1、第二节空间点、直线、平面的位置关系考情解读命题规律考点平面的基本性质及应用空间两直线的位置关系异面直线所成的角考查频次5年0考卷,5年1考 卷,2年1考5年0考考查难度/中等/常考题型及分值/选择题,5分/命题趋势 本专题的考查重点主要以异面直线、空间中直线与平面间关系的判定为主.复习时注意以生活实际模型或者简单组合体为载体,研究线线、线面、面面的位置关系基础导学知识梳理1.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的1 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.（2）公理2：过2 的三点,有且只有一个平面.（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们3 过该点的公共直线.两点不在一
2、条直线上有且只有一条等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 8 .（3）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,经过空间任一点 作直线/,/,把 与 所成的 9 叫作异面直线 与 所成的角（或夹角）;范围 10 .相等或互补锐角(或直线)（2）平行公理（公理4）和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线7 .互相平行2.空间两条直线的位置关系（1）位置关系分类：(0,2 图形语言符号语言公共点直线与平面相交11 12 个平行13 14 个在平面内15 16 个平面与平面平行17 18 个相交19 20 个10无数3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系无数0 =/=
3、知识拓展1.公理的作用公理 1：可用来证明点、直线在平面内.公理 2：可用来确定一个平面.公理 3：（1）可用来确定两个平面的交线.（2）判断或证明多点共线.（3）判断或证明多线共点.公理 4：（1）可用来判断空间两条直线平行.（2）等角定理的理论依据.2.异面直线的两个结论（1）平面外一点 与平面内一点 的连线和平面内不经过点 的直线是异面直线.（2）分别在两个平行平面内的直线平行或异面.重难突破考点一 平面的基本性质（1）如图所示是正方体或四面体,分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个是()典例研析【例1】A.B.C.D.D解析、图中四点一定共面,中四点不共面.（2）用一个平面去截一个
4、所有棱长均为1的正五棱锥,其截面图形不可能是()A.钝角三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.正五边形C解析 用一个平面去截一个所有棱长均为 1 的正五棱锥 ,若截面过棱,则截面 与 是全等三角形,且 =108,此时截面三角形 是钝角三角形,如图 1 所示.在平面 内作/,交,于点,连接,则/,可知/,且 ,则四边形 是等腰梯形,如图 2 所示.用平行于底面的平面截该棱锥,则截面图形是正五边形,如图 3 所示.综上,不可能的截面图形是平行四边形.故选.方法技巧：（1）由元素确定平面时,要看元素满足的条件.由点确定平面：三点不共线;由点和线确定平面：点不在直线上;由线确定平面：两条相交线,两
5、条平行线.（2）多点共线或多线共点问题：点为平面的公共点,线为平面的交线.（3）共面、共线、共点问题的证明证明点或线共面,首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后再证其余的线（或点）在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.证明点共线,先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点,先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.对点训练C1.如图所示,平面 平面=,=,则平面 与平面的交线是()A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 解析由题意知,所以 ,又因为 ,所以 平面 ,所以点 在平面 与平面
6、的交线上,又因为 平面,所以点 在平面 与平面 的交线上,所以平面 平面=.2.如图所示,1 111 是长方体,是 11 的中点,直线1 交平面 11 于点,则下列结论正确的是()A.,三点共线 B.,1 不共面 C.,不共面 D.,1,共面 A解析连接11,则11/,所以1,1,四点共面,所以1 平面11,因为 1,所以 平面11,又 平面 11,所以 在平面11 与平面 11 的交线上,同理 在平面11 与平面 11 的交线上,所以,三点共线.故选.重难突破考点二 空间直线的位置关系（1）如图所示为正方体表面的一种展开图,则图中的,在原正方体中互为异面直线的有 对.典例研析【例2】3解析
7、平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则,和 在原正方体中,显然 与,与,与 都是异面直线,而 与 相交,与 相交,与 平行.故互为异面直线的有 3 对.（2）2019全国卷文如图,点 为正方形 的中心,为正三角形,平面 平面,是线段 的中点,则()BA.=,且直线,是相交直线 B.,且直线,是相交直线 C.=,且直线,是异面直线 D.,且直线,是异面直线 解析 因为直线,都是平面 内的直线,且不平行,即直线,是相交直线,设正方形 的边长为2,则由题意可得：=2,=,=2,=2 2,根据余弦定理可得：2=2+2 2 cos =92 4 22cos,2=2+2 2 cos =62 4 22
8、cos ,所以 .方法技巧：（1）异面直线的判定方法 反证法：先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理、导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.定理：平面外一点 与平面内一点 的连线和平面内不经过点 的直线是异面直线.（2）线线平行或垂直的判定方法 对于平行直线,可利用三角形（梯形）中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理来判断.对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.（3）注意几个“唯一”结论 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.过平面
9、外一点有且只有一个平面与已知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.3.1,2,3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.1 2,2 2 1 3 B.1 2,2/2 1 3 C.1/2/3 1,2,3 共面 D.1,2,3 共点 1,2,3 共面 对点训练B解析如图所示长方体 1 111 中,但有/,错误;又/1 1,但三线不共面,错误;又从 出发的三条棱不共面,错误;且由线线平行和垂直的定义易知 正确.4.如图所示,在正方体 1 111 中,点,分别在1,上,且1=2,=2,则 与 1 的位置关系是()A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.异面 D.平行D解析连接1
10、并延长交 于 点（图略）,因为1=2,可得 为 中点,连接 并延长交 于 点,因为=2,可得 为 中点,所以,重合.且1=12,=12.所以1=,所以/1.重难突破考点三 异面直线所成的角典例研析【例 3】如图所示,在正三棱柱 1 11 中,是 的中点,1:=2:1,则异面直线 1 与 所成的角为 .60 解析如图,取11 的中点1,连接 11,因为 是 的中点,所以 11/.所以 11 即为异面直线 1 与 所成的角.连接1,设=,则1=2,所以 1=3,11=32,1=14 2+22=32 .在 11 中,由余弦定理得cos 11=12+112122 1 11=32+3429422 3 3
11、2=12,所以 11=60.方法技巧：求异面直线所成角的方法方法解读适合题型平移法将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线,形成三角形求解易于作出平行线的题目补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体,在这两个几何体找异面直线相应的位置,形成三角形求解平行线不易作出的规则几何体对点训练A5.如图所示,在矩形 中,=4,=2,为边 的中点,现将 绕直线 翻转至 处,若 为线段 的中点,则异面直线 与 所成角的正切值为()A.12 B.2 C.14 D.4 是 的中点,/,且=12 ,四边形 是矩形,是 的中点,/,且=12 ,/,且=,四边形 为平行四边形
12、,/,（或其补角）是异面直线 与 所成的角.在 中,=12,异面直线 与 所成角的正切值为12.故选.解析取 的中点,连接,.课时作业一、单项选择题1.在空间中,可以确定一个平面的条件是()A.两两相交的三条直线 B.三条直线,其中的一条与另外两条分别相交C.三个点 D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点D解析两两相交的三条直线,它们可能相交于同一点,也可能不相交于同一点,当三条直线相交于同一点时,这三条直线可能不在同一个平面内,错误;条件中另外两条直线可能共面,也可能不共面,当另外两条直线不共面时,三条直线不能确定一个平面,错误;空间三个点可能不在同一条直线上,也可能在同一条直线上.当三
13、个点在同一条直线上时,经过这三个点的平面有无数个,错误;因为三条直线两两相交于不同的点,所以三个交点不在同一条直线上,由公理 2 知,这三条直线可以确定一个平面,正确.选.2.下列说法错误的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C.如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D.如果两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行DA解析两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内,正确;过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直,正确;如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
14、,正确;如果两条直线和一个平面所成的角相等,那么这两条直线不一定平行,错误,故选.3.已知,是空间四点,命题甲：,四点不共面,命题乙：直线 和 不相交,则甲是乙成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析若,四点不共面,则直线 和 不共面,所以 和 不相交;当直线 和 不相交,且直线 和 平行时,四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.4.在三棱柱 1 11 中,分别为棱1,1 的中点,则在空间中与直线1 1,都相交的直线()A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条D解析在 上任意取一点,直线1 1 与 确定一个平面,这个
15、平面与 有且仅有 1 个交点,当 的位置不同时确定不同的平面,从而与 有不同的交点,而直线 与1 1,分别有交点,如图,故有无数条直线与直线1 1,都相交.5.直三棱柱 1 11中,若 =90,=1,则异面直线 1与 1所成的角等于()A.30B.45C.60D.90C解析如图所示,可将直三棱柱补成一个正方体,由1/1,得 1 与1 所成角的大小为1 1.又易知 1 1 为正三角形,则1 1=60.故 1 与1 成60 的角.6.,是三个不同的平面,是两条不同的直线,下列命题正确的是()A.若 =,则 B.若 ,=,=,则 C.若 不垂直于平面,则 不可能垂直于平面 内的无数条直线 D.若 ,
16、/,则/D解析对于选项,直线 是否垂直于平面 未知,所以平面 不一定垂直于平面,错误;对于选项 ,由条件只能推出直线 与 共面,不能推出 ,错误;对于选项,命题“若 不垂直于平面,则 不可能垂直于平面 内的无数条直线”的逆否命题是“若直线 垂直于平面 内的无数条直线,则 垂直平面”,这不符合线面垂直的判定定理,错误;对于选项,因为 ,/,所以 ,又 ,所以/,正确.故选.7.如图所示,在空间四边形 中,点,分别是边,的中点,点,分别是边,上的点,且=23,则()DA.与 平行 B.与 异面 C.与 的交点可能在直线 上,也可能不在直线 上 D.与 的交点一定在直线 上 解析连接,由于,分别是,
17、的中点,则/;又=23,所以/,/.所以,四点共面.因为=12 ,=23 ,故 ,所以四边形 是梯形,与 必相交,设交点为.因为点 在 上,故点 在平面 上.同理,点 在平面 上,所以点 是平面 与平面 的交点,又 是这两个平面的交线,所以点 一定在直线 上.直线 与直线 异面;直线 与直线 异面;直线/平面 ;平面 平面.其中正确的有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B8.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 为正方形,分别为,的中点,在此几何体中,给出下面 4 个结论：解析将展开图还原为几何体（如图）,因为,分别为,的中点,所以/,即直线 与 共面,错误;因为 平面,平
18、面,所以 与 是异面直线,正确;因为/,平面,平面 ,所以/平面 ,正确;平面 与平面 不一定垂直,错误.故选 .9.如图所示,在正方体 1 111 中,分别为棱11,1 的中点,则以下四个结论正确的是()二、多项选择题CDA.直线 与1 是相交直线 B.直线 与 是平行直线 C.直线 与 1 是异面直线 D.直线 与1 是异面直线 解析直线 与1 是异面直线,直线 与 也是异面直线,、错误,、正确.故选.10.以下结论中,正确的是()A.过平面 外一点,有且仅有一条直线与 平行 B.过平面 外一点,有且仅有一个平面与 平行 C.过直线 外一点,有且仅有一条直线与 平行 D.过直线 外一点,有
19、且仅有一个平面与 平行 BC解析如图 1 所示,过点 有无数条直线都与 平行,这无数条直线都在平面 内,有且只有一个平面与 平行,错误,正确;如图 2 所示,过点 只有一条直线与 平行,但有无数个平面与 平行,正确,错误.由题可知=1,=2 2,=2.又=2 2,=2 2,=2,=3,则cos=2+222 =8+2322 2 2=78.三、填空题11.如图所示,在三棱锥 中,=3,=2,点,分别为,的中点,则异面直线,所成的角的余弦值是 .78 解析如图所示,连接,取 的中点,连接,则/,则异面直线,所成的角即为.12.2017全国卷,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 的直角边 所在
20、直线与,都垂直,斜边 以直线 为旋转轴旋转,有下列结论：当直线 与 成60 角时,与 成30 角;当直线 与 成60 角时,与 成60 角;直线 与 所成角的最小值为45;直线 与 所成角的最大值为60.其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）解析由题意,是以 为轴,为底面半径的圆锥的母线,又 ,圆锥底面,在底面内可以过点 ,作/,交底面圆 于点,如图所示,连接,则 ,/,连接,设 =1,在等腰 中,=2,当直线 与 成60 角时,=60,故 =2,又在 中,=2,=2,过点 作/,交圆 于点,连接,=2,为等边三角形,=60,即 与 成60 角,故正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足平面 直线,直线 与 所成角的最大值为90,错误.正确的说法为.