1、四川省仁寿第一中学校南校区2020届高三数学仿真模拟考试试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次不等式的方法求解集合,再求解即可.【详解】,故.即.故选：B【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法运算进行化简，再利用复数的几何意义选出答案.【详解】由，在复平面内对
2、应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数的几何意义.属于容易题.3. 展开式中项的系数为（ ）A. 10B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中项的系数【详解】解：展开式的通项公式为，令，可得，故展开式中项的系数为，故选：C【点睛】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式，属于基础题4. 新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性.下面的图表给出了月日至月日全国疫情每天新增病例的
3、数据统计情况下列说法中不正确的是（ ）A. 每天新增疑似病例的中位数为B. 在对新增确诊病例的统计中，样本容量为C. 每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过例的天数为天D. 在对新增确诊病例的统计中，样本是月日至月日【答案】D【解析】【分析】求出每天新增疑似病例的中位数，可判断A选项的正误；根据统计天数可判断B选项的正误；统计出每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过例的天数，可判断C选项的正误；根据样本的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，每天新增疑似病例数由小到大依次为、，中位数为，A选项正确；对于B选项，由于共统计了天，则在对新增确诊病例的统计中，样本容量为，B选项正确；对于C选项，从
4、月日至月日中每天新增确诊与新增疑似病例之和分别为、，其中，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过例的天数为，C选项正确；对于D选项，在对新增确诊病例的统计中，样本是月日至月日每天新增病例的数据，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查利用折线统计图应用，考查数据处理能力，属于基础题.5. 在锐角中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可用正弦定理先求出，再由三角函数中的平方关系及角的范围，求出，进而得到答案.【详解】在锐角中，若，由正弦定理，可得，由为锐角，可得故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题
5、.6. 双曲线C：x21的渐近线与直线x=1交于A，B两点，且|AB|=4，那么双曲线C的离心率为( )A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线的方程，将直线x=1与渐近线方程联立求出|AB|=|2b|，从而求出，再利用离心率即可求解.【详解】由双曲线的方程可得a=1，且渐近线的方程为：y=bx，与x=1联立可得y=b，所以|AB|=|2b|，由题意可得4=2|b|，解得|b|=2，c2=a2+b2，所以双曲线的离心率e，故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值
6、为（ ）.A. 15B. 20C. 25D. 40【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质可得, ，代入中，可得选项.【详解】因为等差数列的公差不为零，其前项和为，又,所以,故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式与等差数列性质的综合应用,是高考重点考查的内容，属于基础题.8. 函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.【详解】，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道
7、基础题.9. 函数是定义在上的奇函数，当时，则的值为（ ）.A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇函数定义域关于原点对称可求得，由奇函数的性质即可求得结果.【详解】函数是定义在上的奇函数，则，解得：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10. 已知随机变量的分布列，则下列说法正确的是( )A. 存在x，y(0，1)，E()B. 对任意x，y(0，1)，E()C. 对任意x，y(0，1)，D()E()D. 存在x，y(0，1)，D()【答案】C【解析】【分析】
8、表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。【详解】解：依题意可得，因为所以即故，错误；即，故成立；故错误故选：【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。11. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（ ） A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥
9、拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断，的位置关系【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且两点重合，所以与相交， 故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题12. 已知点为抛物线的焦点，过点的直线交于，两点，与的准线交于点，若，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设出直线的方程，再与抛物线方程联立求得与，然后利用与弦长公式求得【详解】解：由题意设直线，则，由联立得，则，点是线段的中点，由可得代入可整理得：，解得：又，故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的焦点弦的求法，属于中档题第卷（非选
10、择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案直接答在答题卡相应的位置上.13. 已知平面向量与满足，且，则_.【答案】3【解析】【分析】根据向量数量积的运算，直接计算即可得出结果.【详解】因为向量，满足，所以，因此，故答案为：3.【点睛】本题主要考查已知向量数量积求向量的模，熟记运算法则即可，属于基础题目.14. 曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导，求出切线的斜率 ，用直线方程的点斜式，即可求解.【详解】,所以切线方程为.故答案为:.【点睛】本题考查切线的几何意义，属于基础题.15. 已知正项等比数列的前项和为，若，则该数列的公比为_.【答案
11、】【解析】【分析】首先根据得到，再根据得到，解方程即可.【详解】因为，所以，即，整理得：，解得：或.因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的性质，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.16. 已知一块边长为2正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为_【答案】【解析】【分析】根据题意，沿正三角形的边的中点裁剪，焊接构成正四面体，根据结论求得半径，利用公式求得体积.【详解】取正三角形的各边的中点，沿虚线裁剪，
12、焊接构成一个棱长为1的正四面体，由棱长为的正四面体的外接球的半径为，可知该正四面体的外接球的半径为，所以其体积为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关正四面体的外接球的问题，涉及到的知识点有正四面体的外接球的半径，求得体积公式，属于简单题目.三、解答题，本大题6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为2；（1）给出函数的解析式，并说明理由；（2）求函数的单调递增区间【答案】（1），理由见解析；（2），.【解析】【分析】（1）由于，所以，而由，得，矛盾，所以不能满足条件，故只能满足条件，从而由可求出，由可求出振
13、幅，由可求出的值；（2）由（1）可知，要求其单调增区间，把看成一个整体，使，解出的范围就是的递增区间.【详解】（1）若函数满足条件，则.这与，矛盾，故不能满足条件，所以函数只能满足条件，. 由条件，得，又因为，所以.由条件，得. 由条件，得，又因为，所以.所以. （2）由，得，所以函数的单调递增区间为，.【点睛】此题考查了正弦函数的图像与性质，考查计算能力和转化能力，属于基础题.18. 某公司为确定下一年度投入产品的广告费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：t）的影响.对近4年的年宣传费x和年销售量y进行了统计，得到如下数据资料：1234x1113128y25292616（1）
14、求出y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）的结果，估计年销售量达到60t时，年宣传费约为多少？参考公式：，其中，【答案】（1）；（2）25万元.【解析】【分析】（1）先由表中的数据求出， ，然后用公式求出即可；（2）将代入回归方程中求出的值可得答案.【详解】（1）， （2）年销售量达到时，即，估计年销售量达到时，年宣传费约为25万元.【点睛】此题考查求回归直线方程，考查计算能力，属于基础题.19. 如图,四棱锥的侧面是正三角形,且,是中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 取的中点,连接,再证明四边形是平行四边形即可
15、.(2) 取中点,连接,根据线面垂直性质计算可得,再以为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）取的中点,连接,因为是中点,所以,且,又因为,所以,即四边形平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面；（2）方法一：取中点,连接,因为是正三角形,所以,因为平面平面,所以平面,平面,所以故,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则, 所以,设平面的法向量为,则,令得, 易知平面的法向量为, 则,所以二面角的余弦值为. 方法二：过作交于,所以,且平面,过作交于,连接,所以, 所以为二面角的平面角,因为,因为平面,所以,且, 又因为,所以,故,所以二面角的
16、余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及线面垂直的判定与性质，同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角大小的问题,需要根据题意确定坐标原点，分别求得两个面的法向量，再求解二面角夹角的余弦值即可.属于中档题.20. 已知抛物线焦点为，直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.（1）求抛物线方程；（2）若抛物线上一点纵坐标为，直线分别交准线于.求证：以为直径的圆过焦点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意及抛物线定义，可知，从而可求出抛物线方程；（2）当直线与轴垂直时，求出，的坐标，进而证得以为直径的圆过焦点；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，点和点坐标，
17、并与抛物线方程联立， 借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得，从而证出以为直径的圆过焦点.【详解】（1）到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为，最小为通径，所以，解得，所以抛物线方程为.（2）抛物线焦点，准线方程：，由点纵坐标为，得，当直线与轴垂直时， 直线方程为，此时， ，直线：，直线：，所以，所以，圆心坐标为，半径，焦点到圆心的距离，此时，以为直径的圆过焦点.当直线与轴不垂直时， 设直线，设，得，直线为代入准线得：同理可得，所以，所以焦点在以为直径的圆上.综上，以为直径的圆过焦点.【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系以及向量数量积的坐标表示
18、，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用.21. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线的斜率为1.（）求a的值；（）证明：函数在区间内有唯一极值点；（2）当时，证明：对任意，.【答案】（1）（）0；（）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（）先对函数求导，然后把代入导函数中使其值等于零，可求出a值；（）令，则，可得在上的单调性，也是在上的单调性，而，所以存在唯一的是的变号零点，故函数在区间内有唯一极值点；（2）由（1）可知，在内单调递增，在内单调递减，当时，所以分两类讨论：（i）若，易证在内单调递增，符合题意，（ii）若，可得在区间内有且只有一个零
19、点，记为，而函数在内单调递增，在内单调递减，可得，符合题意.【详解】（1）（）因为，所以.因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，即，故.经检验，符合题意. （）由（）可知，.设，则.令，又，得.当时，当时，所以在内单调递增，在内单调递减.又，因此，当时，即，此时在区间上无极值点；当时，有唯一解，即有唯一解，且易知当时，当时，故此时在区间内有唯一极大值点.综上可知，函数在区间内有唯一极值点. （2）因为，设，则.令，又，得.且当时，当时，所以在内单调递增，在内单调递减.当时，.（i）当，即时，.此时函数在内单调递增，（ii）当，即时，因为， ，所以，在内恒成立，而在区间内有且只有一个零点，记为，
20、则函数在内单调递增，在内单调递减.又因为，所以此时.由（i）（ii）可知，当时，对任意，总有.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.选考题，共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）点的坐标为，直线与曲线相交于、两点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（
21、1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的直角坐标方程，将直线的极坐标方程变形为，由可将直线的方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程表示为（为参数），设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理可求得的值.【详解】（1）由得，由可得.将直线的极坐标方程化为，则直线的直角坐标方程为，即.所以，曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为；（2）由题意可知，点在直线上，且直线的倾斜角为，所以，直线的参数方程为（为参数），代入椭圆的方程得到，,设、两点对应的参数分别为，由韦达定理得，.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23. 已知正数a，b，c满足.（1）求的最大值；（2）求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式解得答案.（2）直接利用柯西不等式得到证明.【详解】（1），当且仅当，即，时取得最大值. （2）由柯西不等式得：，当，时等号成立，.【点睛】本题考查了均值不等式求最值，柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.