1、导数的简单应用1导数与函数的单调性1已知函数，若函数f(x)在1，2上为单调函数，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】，若函数f(x)在1，2上为单调函数，即或在1，2上恒成立，即或在1，2上恒成立令，则h(x)在1，2上单调递增，所以或，即或，又a0，所以或a1，故答案为2若函数在1，4上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】函数，则，因为h(x)在1，4上存在单调递减区间，所以在1，4上有解，所以当x1，4时，有解，令，而当x1，4时，令，即为，此时(此时x1)，所以，又因为a0，所以a的取值范围是，故答案为3已知函数，则f(x)的极值点为x_；若f(x)在区间t，t1
2、上不单调，则实数t的取值范围是_【答案】1，3，【解析】由题意知，由，得或，时，；时，或，所以在和上单调递减，在上单调递增，所以函数f(x)的极值点为x1，3因为函数f(x)在区间t，t1上不单调，所以或，解得或，故答案为1，3；4（多选）若对任意的，且，都有，则m的值可能是（）（注为自然对数的底数）ABCD1【答案】BCD【解析】由题意，得，则等价于，即，所以，则，令，可得，又，所以在上是减函数，所以，解得，则故m可能值B、C、D符合要求，故选BCD5已知函数，求函数f(x)的单调区间【答案】答案见解析【解析】因为，所以，当a0时，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)当a0时，由，得；由
3、，得所以函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是6已知函数，其中kR当时，求函数的单调区间【答案】答案见解析【解析】由题设，当时，令，得；令，得，故的单调递增区间为，单调递减区间为当时，令，得或，当，即时，当时，或；当时，故的单调递增区间为、，减区间为当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为7已知函数（且）（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调区间【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】（1），又，所求切线方程为（2）由题意知，函数的定义域为，由（1）知，易知，当时
4、，令，得或；令，得当时，令，得；令，得或当时，当时，令，得；令，得或综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为8已知函数，讨论的单调性【答案】答案见解析【解析】由的定义域为，且令，则当，即时，对任意的有，则，此时，函数在上单调递增；当，即时，有两个不等的实根，设为、，且，令，解得，解不等式，可得；解不等式，可得或此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为9已知函数（1）若是的极大值点
5、，求a的值；（2）讨论的单调性【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为，定义域为，则，由是的极大值点，故，解得，此时，令，则或（舍），故当时，单调递增；当，单调递减，故是的极大值点，满足题意故（2）因为，定义域为，则，对，其，当时，即时，在单调递减；当时，即时，令，则，且，当时，故当，单调递增，当，单调递减；当，故当，单调递减，当，单调递增；当，单调递减综上所述：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在和单调递减，在单调递增；当时，在单调递减2导数与函数的极值1已知函数在区间上的图象如图所示，则（）ABC2D【答案】B【解析】法一：当时，设，其中，则，另外，所以，故，解得，又因为，所以，故
6、选B法二：由，从而，由于，所以，解得，又从图象可以看出，即，从而，解得，由于，故，故选B2已知函数在处取得极值，若的单调递减区间为，（）A5B4CD【答案】B【解析】，由题设可得，解得，即，令，解得，则函数的单减区间就是，则，故选B3已知函数的一个极值点为1，则的最大值为（）ABCD【答案】D【解析】对求导得，因为函数的一个极值点为1，所以，所以，又，于是得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故的最大值为，故选D4若函数在上无极值，则实数的取值范围（）ABCD【答案】D【解析】由可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在上无极值，则恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选D5若函数(为
7、常数)在区间上有两个极值点，则实数取值范围是_【答案】【解析】由题意得函数在内有两个极值点，在内与轴有两个不同的交点，如图所示：，解得，故答案为6（多选）已知函数（，）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（）ABCD【答案】B【解析】，设是方程的两个实数根，根据题意可知，不妨设，则，且，即，化简得，将代入化简计算得，选项B正确，选项ACD错误，故选B7若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】，若时，当时，；当时，则在上单调递减；在上单调递增所以当时，取得极小值，与条件不符合，故不满足题意当时，由可得或；由可得，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递
8、增所以当时，取得极大值，满足条件当时，由可得或；由可得，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得极小值，不满足条件当时，在上恒成立，即在上单调递增此时无极值综上所述：满足条件，故选A8已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由题意，记，则，则时，单调递减；时，单调递增，所以若，则时，单调递减；时，单调递增，于是是函数的唯一极值点若，则，易知，于是时，；设，即在上单调递增，所以，则时，此时，于是且时，再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，于是函数存在3个极
9、值点，综上所述，故选D9已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：因为函数，所以，则，所以曲线在点处的切线方程为，即（2）解：因为，所以，函数在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于在区间（2，3）中至少有一个变号零点，因为函数的对称轴为，当或时，函数在区间（2，3）上单调，所以，即，解得，满足题意；当时，函数在区间是单调递减，在区间是单调递增，则需或，即或，解得或，与相矛盾，所以实数a的取值范围10已知函数，其中（1）求函数的极值；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围【答案】（1
10、）答案见解析；（2）【解析】（1），函数的定义域是，当时，函数单调递增，此时无极值；当时，函数单调递减；，函数单调递增，故是极小值，无极大值；综上：当时无极值；当时，是极小值，无极大值（2）当时，单调递增，最多有一零点，不满足条件；当时，的极小值是，设，在单调递增，则的极小值大于等于零，最多有一零点，不满足条件；当时，的极小值，所以在必有一零点；，在也有一零点，满足条件，故的取值范围是3导数与函数的最值1已知函数，则的最小值是（）ABCD【答案】A【解析】由函数，得，则，令，当时，；当时，所以函数在上递减，在递增，所以，即的最小值是，故选A2已知函数，若，且，则的最小值等于（）ABCD【答案】
11、D【解析】由解析式知：在各区间上均为增函数且连续，故在上单调递增，且，所以时，可设，则，得，于是，令，则，所以在上，；在上，故在上递减，在上递增，所以的极小值也是最小值，且为，故的最小值是故选D3函数，若存在，对任意，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由题意可知，函数在上存在最大值，令，其中，则当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，若，当时，此时存在最大值；若，则当时，存在使得，此时函数无最大值综上所述，故选A4（多选）若函数在上有最大值，则a的取值可能为（）ABCD【答案】AB【解析】，则，当和时，函数单调递增；当时，函数单调递减在处取极大值为函数在上有最大值，
12、故，且，即，解得故选AB5若函数存在最小值，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】因为函数，所以，当时，又，所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；当时，则有两个不等实根，设两个不等实根，则，所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以是函数的极小值点，又时，所以，所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，即，所以，即，解得，所以，故答案为6已知，函数，若函数与有相同的最大值，则m的取值范围为_【答案】【解析】因为，所以，因为，所以当时，；当时，所以当时，取得最大值，因为与有相同的最大值，所以，解得，所以m的取值范围为，故答案为7已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若
13、，求函数的最值【答案】（1）；（2）函数的最小值为，最大值为【解析】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为（2）由（1）知，由，解得，而，当时，；当时，因此，在上单调递减，在上单调递增，则当时，而，显然，即有，所以函数的最小值为，最大值为8已知函数，（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（2）当时，求函数在区间上的最小值【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为【解析】（1）解：因为，所以，曲线在点处的切线垂直于直线，又直线的斜率为1，（2）解：，当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值为当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区
14、间上，此时函数在区间上单调递增，则函数在区间上的最小值为当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值综上所述，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为9设函数，关于的函数表示在的最小值（1）求的值；（2）求的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，所以在单调递增，所以（2）注意到无论取何值，从而下面验证，当时，上述不等式的等号能成立当时，设，则当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，故在区间单调递减，在区间单调递增而，故有两个零点，分别为和当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，因此在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以而，所以综上所述，当时，取得最大值
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