1、第11讲空间几何体的三视图、表面积与体积1(2014江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()【解析】由三视图的知识得B正确【答案】B2(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A72 cm3 B90 cm3 C108 cm3 D138 cm3【解析】由题中三视图知，该几何体由一个长方体与一个三棱柱组成，体积V34634390(cm3)，故选B.【答案】B3(2014陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D【解析】圆柱侧面展开图为矩形，底面圆半径为1，S侧2rl21
2、12，故选C.【答案】C4(2014重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60 C66 D72【解析】S表S底S上S左S前前343553(25)4(25)560.【答案】B5(2014全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.【解析】易知SO4OD设球的半径为R，则(4R)22R2R，S球4R2.【答案】A从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1空间几何体的三视图及确定应用此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合，主要考查学生的空间想象能力，是每
3、年的必考内容之一试题多以选择题的形式出现，属基础题2计算空间几何体的表面积与体积该考向主要以三视图为载体，通常是给出某几何体面积或体积，作为新课标教材的新增内容，日益成为了高考中新的增加点和亮点主要考查学生的计算能力和空间想象能力及识图能力试题多以选择题、填空题为主，多属于中档题3多面体与球的切、接问题该考向命题背景宽，以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接的形式出现，也是高考中的一大热点主要考查学生的空间想象能力和计算能力试题多以选择题、填空题的形式出现，属于中档题.【例1】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D
4、四棱柱(2)(2014湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和 B和 C和 D和【解析】(1)直观图为：(2)在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为，俯视图为.【答案】(1)B(2)D【规律方法】识与画三视图的关键点：(1)要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廊线的正投影围成的平面图形，
5、反映了一个几何体各个侧面的特点正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要和正视图对正，画在正视图的正下方；侧视图要画在正视图的正右方，高度要与正视图平齐(2)要熟悉各种基本几何体的三视图创新预测1(1)(2014武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2014昆明调研)一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形若该几何体的四个顶点在空间直角坐标系0xyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能为()A(1,1,1) B(1,1，)C(1,1，) D(2,2，)【解析】
6、(1)由已知得选项A、B、C与俯视图不符，故选D.(2)因为正视图和侧视图是等边三角形，俯视图是正方形，所以该几何体是正四棱锥，还原几何体并结合其中四个顶点的坐标，建立空间直角坐标系，设O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，所求的第五个顶点的坐标为S(1,1，z)，正视图为等边三角形，且边长为2，故其高为，又正四棱锥的高与正视图的高相等，故z，故第五个顶点的坐标可能为(1,1，)【答案】(1)D(2)C【例2】(1)(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_(2)(2014天津高考)一个几何体的三
7、视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.(3)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21B18C21D18【解析】(1)设棱锥的高为h，V2，VS底h622h2.h1，由勾股定理知：侧棱长为.六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为2，S侧22612.(2)由几何体的三视图知，该几何体由两部分组成，一部分是底面半径为1 m，高为4 m的圆柱，另一部分是底面半径为2 m，高为2 m的圆锥VV柱V锥124222(m3)(3)根据几何体的三视图画出其直观图，根据直观图特征求其表面积由几何体的三视图如题图可知，则几何体的直观图如图所示因此该几何体的表面积为62()221.故选
8、A.【答案】(1)12(2)(3)A【规律方法】1.求解几何体的表面积及体积的技巧：(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤：(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解创新预测2(1)(2014全国新课标高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线
9、画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A6 B4C6 D4(2)(2014辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A8 B8 C8 D82【解析】(1)还原为直观图放在正方体中如图所示三棱锥DABC.ABBC4，AC4，DBDC2，DA6.故最长的棱长为6.故选C.(2)该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V2328，故选C.【答案】(1)C(2)C【例3】(1)(2014陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.(2)(2014湖南高考)一块石材表示的几
10、何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1 B 2 C3 D4【解析】(1)连接AC，BD相交于O1，连接A1C1，B1D1，相交于O2并连接O1O2，则线段O1O2的中点为球心半径R|OB|1，V球R3，故选D.(2)由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R.2R(68)104，R2.【答案】(1)D(2)B【规律方法】多面体与球接、切问题的求解策略：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观
11、图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2a2b2c2求解创新预测3(1)(2013辽宁高考)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3(2)(2013全国课标高考)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_【解析】(1)根据球的内接三棱柱的性质求解因为直三棱柱中AB3，A
12、C4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D，则OD底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R13，即R.(2)本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解V四棱锥OABCDh，得h，OA2h2()26.S球4OA224.【答案】(1)C(2)24总结提升通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点1(1)台体的构成：台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行(2)三视图的不唯一性：空间几何体的不同放置位置对三视图会有影响(3)三视图轮廓线的虚实：正确确定三视图的轮廓线，可见轮廓
13、线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线(4)元素与位置的变与不变：几何体的展开与折叠问题，准确确定前后两个图形间的联系及元素与位置之间的变化与稳定2(1)球的外切四棱锥与内接四棱锥是不一样的，两者不能混淆(2)球的体积公式与锥体的体积公式的系数不一样，两者不能混淆答题指导1(1)看到三视图，想到几何体的直观图(2)看到三棱锥的体积，想到定底定高(3)看到求几何体的表面积、体积，想到几何体的表面积、体积公式2(1)看到球的表面积、体积问题，想到球的表面积、体积公式(2)看到球的组合体问题，想到寻找一个合适的轴截面(3)看到球的截面，想到球的截面性质方法规律1(1)画三视图的规则：长对正，高平齐，
14、宽相等(2)转化思想的应用：将空间问题转化为平面问题(3)几何体体积：注意割补法(将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解)(4)几何体表面上最短距离问题：常常利用几何体的表面展开图解决2(1)球的直径：球的直径等于它的内接正方体的对角线长，等于它的外切正方体的棱长(2)与球有关的接切问题：要注意球心的位置以及球心与其他点形成的直角三角形有关球的组合体的图形与数据处理所谓空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象概括的能力，空间想象能力在立体几何中主要体现在能对空间几何体的各个元素在空间中的位置进行准确判断，能画出空间几何体的直观图，并在直观图中把各种位置关系表达
15、出来球是基本的空间几何体之一，单一的球的直观图容易画出，但是当球与其他空间几何体组成组合体时，其直观图就很难作出，因此与球有关的组合体的图形处理成为空间想象能力考查的重要问题【典例】若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，ABSASBSC2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B.C. D.【解析】如图所示，由SASBSC可知点 S在底面上的射影为ABC的外心由于底面是直角三角形，故其外心为斜边的中点O，设该三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则OOR，在OOA中，R2(R)212，即R，所以球的表面积为4R2.【答案】D【规律感悟】多面体的外接球的球心是到多面体的各个顶点距离相等的点，在确定多面体外接球的球心时要抓住这个特点