1、第二节平面向量的概念及运算考情解读命题规律考点平面向量的概念与平面向量基本定理平面向量的线性运算与坐标运算向量共线定理考查频次此考点近5年新课标全国卷未涉及卷,5年4考 卷,5年2考卷,5年1考考查难度/容易容易常考题型及分值/选择题,5分;填空题,5分填空题,5分命题趋势 预计高考对本部分内容的考查将会以向量的线性运算为主,以向量的概念和线性运算、坐标 运算知识为载体,与三角函数等知识综合考查的可能性较大.复习时,要重视平面向量的基础知 识,熟练掌握平面向量的加减运算、数乘运算及其坐标运算基础导学1.向量的有关概念（1）向量的定义：既有 1 ,又有 2 的量叫做向量,常用 或 表示.（2）向
2、量的模：向量的大小,即表示向量的有向线段的 3 叫做向量的模,记作|或|.（3）几个特殊向量：知识梳理特点 名称长度（模）方向零向量04 单位向量5 任意相等向量相等6 相反向量7 8 平行向量9 大小方向长度任意1相同相等相反相同或相反 定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算 10 法则 11 法则（1）交换律：+=12 ;（2）结合律：(+)+=13 减法向量 加上向量 的14 叫做 与 的差 15 法则 =+()数乘实数 与向量 的积的运算（1）|=|;（2）当 0 时,与 的方向16 ;当 0 时,与 的方向相同,当 0 时,与 的方向相反.正确;对于,|=|,由于|的大小
3、不确定,故|与|的大小关系不确定;对于,|是向量,而|表示长度,两者不能比较 大小.3.设,不共线,=2+,=+,=2,若,三点共线,则实数 的值为()A.2 B.1 C.1 D.2 解析因为 =+,=2,所以 =+=2 .又因为,三点共线,所以 ,共线.设 =,所以2+=(2 ),所以2=2,=,即=1,=1.CB4.已知向量,且 =+2,=5+6,=7 2,则一定共线的三点是()A.,B.,C.,D.,解析因为 =+=5+6+7 2=2+4=2(+2)=2 ,所以,三点共线.5.已知=(3,2),=(2,1),=(7,4),则()A.=+2 B.=2 C.=2 D.=2 解析设=+,所以(
4、7,4)=(3 2,2+),所以 3 2=7,2+=4,得 =1,=2,所以=2.BA6.在 中,点 在 上,平分.若 =,=,|=1,|=2,则 =()A.13 +23 B.23 +13 C.35 +45 D.45 +35 解析因为 平分,由角平分线定理得|=|=21,所以 为 的三等分点,且 =23 =23(),所以 =+=23 +13 =23+13 .7.已知向量=(2,3),=(1,2),若+与 2 共线,则 等于()A.12 B.12 C.2 D.2 解析因为向量=(2,3),=(1,2),所以 2=(4,1),+=(2 ,3+2),因为+与 2 共线,所以4(3+2)(1)(2 )
5、=0,所以=12.C8.若 是 所在平面内的一点,且满足5 =+3 ,则 与 的面积比为()A.15 B.25 C.35 D.45 解析如图所示,设 的中点为,由5 =+3 ,得3 3 =2 2 ,所以 =23 ,所以,三点共线,且 =35 ,所以 与 公共边 上的两高之比为3:5,则 与 的面积比为35.二、多项选择题ABDAB9.已知,为非零向量,则下列命题中正确的是()A.若|+|=|+|,则 与 方向相同 B.若|+|=|,则 与 方向相反 C.若|+|=|,则 与 有相等的模 D.若|=|,则 与 方向相同 解析当,方向相同时,有|+|=|+|,|=|;当,方向相反时,有|=|+|,
6、|+|=|.因此、正确.10.已知=(1,0),|=1,=(0,1),满足3+7=0,则实数 的值可能为()A.58 B.58 C.58 D.58 解析由题意可得 =3 7=3 (1,0)7 (0,1)=(3,7),则|=|=(3)2+49=58.|=1,=58.三、填空题11.若 与 不共线,已知下列各向量：与 ;+与 ;+与 +2;12 与12 14 .其中可以作为基底的是（填序号).解析对于,因为 与 不共线,所以 与2 不共线;对于,假设+与 共线,则 有+=(),所以=1 且=1,矛盾.所以+与 不共线;对于,同理+与+2 不共线;对于,因为 12 =2(12 14),所以 12 与12 14 共线.由基底的定义知,都可以作为基底,不可以.12.如图,半径为 1 的扇形 的圆心角为120,点 在 上,且=30,若 =+,则+=.3 解析根据题意,可得 ,以 为坐标原点,所在直线分别为 轴、轴建立平面直角坐标系,如图所示：则有(1,0),(0,1),(cos30,sin30),即(32,12),于是 =(1,0),=(0,1),=(32,12).由 =+,得：(1,0)=(0,1)+(32,12),则 32 =1,12 =0,解得 =33,=2 33 =0,所以+=3.