1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三节等比数列及其前n项和【考纲下载】1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的相关概念相关名词等比数列an的有关概念及公式定义q(q是常数且q0，nN)或q(q是常数且q0，nN且n2)通项公式ana1qn1amqnm前n项和公式Sn等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G2等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq.特别地，若mn2p，则amana.(2)若等比数列前n项和为S
2、n，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)(3)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.1b2ac是a，b，c成等比数列的充要条件吗？提示：不是b2ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b0，a，c至少有一个为零时，b2ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2ac.2若a0，则数列a，a2，a3，an，的前n项和为Sn吗？提示：不一定当a1时，Sn
3、na1n；当a1时，Sn.1(2013江西高考)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24解析：选A由x,3x3,6x6成等比数列，知(3x3)2x(6x6)，解得x3或x1(舍去)所以此等比数列的前三项为3，6，12.故第四项为24.2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()A B2 C2 D.解析：选Da22，a5，q3，q.3在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11()A10 B25 C50 D75解析：选Ba7a125，a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.4已知等比数列的前n项和Sn4na，则a
4、_.解析：当n1时，a1S14a，当n2时，anSnSn1(4na)(4n1a)4n4n134n1.又该数列为等比数列，4a340，即a1.答案：15设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.解析：8a2a50，8a2a5，即8.q38，q2.11.答案：11考点一等比数列的判定与证明 例1已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列自主解答an2Sn2Sn14an124an24an14an.2，S2a1a24a12，a25.b1a22a13.数列bn是首项为3，公比为2的等比数列【互动探究】保持本例条件不变，若cn，证明：
5、cn是等比数列证明：由例题知，bn32n1an12an，3.数列是首项为2，公差为3的等差数列2(n1)33n1，an(3n1)2n2，cn2n2.2.数列cn为等比数列【方法规律】等比数列的判定方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列，公差为qmB数列bn为等比数列，公比为q2mC数列cn为等比数列，
6、公比为qm2D数列cn为等比数列，公比为qmm解析：选Cbnam(n1)1(1qq2qm1)，qm，故数列bn为等比数列，公比为qm，选项A、B均错误；cnaq12(m1)，m(qm)mqm2，故数列cn为等比数列，公比为qm2，D错误，故选C.高频考点考点二 等比数列的基本运算1等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题2高考对等比数列的基本运算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求通项；(2)化基本量求特定项；(3)化基本量求公比；(4)化基本量求和例2(1)(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a
7、59，则a1()A. B C. D(2)(2012浙江高考)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.(3)(2013湖北高考)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.求数列an的通项公式；是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由自主解答(1)由已知条件及S3a1a2a3，得a39a1，设数列an的公比为q，则q29.所以a59a1q481a1，得a1.(2)由S23a22，S43a42作差，可得a3a43a43a2，即2a4a33a20，所以2q2q30，解得q或q1(舍)(3)设等比数列an的公比为
8、q，则由已知可得解得或故an3n1，或an5(1)n1.若an3n1，则n1，故是首项为，公比为的等比数列，从而.若an(5)(1)n1，则(1)n1，故是首项为，公比为1的等比数列，从而故1.综上，对任何正整数m，总有1.故不存在正整数m，使得1成立答案(1)C(2)等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求通项求等比数列的两个基本元素a1和q，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解(2)化基本量求特定项利用通项公式或者等比数列的性质求解(3)化基本量求公比利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解(4)化基本量求和直接将基本量代入前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解1(
9、2013新课标全国卷)设首项为1，公比的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an解析：选D因为a11，公比q，所以ann1，Sn332n132an.2已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.解析：设数列an的首项为a1，公比为q，aa10,2(anan2)5an1，得a1q，由由知q2或q，又数列an为递增数列，a1q2，从而an2n.答案：2n3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解：(1)S1，S3，S2成等
10、差数列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，从而q.(2)由已知可得a1a123，故a14，从而Sn.考点三等比数列的性质 例3(1)已知等比数列an中，a1a2a340，a4a5a620，则前9项之和等于()A50 B70 C80 D90(2)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7自主解答(1)S3，S6S3，S9S6成等比数列，S3(S9S6)(S6S3)2，又S340，S6402060，40(S960)202，故S970.(2)由已知得解得或当a44，a72时，易得a18，a101，从而a1a107；当a
11、42，a74时，易得a108，a11，从而a1a107.答案(1)B(2)D【方法规律】等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口1记等比数列an的前n项积为Tn(nN*)，已知am1am12am0，且T2m1128，则m的值为()A4 B7 C10 D12解析：选A因为an是等比数列，所以am1am1a，又由am1am12am0，可知am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积T2m1a，即22m1128，故m4.2在等比数列an中，若a1a2a3
12、a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44_.解析：法一：a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，由，得q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1a1a2a3a41，T4a13a14a168，T4T1q31q38，即q2.T11a41a42a43a44T1q102101 024.答案：1 024课堂归纳通法领悟2个注意点应
13、用等比数列的公比应注意的问题(1)由an1qan(q0)，并不能断言an为等比数列，还要验证a10.(2)在应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1和q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情况而导致错误4种方法等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列；(2)等比中项法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列注
14、意：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列 数学思想(八)分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况(2)等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论(3)项数的奇、偶数讨论(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论典例(2013天津高考)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值解题指导(1)利用等差数列的性质结合已知条件求出公比q，进而
15、可求得通项公式；(2)结合数列的单调性求数列的最大项与最小项的值解(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2SnSnS2.综上，对于nN*，总有Sn.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.题后悟道1.数列与函数有密切联系，证明与数列有关的不等式，其本质是求数列中的最大项，可以利用图象或者
16、数列的单调性求解，同时注意数列的单调性与函数单调性的区别2本题易忽视条件“an不是递减数列”而认为q，从而导致解题错误已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选CSnan1(a0)，an即an当a1时，an0，数列an是一个常数列，也是等差数列；当a1时，数列an是一个等比数列全盘巩固1设Sn是等比数列an的前n项和，a3，S3，则公比q()A. B C1或 D1或解析：选C当q1时，a1a2a3，S3a1a2a3，符合题意；当q1时，由题意得解得q.故q1或q.2各项都为
17、正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5()A33 B72 C84 D189解析：选Ca1a2a321，a1a1qa1q221,33q3q221，即1qq27，解得q2或q3.an0，q2，a3a4a521q221484.3已知等比数列an满足an0(nN*)，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a5log2a2n1()A(n1)2 Bn2Cn(2n1) D(n1)2解析：选B由等比数列的性质可知a5a2n5a，又a5a2n522n，所以an2n.又log2a2n1log222n12n1，所以log2a1log2a3log2a5lo
18、g2a2n1135(2n1)n2.4已知数列an满足a15，anan12n，则()A2 B4 C5 D.解析：选B依题意得2，即2，故数列a1，a3，a5，a7，是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此4.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 B.n1C.n1 D.解析：选BSn2an1，当n2时，Sn12an.anSnSn12an12an.3an2an1.又S12a2，a2.an从第二项起是以为公比的等比数列 Sna1a2a3an1n1再利用Sn2an1，.6定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，
19、则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A B C D解析：选C法一：设an的公比为q.f(an)a，2q2，f(an)是等比数列排除B，D；f(an)，f(an)是等比数列排除A.法二：不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因为f(x)，所以f(an)()n.显然f
20、(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln|x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列7(2013重庆高考)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.解析：由a1，a2，a5成等比数列，得(a1d)2a1(a14d)，即(1d)214d，解得d2(d0舍去)，S881264.答案：648若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.解析：由等比数列的性质，得a3a5(a2a4)q，解得q2，又a2a4a1(qq3)20，a12，Sn2n12.答案：2
21、2n129(2013江苏高考)在正项等比数列an中，a5，a6a73.则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_解析：设等比数列的首项为a1，公比为q0，由得a1，q2.所以an2n6.a1a2an2n525，a1a2an2.由a1a2ana1a2an，得2n5252，由2n52，得n213n100，解得na1a2an，n13时不满足a1a2ana1a2an，故n的最大值为12.答案：1210数列an中，Sn1kan(k0，k1)(1)证明：数列an为等比数列；(2)求通项an；(3)当k1时，求和aaa.解：(1)证明：Sn1kan，Sn11kan1，得SnSn1kankan1(n
22、2)，(k1)ankan1，为常数，n2.an是公比为的等比数列(2)S1a11ka1，a1.ann1.(3)an中a1，q，a是首项为2，公比为2的等比数列当k1时，等比数列a的首项为，公比为，aaa.11已知函数f(x)的图象过原点，且关于点(1,2)成中心对称(1)求函数f(x)的解析式；(2)若数列an满足a12，an1f(an)，证明数列为等比数列，并求出数列an的通项公式解：(1)f(0)0，c0.f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称，f(x)f(2x)4，解得b2.f(x).(2)an1f(an)，当n2时，2.又20，数列是首项为2，公比为2的等比数列，2n，an.12已知
23、等差数列an的前n项的和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，公比是q，且满足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an与bn；(2)设cn3bn2，若数列cn是递增数列，求的取值范围解：(1)由已知可得所以q2q120，解得q3或q4(舍)，从而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn23n2n.由题意，cn1cn对任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2n恒成立由于函数yn是增函数，所以min23，故3，即的取值范围为(，3)冲击名校1设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(
24、xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析：由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)22，a3f(3)f(2)f(1)f(1)33，anf(n)f(1)nn，所以Sn23n1n.nN*，Sn1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，an14an(n1，nN*)，a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，bnlog4an1n，cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).高频滚动1已知等差数列an的前n项和为Sn，S
25、440，Sn210，Sn4130，则n()A12 B14 C16 D18解析：选BSnSn4anan1an2an380，S4a1a2a3a440，所以4(a1an)120，a1an30，由Sn210，得n14.2已知数列an满足a11，且an2an12n(n2，nN*)(1)求证：数列是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)证明：因为an2an12n，所以1，即1，所以数列是等差数列，且公差d1，其首项，所以(n1)1n，解得an2n(2n1)2n1.(2)Sn120321522(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，得Sn12022122222n1(2n1)2n1(2n1)2n(32n)2n3.所以Sn(2n3)2n3.- 12 - 版权所有高考资源网