1、9.8 曲线与方程一、选择题1已知两定点A(1,1)，B(1，1)，动点P满足，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D拋物线解析 设点P(x，y)，则(1x,1y)，(1x，1y)，所以(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，即1，所以点P的轨迹为椭圆答案B2已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线解析由已知：|MF|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D.答案D3长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，2，则点C的轨迹是
2、()A线段 B圆C椭圆 D双曲线解析 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.答案 C4设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故M的轨迹为椭圆，a，c1，则b2a2c2，椭圆的标准方程为1.答案D5已知二面角l的平面角为，点P在二面角内，PA，PB，A，B为垂足，且PA4，PB5，设A，B到棱l的距离分别为
3、x，y，当变化时，点(x，y)的轨迹方程是()Ax2y29(x0)Bx2y29(x0，y0)Cy2x29(y0)Dy2x29(x0，y0)解析 实际上就是求x，y所满足的一个等式，设平面PAB与二面角的棱的交点是C，则ACx，BCy，在两个直角三角形RtPAC，RtPBC中其斜边相等，根据勾股定理即可得到x，y所满足的关系式如图，x242y252，即x2y29(x0，y0)答案B6ABC的顶点A(5,0)、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x4)解析如图|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB
4、|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案C7|y|1表示的曲线是()A抛物线 B一个圆C两个圆 D两个半圆解析原方程等价于或答案D二、填空题8. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。答案 9在ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a0)，且满足条件sin Csin Bsin A，则动点A的轨迹方程是_解析由正弦定理：，|AB|AC|BC|，且为双曲线右支答案1(x0且y0)10已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准
5、线，则抛物线的焦点轨迹方程是_解析 设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)答案 1(y0)11已知P是椭圆1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析由，又22，设Q(x，y)，则(x，y)，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有1，即1.答案112. 曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过
6、坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析 曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a1，与条件不符；曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1|PF2|a2，关于原点的对称点处也一定符合|PF1|PF2|a2；三角形的面积SF1F2P2，很显然SF1F2P|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|.所以正确答案 三、解答题13.如图，已知F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且 .求动点P的轨迹C的方程解析 法一：设点P(x，y)，则Q(1，y)
7、，由，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C：y24x.法二：由，得()0，()()0，220.|.点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为y24x.14已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离， 点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，动点C的轨迹方程为x24y.(2)由题意知，直线l2方程可设为ykx1(k0)，与抛物线方程联立消去y，得x24kx40.设P(x1，y1)，Q(x
8、2，y2)，则x1x24k，x1x24.又易得点R的坐标为，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448.k22，当且仅当k21时取等号，42816，即的最小值为16.15已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值解析(1)由题设知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)联立解得交点坐标为x，y，即x1
9、，y1，则x0，|x|.而点P(x1，y1)在双曲线y21上，y211.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为y21，x0且x.(2)设过点H(0，h)的直线为ykxh(h1)，联立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0得h212k20，解得k1 ，k2 .由于l1l2，则k1k21，故h.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由1，得h.此时，l1，l2的方程分别为yx与yx，它们与轨迹E分别仅有一个交点与.所以，符合条件的h的值为或.16设椭圆方程为x21，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足()，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|的最大值，最小值解析(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为ykx1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4k2)x22kx30.则4k212(4k2)0.x1x2，x1x2.设P(x，y)是AB的中点，则()，得消去k得4x2y2y0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2y2y0.(2)由(1)知4x22x而|NP|222232，当x时，|取得最大值，当x时，|取得最小值.
