1、3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式 1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式.3.了解贝努利不等式的应用条件.1.用数学归纳法证明不等式 在不等关系的证明中,有多种多样的方法,其中数学归纳法是最常用的方法之一,在运用数学归纳法证不等式时,推导“k+1”成立时,比较法、分析法、综合法、放缩法等方法常被灵活地应用.【做一做1-1】欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,n0为验证的第一个值,则()A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n010 D.n0=2 解析:n=1时,21;n=2时,48;n=3时,827;n=4时,16
2、64;n=5时,32125;n=6时,64216;n=7时,128343;n=8时,256512;n=9时,5121 000.故选C.答案:C【做一做1-2】用数学归纳法证明“n N*,n1)”时,由n=k(k1)时不等式成立推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1 B.2k-1 C.2kD.2k+1 解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案:C 1+12+13+12-1-1,且x0,n为大于1的自然数,则(1+x)n1+nx.(2)定理2:设为有理数,x-1,若01,则(1+x)1+x;若1,则(1+x)1+x.当且仅当x=0时等号成立.名师点
3、拨当指数推广到任意实数且x-1时,若01,则(1+x)1+x;若1,则(1+x)1+x.当且仅当x=0时等号成立.应用数学归纳法证明不等式,从“n=k”到“n=k+1”证明不等式成立的技巧有哪些?剖析:在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等
4、来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.题型一 题型二 题型三 用数学归纳法证明数列型不等式 【例 1】已知数列an满足 a1=32,且an=3-12-1+-1(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2an2n!恒成立.分析:由题设条件知,可用构造新数列的方法求得an;第(2)问的证明,可以等价变形,视为证明新的不等式.(1)解:将条件变形为 1 =13 1-1-1,因此,数列 1-为一个等比数列,其首项为 1 11=13,公比为13,故 1 =13,由此可得数列an的通项公式为 an=33-1(n
5、1,nN*).题型一 题型二 题型三(2)证明:据得a1a2an=!1-13 1-132 1-13.要证明 a1a2an 12.显然,左端每个因式皆为正数,先证明,对每个 nN*,1-13 1-132 1-13 1 13+132+13.下面用数学归纳法证明式成立:当 n=1 时,显然式成立;假设当 n=k(kN*,且 k1)时,式成立,即 1-13 1-132 1-13 1 13+132+13,题型一 题型二 题型三 则当 n=k+1 时,1-13 1-132 1-13 1-13+1 1-13+132+13 1-13+1=1 13+132+13 13+1+13+1 13+132+13 1 13
6、+132+13+13+1.即当 n=k+1 时,式也成立.故对一切 nN*,式都成立.利用,得 1-13 1-132 1-13 1 13+132+13=1 13 1-13 1-13=1 12 1-13 =12+12 13 12,即式成立.故原不等式成立.题型一 题型二 题型三 反思利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+1的变形.为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放缩要有度,这是一个难点,解决这类问题一是要仔细观察题目的结构,二是要靠经验积累.题型一 题型二 题型三 用数学归纳法比较大小 【例 2】已知 f(x)=-+-,对于xN*,试比较 f(2)与 2-
7、12+1的大小,并说明理由.分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.解:f(x)=-+-=2-12+1=1 22+1,f(2)=1 22+1.又 2-12+1=1 22+1,要比较 f(2)与 2-12+1的大小,只需比较 2n 与 n2 的大小即可,题型一 题型二 题型三 当n=1时,21=212=1;当n=2时,22=4=22;当n=3时,23=852=25;当n=6时,26=6462=36.故猜测当n5(nN*)时,2nn2.下面用数学归纳法进行证明:(1)当n=5时,显然成立.(2)假设当n=k(k5,且kN*)时,不等式成立,即2kk2(k5),则当
8、n=k+1时,2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22).题型一 题型二 题型三 根据(1)(2)可知,对一切 n5,nN*,2nn2 成立.综上所述,当 n=1 或 n5(nN*)时,f(2)2-12+1;当 n=2 或 n=4 时,f(2)=2-12+1;当 n=3 时,f(2)24 对一切正整数n 都成立,求正整数 a 的最大值,并证明你的结论.分析:用数学归纳法证明从 n=k 到 n=k+1 时,为利用假设需增加因式1+1,对于除含有n=k 的因式外的其余的项运用不等式的性质证明其大于零即可.解:a 的最大值
9、为 25.证明如下:当 n=1时,11+1+11+2+131+1 24,即 2624 24,a 2524.题型一 题型二 题型三(1)当n=1时,显然成立.(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,1+1+1+2+13+1 2524,则当 n=k+1 时,1(+1)+1+1(+1)+2+13+1+13+2+13+3+13(+1)+1=1+1+1+2+13+1+13+2+13+3+13+4-1+1 2524+13+2+13+4-23(+1).题型一 题型二 题型三 13+2+13+4=6(+1)92+18+8 6(+1)9(2+2+1)=23(+1),13+2+13+4 23(+1)0.1(+1)
10、+1+1(+1)+2+13(+1)+1 2524 也成立.根据(1)(2)可知,对一切 nN*,都有1+1+1+2+13+1 2524,故 a 的最大值为 25.反思用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:观察归纳猜想证明,即先通过观察部分项的特点进行归纳,判断并猜测出一般结论,然后用数学归纳法进行证明.1 2 3 41.下列选项中,满足12+23+34+n(n+1)3n2-3n+2的自然数n是()A.1B.2 C.3D.4 解析:将n=1,2,3,4分别代入验证即可.答案:D 1 2 3 42 用数学归纳法证明“1+1+1+2+1+3+1+1124(nN*)”时,由 n=k 到 n=k+1 时
11、,不等式左边应添加的项是()A.12(+1)B.12+1+12+2C.12+1+12+2 1+1D.12+1+12+2 1+1 1+2解析:当 n=k时,1+1+1+2+1+1124,而当 n=k+1 时,左边=1(+1)+1+1(+1)+2+1(+1)+(-1)+1(+1)+1(+1)+(+1).故 n=k 到 n=k+1 时,不等式左边应添加的项为12+1+12+2 1+1.答案:C 1 2 3 43 证明+22 1+12+13+12 1),当 n=2 时,要证明的式子为 .答案:21+12+13+14 12 1+2,假设当n=k 时不等式成立,则当 n=k+1 时,应推证的目标不等式是 .解析:假设当 n=k 时不等式成立,即 122+132+1(+1)2 12 1+2,则当n=k+1 时,左边=122+132+1(+1)2+1(+2)2 12 1+2+1(+2)2,下面只需证明 12 1+2+1(+2)2 12 1+3 即可.答案:12 1+2+1(+2)2 12 1+3
