1、2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(三)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.集合0,1,2的所有真子集的个数是() A.5B.6C.7D.82.函数f(x)=lg(x-1)的定义域是()A.(2,+)B.(1,+)C. 1,+)D.2,+)3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),若ab,则实数x等于()A.-1B.1C.-9D.94.若函数f(x)=sinx+3(02)是偶函数,则=()A.2B.23C.32D.535.已知直线的点斜式方程是y-2=-3(x-1),那么此直线的倾斜角为()A.6B.3C.23D.566.如
2、图是2019年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()7984464793 A.84,4.84B.84,1.6C.85,1.6D.85,47.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移12个单位D.向右平移12个单位8.下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已
3、知平面垂直9.函数y=logax(a0,a1)的反函数的图象过12,22,则a的值为()A.2B.12C.2或12D.310.已知等差数列an中,a2=2,a4=6,则前4项的和S4等于()A.8B.10C.12D.1411.某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则这个几何体的体积是()A.6B.9C.18D.3612.已知0a0B.2a-b12C.log2a+log2b-2D.2ab+bab0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则()A.v=a+b2B.v=abC.abva+b2D.bv0,3x,x0,则ff14的值是.19.锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则
4、角A等于.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(2)当弦AB被点P平分时,求直线l的方程;(3)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长.21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD平面ABC,BECD,F为AD的中点.(1)求证:EF平面ABC;(2)求证:平面ADE平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.22.已知等差数列an满足a2+a5=8,a6-a3=3.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)若bn=1Sn
5、+32n-2,求数列bn的前n项和Tn.答案：1.C【解析】真子集个数为23-1=7,故选C.2.B【解析】由题意得,x-10,x1,即函数的定义域是(1,+),故选B.3.B【解析】ab=3x-3=0,即x=1,故选B.4.C【解析】只需3=2+k=3k+32(kZ),而0,2,所以=32,选C.5.C【解析】k=tan =-3,=-3=23.故选C.6.C【解析】由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分79后,所剩数据为84,84,86,84,87,平均数为84+84+86+84+875=85,方差为15(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85
6、)2=85=1.6.故选C.7.C【解析】y=cos 2xy=cos(2x+1)=cos2x+12.故选C.8.D【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.9.B【解析】函数y=logax(a0,a1)的反函数为y=ax,过点12,22,即22=a12,解得a=12,故选B.10.C【解析】设等差数列an的公差为d,则a4=a2+(4
7、-2)dd=6-22=2,a1=a2-d=2-2=0,所以S4=4(a1+a4)2=2(0+6)=12.故选C.11.C【解析】由题意可知,几何体是以正视图为底面的三棱柱,其底面面积S=12452-42=6,高是3,所以它的体积为V=Sh=18.故选C.12.C【解析】由题意知0a1,故log2a0,A错误;由0a1,0b1,故-1-b0.又ab,所以-1a-b0,所以122a-b2ab得ab14,因此log2a+log2b=log2ablog214=-2,C正确;由0a2baab=2,因此2ba+ab22=4,D错误.13.B【解析】由z=x-2y得y=12x-z2,作出不等式组对应的平面区
8、域如图(阴影部分),平移直线y=12x-z2,由图象可知,当直线y=12x-z2过点B时,直线y=12x-z2的截距最大,此时z最小,由x+y-6=0,3x-y-2=0解得x=2,y=4,即B(2,4).代入目标函数z=x-2y,得z=2-8=-6,目标函数z=x-2y的最小值是-6.故选B.14.C【解析】 sin 47-sin 17cos 30cos 17=sin(30+17)-sin 17cos 30cos 17=sin 30cos 17+cos 30sin 17-sin 17cos 30cos 17=sin 30cos 17cos 17=sin 30=12.故选C.15.D【解析】设甲
9、地到乙地的距离为s.则他往返甲、乙两地的平均速度为v=2ssa+sb=2aba+b,ab0,2aa+b1,v=2aba+bb.v=2aba+b2ab2ab=ab.bvab.故选D.16.15【解析】S4=1-241-2=15.17.38【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P=38.18.19【解析】f14=log214=-2,ff14=f(-2)=3-2=19.19.6【解析】因为2asin B=b,由正弦定理有2sin Asin B=sin B.因为ABC中sin B0,从而sin A=
10、12,而A是锐角,故A=6.20.【解】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时,lPC,直线l的方程为y-2=-12(x-2),即x+2y-6=0.(3)当直线l的倾斜角为45时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.圆心到直线l的距离为12,圆的半径为3,弦AB的长为34.21.【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.F,G分别是AD,AC的中点,FGCD,且FG=12DC=1.BECD,FG与BE平行且相等,EFBG.
11、又EF平面ABC,BG平面ABC,EF平面ABC.(2)证明:由题意知ABC为等边三角形,BGAC.又DC平面ABC,BG平面ABC,DCBG,BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,BG平面ADC.EFBG,EF平面ADC.又EF平面ADE,平面ADE平面ACD.(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.VABCDE=VEABC+VEACD=13341+13132=34.22.【解】(1)由a6-a3=3得数列an的公差d=a6-a33=1,由a2+a5=8,得2a1+5d=8,解得a1=32,Sn=na1+n(n-1)2d=n(n+2)2.(2)由(1)可得1Sn=2n(n+2)=1n-1n+2,Tn=b1+b2+b3+bn=1-13+12-14+1n-1n+2+32(1+2+2n-1)=1+12+13+1n-13+14+1n+1n+1+1n+2+322n-12-1=32-1n+1-1n+2+32(2n-1)=32n-1-1n+1-1n+2.