1、第二次月考数学理试题【天津版】本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟祝各位考生考试顺利！第卷 选择题 (共40分)注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上参考公式：如果事件、互斥，那么 柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数满足,则= 2.已知实
2、数满足约束条件,则的最大值为A B C D3.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是, 则输入的的值可以等于 A. B. C. D. 4.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形则该四棱锥的体积等于A. B C D5.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为 A B C D 6.数列满足，且对于任意的都有则等于 A B C D7.已知以下4个命题:若为真命题，则为真命题若则设，则是成立的充分不必要条件若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是.其中,正确命题的个数是A. B. C. D. 8定义域为的函数满足，当时，
3、，若时，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 2015年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理) 第卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，若从初中生中抽取了30人，则的值等于 . 10. 已知，在二项式的展开式中，含的项的系数为 . 11. 已知中,，则. 12. 如图,是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若，且，则_.13在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半
4、轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为, 曲线的参数方程为（为参数）. 若曲线与相交于两点，则线段的长等于. 14. 已知为的外心，若，则的最小值为 三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数()求函数的最小正周期与单调递减区间；()求函数在区间上的最大值和最小值16（本小题满分13分）某银行招聘，设置了、三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加组测试，丙独自参加组测试，丁、戊两人各自独立参加组测试若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；而组共设6道测试题，每个人
5、必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. （）求丁、戊都竞聘成功的概率.（）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.17（本小题满分13分）如图，三棱柱中，面， ，为的中点.（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.18（本小题满分13分）已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线. 设点是椭圆上异于，的动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.（）求椭圆的离心率；（）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明19（本小题满分14分）
6、设数列，已知，（）（）设,求数列的通项公式；（）求证：对任意，为定值；（）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围20（本小题满分14分）已知函数，图象与轴异于原点的交点为，在处的切线与直线平行.()求函数的单调区间；()已知实数tR，求函数的最小值；(）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号12345678答案CDBAAC BA二、填空题: 每小题5分，共30分.9100 ； 10； 11； 12； 138； 14 三、解答题：本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
7、15（本小题满分13分）已知函数()求函数的最小正周期与单调递减区间；() 求函数在区间上的最大值和最小值15（本小题满分13分）解：（） 1分 2分 4分的最小正周期 5分由得的单调递减区间为 7分（）由得 9分故 11分所以 12分因此,的最大为, 最小值是2 13分解法二: 在区间上单调递增; 在区间上单调递减11分 又 所以的最大为, 最小值是2 13分16（本小题满分13分）某银行招聘，设置了、三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加组测试，丙独自参加组测试，丁、戊两人各自独立参加组测试若甲、乙两人各自通过组测试的概率均为；丙通过组测试的概率为；
8、而组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. （）求丁、戊都竞聘成功的概率.（）记、两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.16.解：（）设参加组测试的每个人竞聘成功为A事件，则 3分故丁、戊都竞聘成功的概率等于 5分（）可取0，1，2，3， 6分 ， （每个结果各1分） 10分0123P 故的分布列为： 11分A1AC1zxyCB1BD所以 13分17（本小题满分13分）如图，三棱柱中，面，为的中点.（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在侧棱上是否存在点，使得？请证明你的结论.17.（本小题满分13分） 解法
9、一: （）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系，1分 则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2）， C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， 2分设是面BDC1的一个法向量，则即，取. 4分又,所以,即 AB1面BDC1，AB1/面BDC1 6分（）易知是面ABC的一个法向量. 7分 . 8分 二面角C1BDC的余弦值为. 9分（）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 10分 则，即. 11分 解之方程组无解. 12分 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 13分解法二: （）证明：连接B1C,与BC1相交于
10、O，连接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中点 1分 又D是AC的中点，OD/AB1 2分 AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1 4分 （）解， 5分设是面BDC1的一个法向量，则即，取. 6分 易知是面ABC的一个法向量. 7分 . 8分 二面角C1BDC的余弦值为. 9分 （）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 10分 则，即. 11分 解之方程组无解. 12分 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 13分18（本小题满分13分）已知椭圆的左、右顶点分别为,，右焦点为，直线是椭圆在点处的切线. 设点是椭圆上异于，的
11、动点，直线与直线的交点为，且当时，是等腰三角形.（）求椭圆的离心率；（）设椭圆的长轴长等于，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明18（本小题满分13分）解：（）依题可知、， 1分由，得， 2分化简得， 3分故椭圆的离心率是 4分（）由（）及椭圆的长轴长等于得，椭圆的方程为，且,在点处的切线方程为. 以为直径的圆与直线相切 5分证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为由得7分设点的坐标为，则所以， 9分因为点坐标为，（1）当时，点的坐标为，直线的方程 为，点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切10分（2）当时，直线的斜率.所以直线的方程为,即故点到直线的距
12、离12分(算法二: 或直线的方程为,故点到直线的距离12分)又因为 ，故以为直径的圆与直线相切综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切13分解法二: 由（）及椭圆的长轴长等于得，椭圆的方程为，且,在点处的切线方程为. 以为直径的圆与直线相切 5分证明如下: 设点,则(1)当时,点点的坐标为，直线的方程为， 6分点的坐标为.此时以为直径的圆与直线相切7分(2)当时直线的方程为, 8分点的坐标为,中点的坐标为,故9分直线的斜率为, 故直线的方程为,即,10分所以点到直线的距离12分故以为直径的圆与直线相切综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切13分19（本小题满分14分）设数列，
13、已知，（） （）设,求数列的通项公式；（）求证：对任意，为定值；（）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围19（本小题满分14分）解：（）所以，,即，2分又, 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 4分（）解：， 所以，6分而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值8 8分（）由（）（）知，所以，9分所以， 10分所以， 由得，因为，所以， 11分当为奇数时，随的增大而增大，且，当为偶数时，随的增大而减小，且，所以，的最大值为，的最小值为13分由，得，解得 所以，所求实数的取值范围是14分20（本小题满分14分）已知函数，图象与轴异于原点的交点处的切线与直线平行.()
14、求函数的单调区间；()已知实数tR，求函数的最小值；(）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.20. （本小题满分14分）()解:点， ，由题意可得，故，1分 ， 2分令，得的增区间是； 3分令，得的减区间是； 4分()解法一：令，（），则， 5分在单调递增，故当时， 6分 因为在上单调递减，在上单调递增，故可分以下种情形讨论（1）当即时在上单减， 所以的最小值是 7分（2）当即时的最小值是，8分（3）当时在上单增，所以的最小值是 9分解法二：=5分令，在 时，在单调递增， 6分图象的对称轴，抛物线开口向上当即时， 7分当即时， 8分当即时， 9分（）所以在区间上单调递增 10分时，,注意到当时，有，得，同理， 11分 由的单调性知 ,从而有，符合题设. 12分当时，由的单调性知 ，与题设不符 13分当时，同理可得，得，与题设不符. 综合、得 14分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.