1、第四节数系的扩充与复数的引入【考纲下载】1理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件2了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1复数的有关概念(1)复数的定义形如abi(a、bR)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(5)复数的模向量的模叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，a、bR)2复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面(2)实轴
2、、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数(3)复数的几何表示复数zabi复平面内的点Z(a，b)平面向量 .3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则：加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复
3、数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.1复数abi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0吗？提示：不是，a0是abi(a，bR)为纯虚数的必要条件，只有当a0，且b0时，abi才为纯虚数2z1，z2是复数，z1z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？提示：假命题例如：z11i，z22i，z1z230，但z1z2无意义，因为虚数无大小概念3若z1，z2R，zz0，则z1z20，此命题对z1，z2C还成立吗？提示：不一定成立比如z11，z2i满足zz0.但z10，
4、z20.1(2013湖南高考)复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：选Bzi(1i)1i，复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,1)，位于第二象限2复数()A2i B12i C2i D12i解析：选C2i.3(2013新课标全国卷)()A2 B2 C. D1解析：选C1i，|1i|.4已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.解析：根据已知可得bi2aibi即从而ab1.答案：15设a是实数，且是实数，则a_.解析：为实数，故1a0，即a1.答案：1考点一复数的有关概念 例1(1)(2013安徽高考)设i是虚数单位
5、，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为() A3 B1 C1 D3(2)(2013山东高考)复数z满足(z3)(2i)5(i是虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i自主解答(1)aa(a3)i为纯虚数，a30，即a3.(2)由(z3)(2i)5，得z3335i，5i.答案(1)D(2)D【互动探究】若将本例(2)中的“z3”改为“zi”，则为何值？解：(zi)(2i)5，则zi，zii(2i)22i，22i.【方法规律】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部
6、满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部1设复数zabi(a，bR)的共轭复数为abi，则z为()A实数 B纯虚数 C零 D零或纯虚数解析：选D由题意知z(abi)(abi)2bi，当b0时，z为0；当b0时，z为纯虚数2若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0 B1 C1 D2解析：选Az22(1i)2(1i)20，z22的虚部为0.考点二复数的几何意义 例2(1)(2013江西高考)已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
7、(2)(2013四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BB CC DD(3)(2013辽宁高考)复数z的模为()A. B. C. D2自主解答(1)由共轭复数的定义知：z12i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，位于第四象限(2)设zabi(a0，b0)，则z的共轭复数abi.它对应的点为(a，b)，是第三象限的点，即图中的B点(3)zi，|z| .答案(1)D(2)B(3)B【方法规律】判断复数在平面内的点的位置的方法首先将复数化成abi(a，bR)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限1在复平面内，复数65i、23i对
8、应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i解析：选C由题意得A(6,5)，B(2,3)，所以AB中点C的坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为24i.2已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点，若xy，则xy的值是_解析：由已知得A(1,2)，B(1，1)，C(3，2)，xy，(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)，解得故xy5.答案：5高频考点考点三 复数代数形式的运算1复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度较小，属容易题2高考对复数代数形式的运
9、算的考查主要有以下几个命题角度：(1)复数的乘法运算；(2)复数的除法运算；(3)利用复数相等求参数例3(1)(2013浙江高考)已知i是虚数单位，则(2i)(3i)()A55i B75iC55i D75i(2)(2013新课标全国卷)()A1i B1iC1i D1i(3)(2013广东高考)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2 B3 C4 D5自主解答(1)(2i)(3i)65ii255i.(2)1i.(3)由已知得xyi43i，故|xyi|5.答案(1)C(2)B(3)D复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有
10、虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式(3)利用复数相等求参数abicdiac，bd(a，b，c，dR)1若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35i B35iC35i D35i解析：选A由题意知z35i.2i为虚数单位，则2 014()Ai B1 Ci D1解析：选B2 014i2 014i21.3设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_解析：53iabi，ab8.答案：8课堂归纳通法领悟1个分类复数的分类对复数zabi(a，bR)，当b0时，
11、z为实数；当b0时，z为虚数；当a0，b0时，z为纯虚数2个技巧复数的运算技巧(1)设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法 (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化3个结论复数代数运算中常用的三个结论(1)(1i)22i；i；i；(2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*. 前沿热点(六)与复数有关的新定义问题1复数的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现，也常从与实数的一些性质类比的角度命制新定义问题2解决此类问题的关键是抓
12、住新定义或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并将所给信息与所学相关知识结合典例(2014南昌模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，a2，b1，b2R)，z1z2当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若z1z2，则|z1|z2|；若z1z2，z2z3，则z1z3；若z1z2，则对于任意zC，z1zz2z；对于复数z0，若z1z2，则zz1zz2.其中所有真命题的个数为()A1 B2 C3 D4
13、解题指导新定义复数的“序”：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，a2，b1，b2R)，z1z2当且仅当“a1a2”或“a1a2且b1b2”解析对于复数z12i，z213i，显然满足z1z2，但|z1|，|z2|，不满足|z1|z2|，故不正确；设z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i，由z1z2，z2z3可得“a1a3”或“a1a3且b1b3”，故正确；设z1a1b1i，z2a2b2i，zabi，由z1z2可得“a1a2”或“a1a2且b1b2”显然有“a1aa2a”或“a1aa2a且b1bb2b”，从而z1zz2z，故正确；对于复数z12i，z213i显然满足z1z
14、2，令z1i，则zz1(1i)(2i)13i，zz2(1i)(13i)42i，显然不满足zz1zz2，故错误综上正确，故选B.答案B名师点评解决本题的关键有以下两点：(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理(2)能善于利用举反例的方法解决问题定义一种运算如下：x1y2x2y1，则复数z(i是虚数单位)的共轭复数是_解析：由定义可知，z(i)i(1)(i)ii2i(1)i1，(1)(1)i.答案：(1)(1)i全盘巩固1(2013浙江高考)已知i是虚数单位，则(1i)(2i)()A3i B13i C33i D1i解析：选B(1i)(2i)13i
15、.2(2013北京高考)在复平面内，复数i(2i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：选Azi(2i)2ii212i，复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限3若(xi)iy2i，x，yR，则复数xyi()A2i B2i C12i D12i解析：选B由(xi)iy2i，得xi1y2i.x，yR，x2，y1，故xyi2i.4(2013新课标全国卷)若复数z满足 (34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B. C.4 D.解析：选D因为|43i|5，所以已知等式为(34i)z5，即zi，所以复数z的虚部为.5设z1，z2是复数，则下列命题中假命题的是()
16、A若|z1z2|0，则12B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则zz解析：选D对于A，|z1z2|0z1z212，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z12，z21 i，则|z1|z2|，但z4，z22i，是假命题6若复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为()A Bi C. D.i解析：选A由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.7若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.解析：由abi，得a，b，解得b3，a0，所以ab3.答案：38复数z(i是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点位于第_象限解析：由题意得
17、zi，所以其共轭复数i，在复平面上对应的点位于第一象限答案：一9定义运算adbc，复数z满足1i，则复数z的模为_解析：由1i，得zii1iz2i，故|z|.答案：10计算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.11实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m1.(2)根据共轭复数的定义得解得m1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m22m150，解得m3或m5.12复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，
18、若1z2是实数，求实数a的值解：1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.a50，a5，故a3.冲击名校1若sin 2icos 2i(i为虚数单位)，则的取值范围为()A|k，kZ B.C|2k，kZ D.解析：选C由两个复数相等的条件得：sin 0，cos 1，所以的终边落在x轴的正半轴上2(2013全国自主招生“北约”卷)若模均为1的复数A，B，C满足ABC0，则的模长为()A B1 C2 D无法确定解析：选B根据公式|z|知，A1，B1，C1.于是知： 1.所以的模长为1.高频滚动1.如图所示，P为AOB所在平面上一点，向量a，b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量c.若|a|3，|b|2，则c(ab)的值为()A.5 B.3 C. D.解析：选C设AB的中点为D，连接OD，则c，所以c(ab)()(ab)(ab)(|a|2|b|2).2已知O为平面内一点，A，B，C是平面内不共线的三点，且( )，(0，)，则P点的轨迹一定过ABC的()A内心 B垂心 C重心 D外心解析：选D设D点为ABC中BC边的中点，则已知等式可变为，等式两边点乘向量得(|)0，所以.故P点的轨迹一定通过ABC的外心