1、第七节导数的概念及运算考情解读命题规律考点导数的概念和几何意义导数的计算考查频次卷,5年4考 卷,5年4考 卷,2年1考卷,5年1考 卷,5年1考 卷,2年1考考查难度中等中等常考题型及分值填空题,5分;解答题,12分填空题,5分命题趋势 高考命题的热点仍然是根据导数的几何意义求切线方程,但命题形式比较灵活,综合性较强,导数的运算渗透到与导数相关的每一个考题之中,单独考查导数计算的问题仍然较少基础导学1.导数的概念（1）函数=()在=0 处导数的定义称函数=()在=0 处的瞬时变化率1 =lim 为函数=()在=0 处记作(0)或|=0,即(0)=lim0=2 （2）导数的几何意义 函数()在
2、点0 处的导数(0)的几何意义是在曲线=()上点(0,0)处的3 （瞬时速度就是位移函数()对时间 的导数).相应地,切线方程为4 （3）函数()的导函数称函数()=5 为()的导函数.知识梳理切线的斜率lim0(0+)(0)lim0(0+)(0)0=(0)(0)lim0(+)()2.基本初等函数的导数公式0原函数导函数()=(为常数）()=6 ()=()()=7 ()=sin()=8 ()=cos()=9 ()=(0,且 1)()=10 ()=()=11 ()=log(0,且 1)()=12 ()=ln()=13 1 cos sin ln 1ln 1 3.导数的运算法则（1）()()=14
3、.（2）()()=15 .（3）()()=16 ()0).()()()()+()()()()()()()2 4.复合函数的导数 复合函数=()的导数和函数=(),=()的导数间的关系为=.知识拓展1.求导其实质是一种数学运算即求导运算,有公式和法则,也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点,如()=1 中,0 且 .()()=()()()()2(),要满足“=”前后各代数式有意义,且导数都存在.2.（1）（0）代表函数()在 =0 处的导数值;(0)是函数值(0)的导数,而函数值(0)是一个常量,其导数一定为 0,即(0)=0.（2）()是一个函数,与(0)不同.3.（1）“过”与“在”：曲
4、线 =()“在点(0,0)处的切线”与“过点(0,0)的切线”的区别：前者(0,0)为切点,而后者(0,0)不一定为切点.（2）“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.复合函数的导数复合函数 =()的导数和函数 =(),=()的导数间的关系为 ,即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积.重难突破考点一 导数的计算典例研析【例1】B8（1）已知函数()=(2 020+ln)且 0)=2 021,则0=()A.2 B.1 C.ln2 D.（2）若函数()=ln (1)2+3 4,则(1)=.（3）若()=sin(2+3)
5、,则(3)=.2 解析 ()=sin(2+3),()=(2+3)cos(2+3)=2cos(2+3),(3)=2cos(23+3)=2.解析 ()=(2020+ln)=2020+ln,()=2020+ln+1=2021+ln,又(0)=2021,ln0=0,0=1.解析 ()=1 2 1)+3,1)=1+2 1)+3,解得 1)=2,(1)=1+4+3=8.方法技巧：（1）求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.连乘积形式：先展开化为多项式的形式,再求导;分式形式：观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导
6、;对数形式：先化为和、差的形式,再求导;根式形式：先化为分数指数幂的形式,再求导;三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.（2）求导公式或求导法则中,要注意“+”“”的变化,如(cos)=sin.对点训练BBC1.已知函数()的导函数是(),且满足()=2(1)+ln1,则(1)=()A.B.2 C.2 D.解析由已知得()=2（1）=1,令=1 得(1)=2(1)1,解得(1)=1,则=2（1）=2.2.设()=ln,若(0)=2,则0 等于()A.2 B.C.ln22 D.2 解析()=ln,()=ln+1=ln+1,由(0)=2 得ln0+1=2,0=.故选.3.已知函数
7、()=cos+ln,则(1)的值为()A.sin1 1 B.1 sin1 C.1+sin1 D.1 sin1 解析()=cos+ln,()=1+sin,可得(1)的值为1+sin1.故选.重难突破考点二 导数的几何意义及应用典例研析考查角度一 利用导数几何意义求切点、斜率、切线方程【例1】C（1）2019全国卷文曲线=2sin+cos 在点(,1)处的切线方程为()A.1=0 B.2 2 1=0 C.2+2+1=0 D.+1=0 （2）2019全国卷理曲线=3(2+)在点(0,0)处的切线方程为 .3 =0 解析 因为=3(2+1)+3(2+)=3(2+3+1),所以=|=0=3.所以曲线=3
8、(2+)在点（0,0）处的切线方程为=3,即3 =0.解析 当=时,=2sin+cos=1,即点(,1)在曲线=2sin+cos 上.=2cos sin,|=2cos sin=2,则=2sin+cos 在点(,1)处的切线方程为 (1)=2(),即2+2+1=0.故选.方法技巧：求曲线的切线方程,注意已知点是否为切点,其关键点为：（1）当点(0,0)是切点时,切线方程为 0=(0)(0).（2）当点(0,0)不是切点时,可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标(1,(1);第二步：写出过(1,(1)的切线方程,为 (1)=(1)(1);第三步：将点(0,0)代入切线方程求出1;第四步：将1 的值
9、代入方程 (1)=(1)(1)可得过点(0,0)的切线方程.考查角度二 利用导数的几何意义求解析式中的参数【例3】D（1）2019全国卷理已知曲线=+ln 在点(1,)处的切线方程为=2+,则()A.=,=1 B.=,=1 C.=1,=1 D.=1,=1 （2）2018全国卷曲线=(+1)在点(0,1)处的切线的斜率为2,则=.3 解析 =+ln+1,=|=1=+1=2,=1,将(1,1)代入=2+,得2+=1,=1.故选.解析 =(+1),当=0 时,=+1,+1=2,得=3.解析 易知(1)=0,()=1,从而得到(1)=1,函数()的图象在点(1,(1)处的切线方程为=1.设直线=1 与
10、()=2+()的图象相切于点(0,0),从而可得(0)=1,(0)=0 1.又()=2+,因此有（0）=20+=1,02+0=0 1,得02=1 解得 0=1,=1,或 0=1,=3,（3）已知函数()=ln,()=2+(),若函数()的图象在点(1,(1)处的切线与函数()的图象相切,则 的值为 .1 或 3 方法技巧：对于此类问题,首先明确参数存在何处.其关键点为：（1）利用切点,求(0),利用斜率建立关系=(0).（2）利用切点的双重性,既在切线上又在曲线上建立关系.（3）联立方程组求解.对点训练D4.2018全国卷设函数()=3+(1)2+,若()为奇函数,则曲线=()在点(0,0)处
11、的切线方程为()A.=2 B.=C.=2 D.=解析（解法一）()=3+(1)2+,()=32+2(1)+.又()为奇函数,)=()恒成立,即 3+(1)2 =3 1)2 恒成立,=1,()=32+1,（0）=1,曲线 =()在点（0,0）处的切线方程为 =.故选 .（解法二）()=3+(1)2+为奇函数,()=32+2(1)+为偶函数,=1,即()=32+1,（0）=1,曲线 =()在点(0,0)处的切线方程为 =.故选 .5.2018全国卷曲线 =2ln(+1)在点(0,0)处的切线方程为.解析 =2ln(+1),=2+1.令=0,得=2,由切成的几何意义得切线斜率为 2,又切线过点(0,
12、0),切线方程为=2.6.设曲线=在点(0,1)处的切线与曲线=1(0)上点 处的切线垂直,则 的坐标为 .(1,1)解析=,则曲线=在点(0,1)处的切线的斜率切=1,又曲线=1(0)上点 处的切线与曲线=在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线=1(0)在点 处的切线的斜率为1,设(,),则曲线=1(0)上点 处的切线的斜率为|=2=1,可得=1,又(,)在=1 上,所以=1,故(1,1).=2 课时作业一、单项选择题CC1.曲线=1 在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2 B.C.2 D.1 解析 =1+(1)=(1+)1,曲线=1 在点(1,1)处的切线斜率为|=1=2.故选.2.函数(
13、)=sin 的图象在点(0,(0)处的切线的倾斜角为()A.34 B.3 C.4 D.6 解析因为()=sin+cos,所以(0)=1,即曲线=()在点(0,(0)处的切线的斜率为 1.所以在点(0,(0)处的切线的倾斜角为4.故选.BD3.已知函数()=2(1)2ln,则曲线=()在点(1,(1)处的切线方程是()A.2+2=0 B.2 2=0 C.+2=0 D.=0 解析(1)=0,()=2(1+12)2.曲线=()在点(1,(1)处的切线的斜率为(1)=2.从而曲线=()在点(1,(1)处的切线方程为 0=2(1),即2 2=0.故选.4.设曲线=ln(+1)在点(0,0)处的切线方程为
14、=2,则=()A.0 B.1 C.2 D.3 解析=a 1+1，由题意得|=0=2，即a 1=2，所以a=3.B5.如图,=()是可导函数,直线：=+2 是曲线=()在=3 处的切线,()=(),()是()的导函数,则(3)=()A.1 B.0 C.2 D.4 解析由题意知直线 ：=+2 是曲线 =()在 =3 处的切线,由图可得(3)=1.又点(3,1)在直线 上.3+2=1,=13,(3)=13.()=(),()=()+(),则(3)=(3)+3(3)=1+3 13)=0.故选 .6.已知函数()=ln,若直线 过点 0,1),并且与曲线 =()相切,则直线 的方程为()A.+1=0B.1
15、=0C.+1=0D.+1=0B解析设直线的方程为=+1，直线与()的图像切点为(0,y0)，则 0 1=0,0 ln0=0,ln0+1=,解得 0=1,0=0,=1.故直线的方程为=1，即 y 1=0.8.设函数()=sin+cos 的图象在点(,()处切线的斜率为(),则函数=()的图象一部分可以是()DA.B.C.D.A7.已知直线=2 与曲线=ln 相切,则实数 的值为()A.ln2 B.1 C.1 ln2 D.1+ln2 解析由=ln 得=ln+1,设切点为(0,0),则=ln0+1,切点(0,0)既在曲线=ln 上又在直线=2 上,0=0 2,0=0 0,0 2=0ln0,=ln0+
16、20,ln0+20=ln0+1,0=2,=ln2+1.故选.解析由()=sin+cos 可得()=sin+cos sin=cos.即=()=cos,是奇函数,排除选项,;当 (0,2)时,=()0,排除选项.故选.二、多项选择题BCABC9.已知曲线=21 在点(2,4)处的切线与直线 平行且距离为2 5,则直线 的方程可以为()A.2+2=0 B.2+2=0 C.2 18=0 D.2 +2=0 解析=2(1)2(1)2=2(1)2,|=2=2 21)2=2,因此1=2,设直线 方程为 =2+,即 2+=0,由题意得|22+4|5=2 5,解得 =18 或 =2,所以直线 的方程为 2+18=
17、0 或 2+2=0.故选 .10.已知()=(2)+4+1(0),若曲线()上存在不同两点 ,使得曲线()在点 ,处的切线垂直,则实数 的取值可以是()A.1B.0C.1D.2解析由()=(2)+4+1,得()=2+4(+1)2.0,2 ()+2.设(1,1),(2,2),则曲线()在点,处的切线的斜率分别为1=(1),2=(2),则 2 1 +2,2 2 +2 且12=1,可得 2 0 （2（+2）1解得 3 3.故实数 的取值范围是(3,3).故选.三、填空题11.函数()=ln 图象上一点 到直线=的最短距离为 .22 解析设与直线=平行且与曲线()=ln 相切的直线的切点坐标为(0,ln0),因为()=(ln)=1,则1=10,0=1,则切点坐标为（1,0）,最短距离为(1,0)到直线=的距离,即为|10|1+1=22 ,故答案为 22 .12.已知函数()的导函数为(),且满足()=(1)1 (0)+13 3,则()=.+33 解析由()=(1)1 (0)+13 3,得()=(1)1 (0)+2.令=1,得(0)=1.在()=(1)1 (0)+13 3 中,取=0,得(0)=(1)1=1,所以(1)=,所以()=+13 3.
