1、第二讲函数的基本性质1.2021江西红色七校第一次联考下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()A.y=cos xB.y=x2C.y=ln|x|D.y=e-|x|2.2021湖北省四地七校联考若函数f(x)=sin xln(mx+1+4x2)的图象关于y轴对称,则m=()A.2 B.4 C.2 D.43.2020郑州三模若函数f(x)=ex-x+2a,x0,(a-1)x+3a-2,x0在(-,+)上是单调函数,则a的取值范围是()A.1,+)B.(1,3C.12,1)D.(1,24.2021广州市阶段模拟已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(
2、x)=x3+x2+a,则g(2)=()A.-4B.4C.-8D.85.2021长春市第一次质量监测定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5),当x-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(2 021)=()A.809B.811C.1 011D.1 0136.2021陕西省部分学校摸底检测已知函数f(x)=2xcosx4x+a是偶函数,则函数f(x)的最大值为()A.1B.2C.12D.37.2021济南名校联考已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结
3、论正确的是()A.f(192)f(e12)f(ln 2)B.f(e12)f(ln 2)f(192)C.f(ln 2)f(192)f(e12)D.f(ln 2)f(e12)f(192)8.2020江苏苏州初调若y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x0,+)时,f(x)=sinx,x0,1),f(x-1),x1,+),则f(-6-5)=.9.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为.10.2021蓉城名校联考已知函数f(x)=x+cosx,xR,设a= f(0.3-1), b= f(2-0.3),c= f(log20.2),则()A.bcaB.cabC.bacD.cba11.2021辽
4、宁葫芦岛第二次测试已知y=f(x-1)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)在-1,+)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(1-1x+4)的所有x之积为()A.3B.-3C.-39D.3914.原创题设增函数f(x)=lnx,x1,-1+axx,0x1的值域为R,若不等式f(x)x+b的解集为x|cxe,则实数c的值为()A.e-e2-42B.e+e2-42C.ee2-42D.1215.多选题已知奇函数f(x)在(-,+)上单调递增,f(1)=2,若0f(m)2,则()A.logm(1+m)logm(1+m2)B.logm(1-m)(1+
5、m)2D.(1-m)13(1-m)1216.2021湖南六校联考多选题已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0x1时,f(x)=x,则关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|),下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g(x)在(1,2)上单调递增C.g(x)在2 016,2 020上恰有三个零点D.g(x)的最大值为2答 案第二讲函数的基本性质1.D函数y=cos x是偶函数且是周期为2的周期函数,所以y=cos x在(0,+)上不具有单调性,所以A选项不符合题意;函数y=x2为偶函数,但在(0,+)上单调递增,所以B选项不符合题意;函数y=ln|x|=ln
6、x,x0,ln(-x),x0为偶函数,但在(0,+)上单调递增,所以C选项不符合题意;函数y=e-|x|=e-x,x0,ex,x0时,f(x)=ex-x+2a,则f (x)=ex-10,所以函数f(x)在(0,+)上单调递增.因为函数f(x)在(-,+)上是单调函数,所以函数f(x)在(-,+)上是单调递增函数.当x0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-10,得a1.e0-0+2a(a-1)0+3a-2,解得a3.所以1a3,故选B.4.C依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,即f(
7、x)+g(x)=-x3+x2+a,-得2g(x)=-2x3,g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8.故选C.5.A由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2,f(1)+f(2)+f(2 021)=f(1)+2404=809.故选A.6.C解法一因为函数f(x)=2xcosx4x+a是偶函数,所以f(-x)=f(x),即2-xcos(-x)4-x+a=2xcosx4x+a,化简可
8、得a(4x-1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=2xcosx4x+1=cosx2x+2-x.又cos x1,2x+2-x2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)12.故选C.解法二因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即2-1cos(-1)4-1+a=21cos14+a,解得a=1,所以f(x)=2xcosx4x+1=cosx2x+2-x.因为cos x1,2x+2-x2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max=12,故选C.7.A由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3)
9、,所以f(192)=f(72)=f(12+3)=f(-12+3)=f(52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1e122,0ln 21,所以0ln 2e12523.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f(52)f(e12)f(ln 2),即f(192)f(e12)f(ln 2),故选A.8.12因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-6-5)=f(6+5).因为x1时,f(x)=f(x-1),所以f(6+5)=f(6+4)=f(6).又061,所以f(6)=sin6=12.故f(-6-5)=12.9.(1,2)解法一由题意设图象的对称中心为(a
10、,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+(6a-6)x2对任意x均成立,所以6a-6=0,且2a3-6a2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).解法二由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).10.Df(x)=x+cos x,则f (x)=1-sin x0,所以f(x)在R上单调递增,又log20.22-0.310.3-1
11、=103,所以f(log20.2)f(2-0.3)f(103),即cba.11.D由题可知y=f(x-1)的图象关于y轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在-1,+)上单调递增,所以f(x)在(-,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|3-(-1)|,即02x-14,解得x1,x-11, 解得x52.所以不等式f(x)+f(x-1)-20的解集为52,+).13.D因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+)上单调,所以f(x)
12、在(-,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1-1x+4),则x=1-1x+4或4-x=1-1x+4.由x=1-1x+4,得x2+3x-3=0,10,设方程的两根分别为x1,x2,则x1x2=-3;由4-x=1-1x+4,得x2+x-13=0,20,设方程的两根分别为x3,x4,则x3x4=-13.所以x1x2x3x4=39.故选D.14.A当x1时,f(x)为增函数,且f(x)(0,+),当01,-1+xx,0x1.因为不等式f(x)x+b的解集为x|cxe,易知ln x=x+b的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e0=f(1),故0c1.令-1+xx=x+1-
13、e,得x2-ex+1=0,从而x=e-e2-42,则c=e-e2-42,故选A.15.ADf(x)为奇函数,0f(m)2,f(1)=2,f(0)=0,f(0)f(m)f(1).又f(x)在R上单调递增,0m1,01-m0,B错误.1+m1+m2,logm(1+m)logm(1+m2),A正确.y=x2在(0,+)上单调递增,1-m1+m,(1-m)2(1-m)12,D正确.故选AD.16.AD易知函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,故A正确.因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期为4的函数,其部分图象如图D 2-2-1所示,图D 2-2-1所以当x0时,g(x)=2f(x),x4k,2+4k0,x(2+4k,4+4k,kN,当x(1,2)时,g(x)=2f(x),g(x)单调递减,故B错误.g(x)在2 016,2 020上零点的个数等价于g(x)在0,4上零点的个数,而g(x)在0,4上有无数个零点,故C错误.当x0时,易知g(x)的最大值为2,由偶函数图象的对称性可知,当x0时,g(x)的最大值也为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故D正确.综上可知,选AD.
