1、第三节等比数列及前n项和考情解读命题规律考点等比数列的通项公式及前n项和公式等比数列的性质及应用考查频次卷,5年4考 卷,5年2考 卷,2年1考卷,5年2考考查难度容易中等常考题型及分值选择题,5分;填空题,5分;解答题,612分选择题,5分命题趋势 预计新课标高考仍会对本部分的内容重点考查,在考查基本运算,基本概念的基础上更加注重考查函数与方程、等价转换、分类讨论等思想,非标准的等比数列可能成为命题的新热点.复习时可对比等差数列的性质理解并灵活运用基础导学 82.等比数列的有关公式（1）通项公式：=7 1 18.（2）前 项和公式：1.等比数列的有关概念（1）定义：文字语言：从 1 起,每一
2、项与它的前一项的 2 都等于 3 一个常数.符号语言：4 (,为非零常数）.（2）等比中项：如果,成等比数列,那么 5 叫做 与 的等比中项.即：是 与 的等比中项,成等比数列2=6 （,不为零）.知识梳理比同 +1=11 第2项3.等比数列的性质（1）通项公式的推广：=(,).（2）对任意的正整数,.若+=+,则 11 =12 .特别地,若+=2,则 13 .（3）若等比数列前 项和为,则,2 ,3 2 仍成等比数列,即(2 )2=14 (,公比 1）.（4）数列 是等比数列,则数列(0,是常数）也是 15 数列.（5）在等比数列 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,+,+2,+3,
3、为等比数列,公比为16 .等比 =2 (3 2)知识拓展1.（1）在等比数列求和时,要注意=1 和 1 的讨论.（2）当 是等比数列且 1 时,=11 11=.2.当项数是偶数时,偶=奇 ;当项数是奇数时,奇=1+偶 .重难突破考点一 等比数列的基本运算与性质典例研析【例1】C（1）2019全国卷文已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15,且5=33+41,则3=()A.16B.8C.4D.2（2）2019全国卷文记 为等比数列 的前 项和.若1=1,3=34,则4=.58 解析（1）设正数的等比数列 的公比为,则 1+1+12+13=15,14=312+41,解得 1=1,=2,则
4、3=12=4.故选.解析（2）设等比数列 的公比为,由已知得3=1+1+12=1+2=34,即2+14=0,解得=12,所以4=1(14)1=1(12)41(12)=58.解析因为数列1,1,2,9 是等差数列,所以1+2=1+9=10;因为数列1,1,2,3,9 是等比数列,所以22=1 9=9,又2=1 2 0(q 为等比数列的公比）,所以2=3,则21+2=310.（3）已知数列1,1,2,9 是等差数列,数列1,1,2,3,9 是等比数列,则21+2=.310 方法技巧：方法解读适合题型基本量法 设出1 和,将已知条件用1 和 表示,建立方程组求出1 和 题设中有五个基本量1,中的两个
5、性质法利用等比数列的性质化简已知条件题设中有“”型的表达式 解决等比数列的基本运算常用方法 对点训练BA1.等比数列 的各项为正数,且56+47=18,则log31+log32+log310=()A.12 B.10 C.8 D.2+log35 解析由题56+47=18,所以56=9,log31+log32+log310=log3(12 10)=log3(56)5=5log39=10.2.在等比数列 中,如果1+2=40,3+4=60,那么7+8=()A.135 B.100 C.95 D.80 解析由等比数列前 项和的性质知,1+2,3+4,5+6,7+8 成等比数列,其首项为 40,公比为60
6、40=32.所以7+8=40 (32)3=135.3.2018全国卷记 为数列 的前 项和.若=2+1,则6=.63 解析 =2+1,当 2 时,1=21+1,=1=2 21,即=21,当=1 时,1=1=21+1,得1=1.数列 是首项1 为1,公比 为 2 的等比数列,=1(1)1=1(12)12=1 2,6=1 26=63.重难突破考点二 等比数列的判定与证明典例研析【例 2】2019全国卷已知数列 和 满足 1=1,1=0,4+1=3 +4,4+1=3 4.（1）证明：+是等比数列,是等差数列;答案证明：由题设得4(+1+1)=2(+),即+1+1=12(+).又因为1+1=1,所以+
7、是首项为 1,公比为12 的等比数列.由题设得4(+1 +1)=4()+8,即+1 +1=+2.又因为1 1=1,所以 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.答案解：由（1）知,+=121,=2 1.所以=12(+)+()=12+12,=12(+)()=12 +12.（2）求 和 的通项公式.方法技巧：方法解读适合题型定义法在 0()前提下,若+1=（为非零常数）,2 且 ）,则 是等比数列已知中提供的递推关系式,或者是 与 的关系式进行化简,转化为数列 中相邻两项之间的关系等比中项法数列 中,0,如果根据已知条件能化简得到+12=+2(),或者是证明此式成立,则数列 是等比数列证明三项成等比
8、数列通项公式法观察已知信息,或者是计算出数列的通项公式,若可以写成=1(,均是不为 0 的常数,）,则 是等比数列能明确通项公式,用于选择或填空题中前 项和公式法若数列 的前 项和=(为常数且 0,0,1）,则数列 是等比数列能明确前 项和公式,只用于选择或填空题中 等比数列的判断与证明的常用方法 对点训练4.2018全国卷已知数列 满足1=1,+1=2(+1).设=.（1）求1,2,3;答案由条件可得+1=2(+1).将=1 代入得2=41,而1=1,所以2=4.将=2 代入得3=32,所以3=12.从而1=1,2=2,3=4.（2）判断数列 是否为等比数列,并说明理由;答案 是首项为 1,
9、公比为 2 的等比数列.由条件可得+1+1=2 ,即+1=2,又1=1,所以 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.（3）求 的通项公式.答案由（2）可得=21,所以=21.重难突破考点三 等比数列前n项和及综合应用典例研析【例3】A（1）设等比数列 中,前 项和为,已知3=8,6=7,则7+8+9 等于()A.18 B.18 C.578 D.558 解析（1）因为7+8+9=9 6,且3,6 3,9 6 也成等比数列,即8,1,9 6 成等比数列,所以8(9 6)=1,即9 6=18.所以7+8+9=18.（2）2018全国卷等比数列 中,1=1,5=43.求 的通项公式;答案设 的公比为,
10、由题设得=1.由已知得4=42,解得=0（舍去）,=2 或=2.故=(2)1 或=21.记 为 的前 项和.若=63,求.答案若=(2)1,则=1(2)3.由=63 得(2)=188,此方程没有正整数解.若=21,则=2 1.由=63 得2=64,解得=6.综上,=6.方法技巧：（1）涉及 与 的单独值,可以用基本量1 和 进行转化.（2）涉及等比数列“”型问题,可利用性质转化.（3）涉及 与 的关系时,可利用=1(2)转化.（4）涉及等比数列部分项的和,可利用性质转化.对点训练B5.各项均为正数的等比数列 的前 项和为,若=2,3=14,则4 等于()A.80 B.30 C.26 D.16
11、解析（解法一）3=14 3=6,1.依题意得 1(1)1=2,1(13)1=14.又 0,所以 11=2,=2.因此4=1(14)1=(2)(1 24)=30.故选.（解法二）由,2 ,3 2 成等比数列,得(2 2)2=2(14 2),解得2=6（负根已舍）,故4 3=2(3 2)=16,4=30.6.已知 为数列 的前 项和,且2=3 2().求 和.答案解：2=3 2 =1 时,21=31 2,解得1=2;当 2 时,21=31 2,2 21=3 31.2=3 31.=31.数列 是首项为 2,公比为 3 的等比数列.=2 31,=2(13)13=3 1.课时作业一、单项选择题CD1.已
12、知各项均为正数的等比数列 的前 项和为,且3=14,3=8,则6=()A.16 B.32 C.64 D.128 解析由题意得,等比数列的公比为,由3=14,3=8,则 1(1+2)=14,3=12=8,解得1=2,=2,所以6=15=2 25=64.故选.2.对任意等比数列,下列说法一定正确的是()A.1,3,9 成等比数列 B.2,3,6 成等比数列 C.2,4,8 成等比数列 D.3,6,9 成等比数列 解析设等比数列的公比为,则3=12,6=15,9=18,满足(15)2=12 18,即62=3 9 AB3.在等比数列 中,已知3,7 是方程2 6+1=0 的两根,则5=()A.1 B.
13、1 C.1 D.3 解析在等比数列 中,因为3,7 是方程2 6+1=0 的两个根,所以3+7=6 0,3 7=1 0,所以3 0,7 0,5 0,因为3 7=52=1,所以5=1.4.已知等比数列 满足1=3,1+3+5=21,则3+5+7=()A.21 B.42 C.63 D.84 解析设数列 的公比为,则1(1+2+4)=21,又1=3,所以4+2 6=0,所以2=2（2=3 舍去）,所以3=6,5=12,7=24,所以3+5+7=44.故选.AD5.已知等比数列 的前 项和为=21+16,则 的值为()A.13 B.13 C.12 D.12 解析当 2 时,=1=21 22=22,当=
14、1 时,1=1=+16,又因为 是等比数列,所以+16=2,所以=13.6.数列 满足：+1=1(,且 0),若数列 1 是等比数列,则 的值等于()A.1B.1C.12D.2解析由+1=1,得+1 1=2=(2).由于数列 1 是等比数列,所以2=1,得=2.DB7.设首项为 1,公比为23 的等比数列 的前 项和为,则()A.=2 1 B.=3 2 C.=4 3 D.=3 2 解析因为1=1,公比=23,所以=(23)1,=1(1)1=31 (23)=3 2(23)1=3 2,故选.8.在数列 中,1=1,+1=2,则=12 22+32 42+212 22 等于()A.13(2 1)B.1
15、5(1 24)C.13(4 1)D.13(1 2)解析在数列 中,由1=1,+1=2,可得=21,则=12 22+32 42+212 22 =1 4+16 64+422 421 =1(4)21(4)=15(1 42)=15(1 24).故选.二、多项选择题AD9.等比数列 中,3=9,前三项和3=27,则公比 的值可以为()A.1 B.1 C.12 D.12 解析 当公比 =1 时,1=2=3=9,3=3 9=27.当 1 时,3=131,27=191,1=27 18,3=12,(27 18)2=9,(1)2(2+1)=0,=12.综上,=1 或 =12.故选 .BC10.已知公比为 的等比数
16、列 中,前 4 项的和为1+14,且2,3+1,4 成等差数列,则公比 可以取下面选项中的()A.1 B.12 C.2 D.2 解析根据等差中项的性质有2(3+1)=2+4,即2(12+1)=1+13,易知 1,所以4=1(14)1=1+14,由 组成的方程组解得 1=1,=2 或 1=16,=12.故公比 为 2 或12,故选.三、填空题11.已知等比数列 中,3=3,10=384,则该数列的通项公式=.3 23 解析设等比数列 的公比为,则 3=12=3,10=19=384,得7=128,即=2,把=2 代入,得1=34,所以数列 的通项公式为=11=34 21=3 23 12.已知数列
17、是等比数列,2=2,5=14,则123+234+1+2=.647(1 23)解析设数列 的公比为,则3=52=18,解得 =12,1=2=4.易知数列+1+2 是首项为123=4 2 1=8,公比为3=18 的等比数列,所以123+234+1+2=8(118)118=647(1 23).四、解答题13.数列 的前 项和为,1=1,+1=4+2(),设=+1 2.（1）求证：是等比数列;答案+2=+2 +1=4+1+2 4 2=4+1 4,+1=+22+1+12=(4+14)2+1+12=2+14+12=2.因为2=1+2=41+2,所以2=5.所以1=2 21=3.所以数列 是公比为 2,首项
18、为 3 的等比数列.答案由（1）知=3 21=+1 2,所以+121 22=3.所以数列22 是等差数列,公差为 3,首项为 2.所以22=2+(1)3=3 1.所以=(3 1)22,所以=22.所以+1=2122=2.所以数列 为等比数列.（2）设=31,求证：是等比数列.（2）记数列1 的前 项和为,求使得|1|12 020 成立的 的最小值 答案由（1）得1=12,且1 为等比数列,首项为12,公比为12.所以=121(12)112=1 12.由|1|12 020,得|1 12 1|2 020,因为210=1 024 2 020 2 048=211,所以 11.于是,使|1|12 020 成立的 的最小值为 11.14.设数列 是公比为 2 的等比数列,且4+1 是1 与5 的等差中项.（1）求数列 的通项公式;答案由4+1 是1 与5 的等差中项,可得2(4+1)=1+5,所以2(81+1)=1+161,解得1=2.故=2().