1、13.4 数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析A、B、C中，k1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k2为奇数答案D2用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取() A2 B3 C5 D6解析 分别令 n02,3,5, 依次验证即可答案 C3对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程
2、如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法答案D4.利用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN*)”时，在验证n1成立时，左边应该是()A 1 B 1aC 1aa2 D 1aa2a3解析当n1时，左边1aa2，故选C.答案 C5用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C. D(k21)(k22)(k23)
3、(k1)2解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D6下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1) D3(27k)解析 (1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN*都成立答案 D7用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()A. BC. D.解析当nk时，
4、左侧1，当nk1时，左侧1.答案C二、填空题8对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根据上述分解规律，若n213519, m3(mN*)的分解中最小的数是21，则mn的值为_解析 依题意得 n2100, n10. 易知 m321m2, 整理得(m5)(m4)0, 又 mN*, 所以 m5, 所以mn15.答案 159.用数学归纳法证明：；当推证当nk1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是.解析 当nk1时，故只需证明即可.答案 10如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN*)行，在这
5、些数中非1的数字之和是_111121133114641解析所有数字之和Sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案2n2n11在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析当n2时，a1a26a2，即a2a1；当n3时，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；当n4时，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an12用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析 n为正奇数，假设n2k1成立后
6、，需证明的应为n2k1时成立答案 2k1三、解答题13用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明 (1)当n1时，左边121，右边(1)01，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，nk1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.14已知数列an中，a1a(a2)，对一切nN*，an0，an1.求证：an2且an1an.证明法一an1
7、0，an1，an220，an2.若存在ak2，则ak12，由此可推出ak22，a12，与a1a2矛盾，故an2.an1an0，an1an.法二(用数学归纳法证明an2)当n1时，a1a2，故命题an2成立；假设nk(k1且kN*)时命题成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1时命题也成立综上所述，命题an2对一切正整数成立an1an的证明同上15已知数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解析(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4
8、n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.()当n1时，a2ca1，命题成立；()设当nk(k1且kN*)时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由()()知当c2时，anan1.当c2时，因为can1an，所以acan10有解，所以an，令，当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)当nlog3时，an13，an13，与已知矛盾因此c不符合要求所以c的取值范围是.16是否存在常数a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立，若存在，求出a、b、c并
9、证明；若不存在，试说明理由解析假设存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN*都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(kN*)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN*都成立