1、第四节正弦定理与余弦定理考情解读命题规律考点正弦定理和余弦定理解三角形的实际应用考查频次卷,5年4考 卷,5年5考 卷,2年2考卷,5年1考考查难度中等容易常考题型及分值选择题,5分;填空题,5分;解答题,12分填空题,5分命题趋势 预计新课标高考对本部分内容的考查形式为:以解三角形为载体,常与三角函数、不等式、向量等相结合命题.复习时注意活用两个定理,对于实际问题,要善于脱掉“外衣”,适时进行转化求解基础导学知识梳理1.正弦定理 1 ，其中 是 的外接圆半径.正弦定理的常用变形（1）=2sin,=2sin,=2sin.（2）sin=2,sin=2,sin=2.（3）:=sin:sin:sin
2、.sin=sin=sin=2 2.余弦定理 2=2 ，cos=3 ；2=4 ,cos=5 ；2=6 ，cos=7 .2+2 2cos 2+222 2+2 2 2+222 2+2 2 2+222 3.勾股定理 在 中,=90 8 2+2=2 4.三角形的面积公式 =12 h=12 h=12 h=9 =10 =11 12 sin 12 sin 12 sin 术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角 的范围是0 360 术语名称
3、术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北（南）偏东（西）度北偏东 南偏西 坡角坡面与水平面的夹角设坡角为,坡度为,则=h=tan 坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度 的比 知识拓展1.射影定理：cos+cos=,cos+cos=,cos+cos=.2.三个角、与诱导公式的“消角”关系 sin(+)=sin,cos(+)=cos,sin+2=cos2,cos+2=sin2.3.特殊的面积公式（1）=12(+)(为三角形内切圆半径）,（2）=()()(),=12(+),（3）=4=22sin sin sin(为 外接圆半径）.重难突破考点一 正、斜弦定理的简单应用典
4、例研析考查角度一 直接用正、余弦定理解三角形【例1】A2（1）已知 中,角,的对边分别为,若=6+2,且=75,则=()A.2 B.4+2 3 C.4 2 3 D.6 2 （2）在 中,=6,=75,=45,则=.解析 因为=75,=45,所以=60,由正弦定理可得sin45=6sin60,解得=2.解析 在 中,易知=30,由余弦定理2=2+2 2cos30=4.=2.方法解读题型正弦定理法直接利用正弦定理（变式）求边、角（1）已知两角及一边（2）已知两边及一边对角余弦定理法直接用余弦定理（变式）求边、角（1）已知两边及夹角（2）已知三边方法技巧：求解三角形的一般方法（3）已知 满足sin2
5、+sinsin+sin2=sin2,则角 的大小是 .23 解析 因为sin2+sinsin+sin2=sin2,所以2+2=2,即2+2 2=,故cos=2+222=12(0 ,所以 ,结合题意可知=3 或23 .3.在 中,若2sincos=sin,那么 的形状为 .等腰三角形解析由已知得2sincos=sin=sin(+)=sincos+cossin,即sin()=0,因为 ,所以=.所以 为等腰三角形.重难突破考点二 正、余弦定理的综合应用典例研析【例2】A（1）2019全国卷文 的内角,的对边分别为,.已知sin sin=4sin,cos=14,则=()A.6 B.5 C.4 D.3
6、 解析 由题意及正弦定理可得2 2=42,由余弦定理的推论可得14=cos=2+222,cos=14,2422=14.32=14.=32 4=6.故选.若 2+=2,求sin.答案由知=120 ,由题设及正弦定理得 2sin+sin(120 )=2sin,即 62+32 cos+12 sin=2sin,可得cos(+60)=22 .因为0 120,所以sin(+60)=22 ,故sin=sin(+60 60）=sin(+60)cos60 cos(+60)sin60=6+24.（2）2019全国卷 的内角,的对边分别为,设(sin sin)2=sin2 sinsin.求;答案由已知得sin2+s
7、in2 sin2=sinsin,故由正弦定理得2+2 2=.由余弦定理得cos=2+222=12.因为0 180,所以=60.方法技巧：正、余弦定理的运用技巧解三角形时,一般是根据正弦定理求边或列等式,若式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若式子中含有角的余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;若以上特征都不明显,则要考虑两个定理都有可能用到.对点训练4.2019全国卷文 的内角,的对边分别为,.已知sin+cos=0,则=.34 解析由题意及正弦定理得sinsin+sincos=0.(0,),(0,),sin 0,得sin+c
8、os=0,即tan=1,=34 .5.2019全国卷理 的内角,的对边分别为,.若=6,=2,=3,则 的面积为 .6 3 解析由余弦定理得2=2+2 2cos,所以(2)2+2 2 2 12=62,即2=12,解得1=2 3,2=2 3（舍去）.所以=2=4 3,=12 sin=12 4 3 2 3 32=6 3.重难突破考点三 解三角形的应用问题典例研析【例3】C（1）（河两岸两点距）如图,设,两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 的同侧,在所在的河岸边选定一点,测出 的距离是 米,=,=,则,两点间的距离为()A.sinsin 米 B.sinsin(+)米 C.sinsin(+
9、)米 D.sin(+)sin+sin 米 解析 在 中,由正弦定理得sin=sin,故=sinsin=sinsin(+).C（2）如图,在离地面高400 的热气球上,观测到山顶 处的仰角为15,山脚 处的俯角为45,已知=60,则山的高度 为()A.700 B.640 C.600 D.560 解析 根据题意,可得在 中,=45,=400,所以=sin45=400 2.因为在 中,=45+15=60,=180 45 60=75,所以=180 =45,由正弦定理,得=sinsin=400 2 32 22=400 3,在 中,=sin=400 3 32=600().（3）已知岛 南偏西38 方向,距
10、岛3 海里的 处有一艘缉私艇,岛 处的一艘走私船正以 10 海里/小时的速度向岛北偏西22 方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 小时能截住该走私船？（参考数据：sin38 5 314,sin22 3 314)答案如图,设缉私艇在 处截住走私船,为岛 正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时 海里,则 =0.5,=5,依题意,=180 38 22=120,由余弦定理可得2=2+2 2 cos120,所以2=49,所以=0.5=7,解得=14.又由正弦定理得sin=sin=5 327=5 314 ,所以=38,又=38,所以/,故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶,恰好
11、用0.5 小时截住该走私船.方法技巧：（1）测量距离问题的解法选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,再利用正、余弦定理求解.提醒：解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据（原始数据）,少用间接求出的量.（2）求解高度问题的三个关注点在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角（在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的角）是关键.在实际问题中,可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.（3）测量角度问题的基本
12、思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.提醒：方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.对点训练6.河对岸两点距如图,为了测量河对岸,两点之间的距离,观察者找到一个点,从点 可以 观察到点,;找到一个点,从点 可以观察到点,;找到一个点,从点 可以观察到点,.并测量得到一些数据：=2,=2 3,=45,=105,=48.19,=75,=60,则,两点之间的距离为 .（其中48.19 取近似值23)10 解析依题意知,在 中,=30,由
13、正弦定理得=sin45sin30=2 2.在 中,=45,由正弦定理得=sin60sin45=3 2.连接（图略）,在 中,由余弦定理得2=2+2 2 cos=10,=10.A7.如图,为测一树的高度,在地面上选取,两点,在,两点分别测得树顶的仰角为30,45,且,两点之间的距离为10,则树的高度h 为()A.(5+5 3)B.(30+15 3)C.(15+30 3)D.(15+3 3)解析在 中,由正弦定理,得10sin(4530)=sin30,因为sin(45 30)=sin4530 4530=6 24,所以=5(6+2)(),所以该树的高度h=sin45=(5+5 3)().8.甲船在
14、处观察乙船,乙船在它的北偏东60 的方向,相距 海里的 处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 3 倍,甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东 （填角度）的方向前进.30 课时作业一、单项选择题BD1.在 中,若sin=cos ,则 的值为()A.30 B.45 C.60 D.90 解析由正弦定理知,sinsin=cossin,sin=cos,=45.2.的内角,的对边分别为,.已知=5,=2,cos=23,则=()A.2 B.3 C.2 D.3 解析由余弦定理,得4+2 2 2cos=5,整理得32 8 3=0,解得=3 或=13（舍去）.故选.DB3.已知锐角 的内角,的对边分别为,23cos
15、2+cos2=0,=7,=6,则=()A.10 B.9 C.8 D.5 解析化简23cos2+cos2=0,得23cos2+2cos2 1=0,解得cos=15.由余弦定理,知2=2+2 2cos,代入数据,解方程,得=5.4.在 中,=4,2sin=4 2sin,则 的面积为()A.1 B.2 C.3 D.4 解析因为2sin=4 2sin,所以2=4 2,即=4 2,故=12 sin=2.DA5.在锐角 中,角,所对的边分别为,若sin=2 23,=3,=2 2,则 的值为()A.6 B.3 C.2 D.2 或 3 解析因为=2 2=12 sin,所以=6,又因为sin=2 23 ,所以c
16、os=13,又=3,由余弦定理得9=2+2 2cos=2+2 4,2+2=13,可得=2 或=3.6.已知 的三个内角,的对边分别为,若coscos=2,则该三角形的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 解析因为coscos=,由正弦定理得coscos=sinsin,所以sin2=sin2.由=2,可知 ,所以 B.又,(0,),所以2=180 2,即+=90,所以=90,于是 是直角三角形.故选.DA7.在 中,若sinsin=3,2 2=52 ,则cos 的值为()A.13 B.12 C.15 D.14 解析由题意知,=3,2 2=52 =2 2cos,
17、所以cos=2522=92152 262=14.8.为绘制海底地貌图,测量海底两点,之间的距离,海底探测仪沿水平方向在,两点进行测量,在同一个铅垂平面内,海底探测仪测得=30,=45,=45,=75,两点的距离为 3 海里,则,之间的距离为()A.5 海里 B.2 海里 C.(6+22)海里 D.(2+1)海里 解析=180 30 45 45=60,在 中,由正弦定理,得=3sin75sin60=6+22,在 中,=180 30 45 75=30,所以=3,在 中,由余弦定理,得2=2+2 2 cos=3+(6+22)2 2 3 6+22 6 24=5,所以=5.二、多项选择题BDAB9.在
18、中,内角,的对边分别为,若=6,=2,=2 3,则角 的大小是()A.6 B.3 C.56 D.23 解析由正弦定理可得sin=sin,所以sin=sin=32 ,而 ,所以 ,所以 6 56 ,故=3 或23 .故选.10.某人在 处向正东方向走 后到达 处,他向右转150,然后朝新方向走3 到达 处,结果他离出发点恰好 3,那么 的值为()A.3 B.2 3 C.3 3 D.3 解析由题意得=30,由余弦定理,得cos30=2+936,解得=2 3或=3.故选.三、填空题11.在 中,内角,所对的边分别为,已知=4,=6,的面积为3+32 ,则C=，=.1+3 解析因为=4,=6,的面积为
19、 3+32=12 sin=12 6 22 ,所以解得=1+3,所以由余弦定理可得=2+2 2cos=2,可得cos=2+222=12,又0 .故=3.3 12.海轮“和谐号”从 处以每小时 21 海里的速度出发,海轮“奋斗号”在 处北偏东45 的方向,且与 相距10 海里的 处,沿北偏东105 的方向以每小时 9 海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时.23 解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时,如图,则由已知得 中,=10,=21,=9,=120,由余弦定理得(21)2=100+(9)2 2 10 9 cos120,整理,得362
20、 9 10=0,解得=23 或=512（舍）.所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23 小时.四、解答题13.在 中,分别是角,的对边,且coscos=2+.（1）求角 的大小;答案由余弦定理得cos=2+222,cos=2+222,将上式代入coscos=2+,得2+22222+22=2+,整理得2+2 2=.则cos=2+222=2=12.为三角形的内角,=23 .（2）若=13,+=4,求 的面积.=2+2 2 cos(75+45)=(3 1)2+4+2(3 1)=6,又 =120,=10sin12010 3=12,=30,=180 120 30=30,为等腰三角形,=6.故10=6,=610 h.答:缉私艇沿北偏东60 方向行驶,需 610 h 便可追上走私船.14.在海岸 处,发现北偏东45 方向距 为(3 1)的 处有一艘走私船,在 处北偏西75 方向距 为2 的 处的我方缉私艇奉命以10 3/h 的速度追截走私船,此时走私船正以10 的速度,从 处向北偏东30 方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.答案解:如图,设在点 处缉私艇追上走私船,所用时间为h,在 中,由余弦定理得