1、高中学生学科素质训练系列试题高三上学期数学单元测试（8）原人教版 圆锥曲线（第八章）注意事项：1本试题分为第卷和第卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2答第卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。3第卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。1已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率是（ ）A B C
2、D2设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 （ ）A B C D3已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若 是正三角形,则这个椭圆的离心率为（ ）A B C D4过椭圆中心的直线与椭圆交于A、B两点,右焦点为F2,则ABF2的最大面积是（ ）A B C D5已知双曲线的两个焦点分别为,过作垂直于x轴的直线,与双曲线的一个交点为P,且,则双曲线的离心率为（ ）A2B C3 D6二次曲线,当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D7P是椭圆上的点,是椭圆的焦点,若且. 则此椭圆的离心率为（ ）A B C D
3、8已知定点A、B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是（ ）A B C D59设,则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）20081103A B C D10对于抛物线上任意一点Q,点都满足.则的取值范围是（ ）A B(-,2) C0,2 D(0,2)11抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）A B C D312设双曲线的半焦距为,直线过两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为（ ）A2 B2或 C D第卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。13如果过两点和的直线与抛物线没有交点,那么实数的取值范围是 14对任意实数
4、,直线与椭圆恒有公共点,则的取值范围是 15设抛物线的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是 16抛物线上有两点A、B,且|AB|=6.则线段AB的中点M到y轴的最小距离为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共70分)。17（本小题满分10分）P是椭圆上的点, 是椭圆的左右焦点,设.求的最大值与最小值的差.18（本小题满分12分）点P到M(-1,0)、N(1,0)的距离之差为2m,到x轴、y轴的距离之比为2.求m的取值范围. 19（本小题满分12分）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上
5、，且位于轴上方，. （1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.20（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线. （1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论； （2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围.21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中,有一个以为和焦点、离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x , y轴的交点分别为A、B,且向量.求: （1）点M的轨迹方程； （2）的最小值.22（本小题满分12分）P、Q、M、N四点都在椭圆上,
6、F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线,且与共线.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.20081103参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1C.提示:由已知得渐近线方程为: , 再求出 最后计算得.2D.提示：由平面几何知识和椭圆的定义知，故. D正确.3A.xyOF1F2AB 提示:画草图,设正的边长为,则,由椭圆的定义得, 则.4C. 提示:5D. 提示:由已知易得 ,.6C. 提示:由题设条件得,此曲线为双曲线, xyOF2PF1 由得. 故选C.7D. 提示:画出草图(如右图), 由得. 由椭圆的定义得 , .再由勾股定理得 . .y1PP1OxAB8C
7、 提示:由题设条件可知,点P在是以A、B为焦点且靠近点B的双曲线的一支上(如右图所示).由右图可得P在P1点处|PA|取得最小值.|AO|=2, . .9D 提示: , , . . .10B. 提示:设点Q的坐标为 由,得.整理得, ,即恒成立. 故选B.11A 提示:代数法 设为抛物线上任意一点. 则.点P到直线的距离为 .数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离.12D 提示:由已知, 直线的方程为:即.则原点到直线的距离为: . 由已知得,又. 两边同除以并整理得: .解得. 从而 均满足双曲线的离心率.由条件,可得 . 故.选D.二、填空
8、题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 提示:联立直线AB方程与抛物线方程,消去y,得关于x的二次方程没有实根,得到=.14-1，3提示:对对任意实数,直线恒过点. 椭圆的方程可化为. 由已知条件得: 点在椭圆上或的内部,即. 解得.15 提示:由已知易得Q(2,0).设直线的方程为 .直线与抛物线有公共点, 方程组实数解,即有实数解.故=, .xyOFAA1B1BMM1d1d2-1 162 提示:设抛物线的焦点为F,准线为.点M到y轴的距离为d0.过A,B,M分别作的垂线(如右图所示).则MM1是直角梯形ABB1A1的中位线, |MM1|=又由抛物线的定义知.当且仅当AB过点F时取
9、等号. .故线段AB的中点M到y轴的最小距离为2.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17解:由已知得. 设P(x , y)，3分由椭圆的焦半径公式得, 又.7分. 故.故的最大值与最小值的差为1. 10分18解:设点P的坐标为(x , y),依题意得,即 因此,点P(x , y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得|PM|-|PN|0, 0|m|0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,).6分 （2）直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离为, 则,由于66, 当=时,取得最小值.12分20解：（1
10、）两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意不同时为0上述条件等价于 ，上述条件等价于 即当且仅当时，经过抛物线的焦点.6分 （2）设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程 , .为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即.设的中点的坐标为，则，.由点在上, 得，于是.故即得在轴上截距的取值范围为.12分21解：（1）设椭圆的方程为. 由已知,可得曲线C的方程为 求导得设,因P为C上,所以有,由此得切线AB的方程为:设A(x , 0)和B(0 , y). 由切线方程得.由得M的坐标为(x , y),由满足C的方程,得点M的轨迹方程为: .6分 （2） 当且仅当即时,上式取等号. 故的最小值为3. 12分22 QPNMFO解:如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为. 又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+21=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而亦即.4分当0时，MN的斜率为，同上可推得 故四边形面积令=得.8分=2 .当=1时=2，S=且S是以为自变量的增函数.当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=. S=|PQ|MN|=2.综合知四边形PMQN的最大值为2，最小值为.12分