1=662(1),0 6,则2 项的系数是62 2=15,又 0,则 =1.2.(12 4)8 的展开式中的有理项共有 项.解析(12 4)8 的展开式的通项为 +1=8()8(12 4)=(12)81634(=0,1,2,8),为使 +1 为有理项,必须是 4 的倍数,所以=0,4,8
6、,故共有 3 个有理项,分别是 1=(12)0804=4,5=(12)484=358,9=(12)8882=12562.重难突破考点二 赋值法解决二项展开式中各项系数和问题（2）若(2 1)的展开式中含 的项为第 6 项,设(1 3)=0+1+22+,则 1+2+的值为 .典例研析【例2】255（1）设(5 1)的展开式的各项系数之和为,二项式系数之和为,若 =240,则展开式中含 的项为 .150 解析 二项式(2 1)的展开式的第 6 项是 5+1=5(1)52 15,令2 15=1,得=8.在二项式(1 3)8 的展开式中,令=0,得 0=1;令=1,得 0+1+8=(2)8=256.所
7、以 1+2+8=255.解析由已知条件4 2=240,解得=4,+1=4(5)4(1)=(1)544432,令4 32=1,得=2,3=150.方法技巧：赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值,从而求得二项展开式的各项的系数和的方法.此方法体现的是从一般到特殊的转化思想.破解此类题的关键点：（1）赋值,认真观察已知等式,给未知元合理赋值.常赋的值有1,1,0 等.（2）求参数,通过合理赋值,建立关于参数的方程,并解方程,求出参数的值.（3）得结论,求出指定项的系数和.对点训练CD3.在(+3)的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则3 的系数为()A.15 B.45 C.135 D.
8、405 解析令(+3)中 为 1,得各项系数和为4,又展开式的各项的二项式系数和为2,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,4 2=64,解得=6,二项式的展开式的通 项公式为+1=6 3 632,令6 32 =3,求得=2,故展开式中3 的系数为62 32=135.故选.4.若(1+)(1 2)8=0+1+99,则 1 2+2 22+9 29 的值为()A.29 B.29 1 C.39 D.39 1 解析(1+)(1 2)8=0+1+22+99,令 =0,得 0=1;令 =2,得 0+1 2+2 22+9 29=39,1 2+2 22+9 29=39 1.故选 .重难突破考点三 求非
9、二项式结构的展开式的特定项（或系数）典例研析【例3】A（1）2019全国卷理(1+22)(1+)4 的展开式中3 的系数为()A.12 B.16 C.20 D.24 （2）如果(1+2)()5(为实常数）的展开式中所有项的系数和为 0,则展开式中含4 项的系数为 .5 解析(1+)4 的二项展开式的通项为 +1=4 (=0,1,2,3,4),故(1+22)(1+)4 的展开式中3 的系数为43+241=12.故选.解析 (1+2)()5 的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1 )5=0,=1.(1+2)()5=(1+2)(1)5 =(3 1)(1)4=3(1)4 (1)4,其展开式中含4
10、 项的系数为43(1)3 40(1)0=5.解析由题意,(2 +1)10=(1)+110 =100(1)0 110+101(1)1 19+102(1)2 18+103(1)3 17+1010(1)10 10=100+101(1)+102 2(1)2+103 3(1)3+101010(1)10,因为103 出现在102 2(1)2+103 3(1)3 =102 2(2 2+1)+103 3(3 32+3 1)中,所以3 的系数为102(2)+103(1)=90 120=210.（3）(2 +1)10 展开式中3 项的系数为 .210 方法技巧：方法解读适合题型拆分法(+)2(+)=(2+2 +2
11、)(+),然后展开可结合成二项式的和或差（+）=(+)+,将(+)看作一项 =(),将 拆分为两项的和或差合并法(+）(+)=(+)(+)(+)(,)有公因式或含完全平方公式(+)=(+)通项法(+)(+),分别求（+）的通项+1 和（+）的通项 h+1,然后将+1 h+1 求解两二项式无公因式 对点训练CC5.2017全国卷(+)(2 )5 的展开式中33 的系数为()A.80 B.40 C.40 D.80 解析(2 )5 的展开式的通项为+1=5 (2)5 ()=(1)255 5.其中23 项的系数为(1)3 22 53=40,32 项的系数为(1)2 23 52=80.于是(+)(2 )
12、5 的展开式中33 的系数为40+80=40.6.(2+)5 的展开式中,52 的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60 解析(2+)5=(2+)+5 的展开式中只有52(2+)32 中含52,易知52 的系数为5231=30.故选.4 2467.(1+3)6(1+1 4)10 展开式中的常数项为 .解析分别求两个因式的通项：+1=63,+1=63 +1=104 ,则 63 104=61034 ,又0 6,0 10,则3 4=0,解得=0,=3 且=4,=6 且=8.即常数项为1+63104+66108=4 246.重难突破考点四 二项式系数或项的系数的最值问题典例研析【例4】A（1
13、）已知二项式(+1 3)(0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大,展开式中2 项的系数为84,则 的值为()A.1 B.14 C.2 D.12 （2）在(1 2)的展开式中,偶数项的二项式系数之和为 128,则展开式二项式系数最大的项为 .1 1204 解析 由二项式系数的性质知,2 1=128,解得=8,(1 2)8 的展开式共有 9 项,中间项,即第 5 项的二项式系数最大,4+1=8414(2)4=1 1204.解析由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知=9,则展开式的通项公式为+1=9()9(1 3)=9 992 3=9 99256(=0,1,2,3,9),令92 56
14、=2,则=3,所以93 93=93 6=84,解得=1,因为 0,所以=1.方法技巧：（1）二项式系数的最大值,根据(+)的二项式系数性质求解.（2）项的系数的最值,利用不等式法.求出展开式的通项公式+1=为最大系数,则 +1,1,求 的整数解.对点训练112B8.设 为正整数,(23)的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 .解析依题意得,=8,所以展开式的通项+1=88(23)=884(2),令8 4=0,解得=2,所以展开式中的常数项为 3=82(2)2=112.9.(+1 3)2()的展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为()A.120 B.210 C.2
15、52 D.45 解析由已知得,二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等.由展开式中只有第 6 项的系数2 5 最大,可得展开式有 11 项,即2=10,=5.(+1 3)10 展开式的通项为+1=10 5123=10 556,令5 56 =0 可得=6,此时 7=106=210.课时作业一、单项选择题BC1.(1+2)5 的展开式中,2 的系数等于()A.80 B.40 C.20 D.10 解析 +1=5 15(2)=5 2 ,令=2,则可得含2 项的系数为52 22=40.2.在(1+)6 的展开式中,含3 项的系数为()A.30 B.20 C.15 D.10 解析在(1+)6 的展开式中,
16、含2 的项为 3=62 2=152,故在(1+)6 的展开式中,含3 的项的系数为15.D3.(2 12)6 的展开式中,常数项是()A.54 B.54 C.1516 D.1516 解析+1=6(2)6(12)=(12)6123,令12 3=0,解得=4.常数项为(12)464=1516.故选 .BC4.二项式(+1)()的展开式中2 的系数为 15,则=()A.7 B.6 C.5 D.4 解析因为(+1)的展开式中2 的系数为 2,所以 2=15,即 2=15,亦即 2 =30,解得=6(=5 舍）.5.已知()8 展开式中常数项为 1 120,其中 是常数,则展开式中各项系数的和是()A.
17、28B.38C.1 或38D.1 或28解析由题意知84 ()4=1 120,解得=2,令=1,得展开式中各项系数的和为(1 )8=1 或38.AD6.(2)8 的展开式中,62 项的系数是()A.56 B.56 C.28 D.28 解析二项式的通项为+1=88(2),令8 =6,即=2,得62 项的系数为82(2)2=56.7.已知()5 的展开式中含32 的项的系数为 30,则=()A.3 B.3 C.6 D.6 解析()5 的展开式的通项为+1=5()5 ()=()5 522,依题意,令5 2=3,得=1,()1 51=30,=6.故选 .CD8.(2+12 2)3 展开式中的常数项为(
18、)A.8 B.12 C.20 D.20 解析(2+12 2)3=(1)6,+1=66(1)=6(1)62,令6 2=0,得=3,常数项为63(1)3=20.9.已知(2 1)10=0+1+22+99+1010,则 2+3+9+10 的值为()A.20 B.0 C.1 D.20 解析令=1,得 0+1+2+9+10=1,再令=0,得 0=1,所以 1+2+9+10=0,又易知 1=109 21 (1)9=20,所以 2+3+9+10=20.DA10.已知(1+)(1+)5 的展开式中2 的系数为 5,则=()A.4 B.3 C.2 D.1 解析(1+)5 中含 与2 的项为 2=51=5,3=5
19、22=102,2 的系数为10+5=5,=1.11.(1 3)5=0+1+22+33+44+55,求|0|+|1|+|2|+|3|+|4|+|5|=()A.1 024 B.243 C.32 D.24 解析令=1 得 0 1+2 3+4 5=|0|+|1|+|2|+|3|+|4|+|5|=1 (3)5=45=1 024.C解析（解法一）(1+12)(1+)6=1 (1+)6+12 (1+)6,(1+)6 的展开式中的2 的系数为62=15,12(1+)6 的展开式中的2 的系数为64=15,所以所求展开式中2 的系数为15+15=30.（解法二）因为(1+12)(1+)6=(1+2)(1+)62
20、,所以(1+12)(1+)6 展开式中2 的系数等于(1+2)(1+)6 展开式中4 的系数,而(1+2)(1+)6 的展开式中4 的系数为64+62=30,故(1+12)(1+)6 展开式中2 的系数为 30.解法三 因为(1+12)(1+)6=(1+2+2)(1+)62(1+)62=(1+)822(1+)6,所以(1+12)(1+)6 展开式中2 的系数为84 263=30.故选.12.2017全国卷(1+12)(1+)6 展开式中2 的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35 二、填空题613.在(1)4 的展开式中,的系数为 .解析由题意得+1=4()4(1)=(1)4 42,
21、令42=1,得=2,所以所求系数为(1)242=6.14.(2)6 的展开式中,二项式系数最大的项的系数为 （用数字作答）.160 解析二项式系数最大的项是 4=633(2)3=16033.1016.已知(1+3)的展开式中,后三项的二项式系数的和等于 121,则展开式中二项式系数最大的项为 .158(3)8 和157(3)7 解析由已知得 2+1+=121,则 12 (1)+1=121,即 2+240=0,解得=15（舍去负值）,所以展开式中二项式系数最大的项是 8=157(3)7 和 9=158(3)8.15.若将函数()=5 表示为()=0+1(1+)+2(1+)2+5(1+)5,其中 0,1,2,5 为实数,则 3=.解析由于()=5=(1+)15,所以 3=53(1)2=10.