1、第2课时导数与函数的极值、最值1函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函
2、数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值常用结论对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值不一定比极小值大()(2)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(3)函数的极大值一定是函数的最大值()(4)开区间上的单调连续函数无最值()答案：(1)(2)(3)(4)诊断自测1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极
3、大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点2函数yx2cos x在区间上的最大值是_解析：因为y12sin x，所以当x时，y0；当x时，y0时，ex1，所以aex1.答案：(，1)用导数解决函数的极值问题(多维探究)角度一根据图象判断函数的极值 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值
4、f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【解析】由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1时，01x3，此时f(x)0；当1x2时，11x0，此时f(x)2时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值【答案】D角度二求函数的极值 已知函数f(x)ln xax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数【解】(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(
5、0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a(x0)，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数f(x)在x处有一个极大值点角度三已知函数的极值点或极值求参数 (1)(2021丽水模拟)已知函数f(x)(m1)ex2(mR)有两个不同的极值点，则实数m的取值范围为()A(1，1)B，0C，)D(0，)(2)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0
6、，则ab_【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)x(m1)ex.因为函数f(x)有两个不同的极值点，所以f(x)x(m1)ex有两个不同的零点，故关于x的方程m1有两个不同的解令g(x)，则g(x)的图象与ym1的图象有两个不同的交点g(x)，当x(，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减故g(x)在x1处取得最大值又当x时，g(x)，当x时，g(x)0，且g(1)，所以0m1，所以1m1，故选A.(2)由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b
7、9满足题意，故ab7.【答案】(1)A(2)7(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性提醒若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 1设函数f(x)ax32x2xc(a0)(1)当a1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在(，)上无极值点，求a的取值范围解：f(x)3ax24x1.(1)函数图象
8、过点(0，1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)3x24x1，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得x0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围为.2已知函数f(x)xln 2x(a1)x2x存在两个不同的极值点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：4x1x2e2.解：(1)由题易知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln 2x12(a1)x1ln 2x2(a1)x.因为函数f(x)存在两个不同的极值点x1，x2，所以f(x)0在(0，)上有两个不同的零点显然当a1时，f(x)单调递增，不可能有两个零点
9、，因此a1.令F(x)f(x)ln 2x2(a1)x，则F(x)2(a1)，故当x时，F(x)0，F(x)单调递增，即f(x)单调递增；当x时，F(x)0，F(x)单调递减，即f(x)单调递减因此若f(x)有两个零点，则需fln2(a1)ln10，解得a1.又a1，所以实数a的取值范围为.(2)因为x1，x2为函数f(x)的两个不同的极值点，所以即两式相加得ln 4x1x22(1a)(x1x2)，两式相减得ln2(1a)(x1x2)得.要证4x1x2e2，即证ln 4x1x22，即证ln2.不妨设0x1x2，则需证ln20.令t，则t(0，1)，需证ln t20.令g(t)ln t2，则g(t
10、)，当t(0，1)时，g(t)0，故g(t)在t(0，1)上单调递增又g(1)0，所以当t(0，1)时g(t)0，因此ln20，即4x1x2e2.利用导数求函数的最值(值域)(师生共研) 已知函数f(x)(x)ex(x)(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围【解】(1)因为(x)1，(ex)ex，所以f(x)ex(x)ex.(2)由f(x)0，解得x1或x.于是当x发生变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x1f(x)00f(x)e0e又f(x)(1)2ex0，所以f(x)在区间上的取值范围是.求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的
11、极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解：因为f(x)kln x，f(x).(1)若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.(2)若k0，f(x).若k0，则在上恒有0，由ke，则x0，所以0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)kln ek1，f(x)maxfek1.综上，k时，f(x)mink1，f(x)maxek1.函数极值
12、与最值的综合问题(师生共研) 已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围【解】(1)由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)0，即f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2.(2)因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0时，由f(x)0得，x，所以f(x)在上单调
13、递增；由f(x)0得，0x，所以f(x)在上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得2a0，所以实数a的取值范围是2，0)(1)利用导数研究函数极值、最值的综合问题的一般思路若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值(2)已知最值求参数的范围主要采取分
14、类讨论的思想，将导函数的零点与所给区间进行比较，利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而可求其最值，判断所求的最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围 已知函数f(x)(xa)ln x(aR)(1)当a0时，求函数f(x)在区间，3上的最大值与最小值(2)若函数f(x)有2个不同的极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围；在的条件下，若x1x2b，求实数b的最小值解：(1)当a0时，f(x)xln x，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x，因此当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增，即当x时，函数f(x)取得最小值，为，f(x)maxmax3ln 3，所以f(x)
15、在上的最小值为，最大值为3ln 3.(2)f(x)ln x1，令g(x)ln x1，则g(x)，当a0时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，所以函数g(x)至多有1个零点，即函数f(x)至多有1个极值点，不合题意当a0时，令g(x)0，得xa，g(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，因此g(x)ming(a)ln a2.当ln a20，即ae2时，g(x)0，因此函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值点，不合题意当ln a20，即0ae2时，g(a)0.令h(a)g(a2)2ln a1(0ae2)，则h(a)4e21e230，即g(a2)0，所以g(a2)g
16、(a)0，所以g(a)g0，所以方程g(x)0在(a2，a)和上各有一个根，分别为x1，x2，因此函数f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，所以函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值综上所述，当0a1，令kln b，则k20，因此ln t0在(1，)上恒成立令(t)ln t(t1)，则(t)，若(t)0，则t22(k3)t10(t1)，得解得k4，此时函数(t)在(1，)上单调递增，所以(t)0，所以k4符合题意当k0，所以方程t22(k3)t10有两个不相等的实数根x3，x4(x30，x3x41，因此x31x4，函数(t)在(1，x4)上单调递减，所以在(1，x4)上，(t)0，所以k4不合题意综上，k4，即ln b4，be4，所以实数b的最小值为e4.