1、2011年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2011年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不
2、准使用涂改液、刮纸刀.参考公式：样本数据的标准差： ，其中为样本的平均数.柱体体积公式：，其中是柱体的底面积，为高.锥体体积公式：，其中是锥体的底面积，为高.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知复数在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数的值为A. 2B. 1C. 0D. 22. 已知集合,则图中阴影部分表示的集合为A. 2B. 2,1C. 2,1,0D. 2,1,0,13. 已知向量若与平行，则实数的值是A. 2B. 0C. 1D. 24. 若点在直线
3、上，则=A. B. C. D. 5. 已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为ABCD6. 将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，其正视图和俯视图如图所示. 此时连结顶点B、D形成三棱锥BACD，则其侧视图的面积为A. 1B. C. D. 7. 已知，则点落在区域内的概率为A. B. C. D. 8. 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是A. 680B. 320 C. 0.68D. 0.329
4、. 已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为A. B. C. D. 10. 气象学院用32000元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了A. 600天B. 800天C. 1000天D. 1200天11. 四棱锥的底面为正方形 ，且垂直于底面，为中点，则三棱锥与四棱锥的体积比为A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:812. 已知函数定义域为，且方程在上有两个不等实根，则的取值范围是A. B. 1C. D. 1 第卷（非选择题，共90分
5、）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 .14. 依此类推，第个等式为.15. 给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图象向右平移个单位； 图象向左平移个单位；图象向右平移个单位；图象向左平移个单位.请用上述变换中的两种变换，将函数的图象变换到函数ysin()的图象，那么这两种变换的序号依次是(填上
6、一种你认为正确的答案即可).16. 设椭圆的下、上顶点分别为B1、B2，若点P为椭圆上的一点，且直线PB1、PB2的斜率分别为和1，则椭圆的离心率为 . 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）在海岛上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.(1) 求船的航行速度；(2) 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.18. （本小题满分12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校
7、高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(2) 若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；(3) 若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率. 19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中,为的中点，且.(1) 求证：平
8、面；(2) 求与平面所成角的大小.20. （本小题满分12分）已知两点、分别在直线和上运动，且，动点满足(为坐标原点)，点的轨迹记为曲线.(1) 求曲线的方程；(2) 过曲线上任意一点作它的切线，与椭圆交于M、N两点， 求证：为定值.21. （本小题满分12分）已知函数(1) 求函数的单调区间和极值；(2) 求证：当时，(3) 如果，且，求证：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：(1) ；(2) AB2=BEBDAEA
9、C.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.(1) 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2) 求曲线上的点到直线的最大距离.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知，ab，求证：|f(a)f(b)|ab|.2011年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2011年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(文科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A 2.A 3.D 4.C 5
10、.B 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.C 12.A简答与提示：1. A 化简复数i1(a1)i，由题意知a11，解得a2.2. A ，阴影部分表示的集合为2.3. D与平行，解得.4. C点P在y2x上，sin2cos，sin22cos22sincos2(2cos21)4cos24cos222.5. B，.，前5项和为.6. C由正视图和俯视图可知，平面平面.三棱锥BACD侧视图为等腰直角三角形，直角边长为，侧视图面积为.7. B不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为，则所求概率为. 8. D程序框图统计的是作业时间为60分钟以上的学生的数量，因此由输出果为680知，有6
11、80名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在060分钟内的学生总数有320人，故所求频率为0.32.9. A作出函数的示意图如图，则或，解得或. 10. B 设一共使用了天，则使用天的平均耗资为,当且仅当时，取得最小值，此时n800.11. C 为中点，1:4.12. A依题意在上有两个不等实根.(方法一)问题可化为和在上有两个不同交点. 对于临界直线，应有，即.对于临界直线，化简方程，得，令，解得，令，得，1，即.综上，.(方法二)化简方程，得.令，则由根的分布可得,即，解得.又，.综上，.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 或(填出其中一种即可)
12、 16. 简答与提示：13. 原命题的否定形式为0，为真命题.即0恒成立，只需=0，解得.14. .15. 或(填出其中一种即可)ysinxysin(x)ysin()，或ysinxysinxysin(x)sin().16. ,，解得交点，代入椭圆得解得，.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力，具体涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面积公式.【试题解析】解：设船速为km/h，则km.在中，与俯角相等为30，.同理，中，. (4分)在中，154560，由余弦定理得，km/h，船的航行速度为k
13、m/h. (6分)(方法一) 作于点，当船行驶到点时，最小，从而最小.此时，. (10分).船在行驶过程中与观察站的最短距离为km. (12分) (方法二) 由知在中，由正弦定理，. (8分)作于点，当船行驶到点时，最小，从而最小.此时，. (10分).船在行驶过程中与观察站的最短距离为km. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、中位数及古典概型等内容.【试题解析】解：(1)第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14，此次测试总人数为(人).第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.280.30
14、0.14)5036(人) (4分)(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，中位数位于第4组内. (8分)(3)设成绩优秀的9人分别为则选出的2人所有可能的情况为：.共36种，其中、到少有1人入选的情况有15种，、两人至少有1人入选的概率为 (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识及空间想象能力，具体涉及到线面的平行关系、线面角的求法.【试题解析】证明:如图一，连结与交于点，连结.在中，、为中点，. (4分)又平面，平面，平面. (6分)图一图二图三证明：(方法一)如图二，为的中点，. 又，平面
15、. (8分)取的中点，又为的中点，、平行且相等，是平行四边形，、平行且相等.又平面，平面，即所求角. (10分)由前面证明知平面，又，平面，此三棱柱为直棱柱.设，. (12分)(方法二)如图三，为的中点，. 又，平面. (8分)取的中点，则，平面.即与平面所成的角. (10分)由前面证明知平面，又，平面，此三棱柱为直棱柱.设，. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识.【试题解析】解：(方法一)设，是线段的中点， (2分)，.化简得点的轨迹的方程为. (5分)(方法二)，为线段的中点. (
16、2分)、分别在直线和上，.又，点在以原点为圆心，为半径的圆上. 点的轨迹的方程为. (5分)证明：当直线l的斜率存在时，设l ykxm，l与C相切，.联立，.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，. (8分)x1x2y1y2.又，0. (10分)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x，带入椭圆方程得M(，)，N(，) 或 M(，)，N(，)，此时，0.综上所述，为定值0. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明.【试题解析】解：=，=.(2分)令=0，解得.10极大值在内是增函
17、数，在内是减函数. (3分)当时，取得极大值=. (4分)证明：,则=. (6分)当时，0，2，从而0，0，在是增函数. (8分)证明：在内是增函数，在内是减函数. 当，且时，、不可能在同一单调区间内.不妨设，由的结论知时，0，.，.又，(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要平面几何的证明，具体涉及到四点共圆、相交弦定理及三角形相似等内容.【试题解析】证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以ADB=90，(2分)又EFAB，EFA=90，则A、D、E、F四点共圆，DEA=DFA. (5分)由(1)知，BDBE=BABF.又ABCAEF，即ABAF=AEAC. (7分) BEBDAEAC =BABFABAF =AB(BFAF) =AB2. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容.【试题解析】解：由得，. (3分)由得. (5分)在上任取一点，则点到直线的距离为3.(8分)当1，即时，.(10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值三角不等式及不等式证明等内容.【试题解析】解：|f(a)f(b)|(2分) (5分)|ab|. (10分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
