1、第一章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个B2个C3个 D4个答案A解析设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点2在区间，2上，函数f(x)x2pxq与g(x)2x在同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在，2上的最大值是()A.B.C8
2、D4答案D3点P在曲线yx3x上移动，设点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是()A0， B0，)C，) D，答案B4已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am BmCm Dm答案A解析因为函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2.令f(x)0，得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m.不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.5函数f(x)cos2x2cos2的一个单调增区间是()A. B.C. D.答案A解析f(x)cos2xcosx1，f(x)2sinxcosxsinx
3、sinx(12cosx)令f(x)0，结合选项，选A.6设f(x)在xx0处可导，且 1，则f(x0)等于()A1 B0C3 D.答案D7经过原点且与曲线y相切的切线方程为()Axy0Bx25y0Cxy0或x25y0D以上皆非答案D8函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)是()A增函数B减函数C常数D既不是增函数也不是减函数答案A9若a2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0个根 B1个根C2个根 D3个根答案B解析设f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)，当x(0,2)时，f(x)0，f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)
4、f(2)14a0，f(x)0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.10一点沿直线运动，如果由始点起经过t s后距离为st4t32t2，那么速度为零的时刻是()A1 s末 B0 sC4 s末 D0,1,4 s末答案D11设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D不存在答案C解析数形结合，如图f(x)dxx2dx(2x)dx(422)，故选C.12若函数f(x)，且0x1x2b BabCab Da、b的大小不能确定答案A解析f(x)，令g(x)xcosxsinx，则g(x)xsinxcosxcosxxsinx.0x1，g(x)0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)g(0)0，故
5、f(x)b，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若f(x)x3f(1)x2x5，则f(1)_.答案解析f(x)x22f(1)x1，令x1，得f(1).14已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)xsinx，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则a、b、c的大小关系是_答案ca2130，f(2)f(1)f(3)，即cab.15已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且f(x)dx3，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)x解析设函数f(x)axb(a0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b42a.f(x)dx
6、 (ax42a)dxax2(42a)xa42a1.a.b.f(x)x.16(2010江苏卷)函数yx2(x0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_答案21解析y2x，过点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1,0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值解析抛物线
7、yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形面积S(xx2)dx.又由此可得抛物线yxx2与ykx两交点的横坐标x30，x41k，所以 (xx2kx)dx(1k)3.又S，所以(1k)3，k1.18(12分)已知函数f(x)x44x3ax21在区间0,1上单调递增，在区间1,2)上单调递减(1)求a的值；(2)若点A(x0，f(x0)在函数f(x)的图像上，求证：点A关于直线x1的对称点B也在函数f(x)的图像上解析(1)由函数f(x)x44x3ax21在区间0,1单调递增，在区间1,2)单调递减，x1时，取得极大值，f(1)0.又f(x)4x312x22ax，41
8、22a0a4.(2)点A(x0，f(x0)关于直线x1的对称点B的坐标为(2x0，f(x0)，f(2x0)(2x0)44(2x0)34(2x0)21(2x0)2(2x0)221x404x30ax201f(x0)，A关于直线x1的对称点B也在函数f(x)的图像上19(12分)设x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求常数a，b；(2)试判断x2，x4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由解析f(x)3x22axb.(1)由极值点的必要条件可知：f(2)f(4)0，即解得a3，b24.或f(x)3x22axb3(x2)(x4)3x26x24，也可得a3，b24.(2)由f(
9、x)3(x2)(x4)当x2时，f(x)0，当2x4时，f(x)0.x2是极大值点，而当x4时，f(x)0，x4是极小值点20(12分)已知f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值解析a0(否则f(x)b与题设矛盾)，由f(x)3ax212ax0及x1,2，得x0.(1)当a0时，列表：x(1,0)0(0,2)f(x)0f(x)增极大值b减由上表知，f(x)在1,0上是增函数，f(x)在0,2上是减函数则当x0时，f(x)有最大值，从而b3.又f(1)7a3，f(2)16a3，a0，f(1)f(2)从而f(2)16a329，得a2.(2)当a0时，用类似的方法
10、可判断当x0时f(x)有最小值当x2时，f(x)有最大值从而f(0)b29, f(2)16a293，得a2.综上，a2，b3或a2，b29.21(12分)(2010重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解析(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，
11、从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的解析式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令 g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在，上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2).因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值为g(2).22(12分)已知函数f(x)ln(ax1)，x0，其中a0.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围分析
12、解答本题，应先正确求出函数f(x)的导数f(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解解析(1)f(x)，f(x)在x1处取得极值，f(1)0，即a12a20，解得a1.(2)f(x)，x0，a0，ax10.当a2时，在区间0，)上，f(x)0，f(x)的单调增区间为0，)当0a0，解得x .由f(x)0，解得x .f(x)的单调减区间为(0, )，单调增区间为( ，)(3)当a2时，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)1；当0a2，由(2)知，f(x)在x处取得最小值，且f( )f(0)1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是2，)