1、第三节空间中的平行关系考情解读命题规律考点直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质考查频次卷,5年3考 卷,1年1考此考点近5年新课标全国卷未涉及考查难度中等/常考题型及分值解答题,12分/命题趋势 本部分内容是高考考查的重点和热点,在选择题中对平行与垂直进行综合考查,在解答题中一般作为其中的一问,难度中等.复习时,关于证明平行中的存在性与探索性问题需要加强训练基础导学 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与 1 的一条直线平行,则该直线与此平面平行（线线平行 线面平行）因为 2 ,所以/性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的 3 与该直线平行（
2、简记为“线面平行 线线平行”）因为 4 ,5 ,所以/知识梳理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理此平面内交线/,/,=文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条 6 与另一个平面平行,则这两个平面平行（简记为“线面平行 面面平行”）因为 7 ,8 所以/性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面9 ,那么它们的 10 平行因为11 ,12 所以/2.平面与平面平行的判定定理和性质定理相交直线相交交线/,/,=,/,=知识拓展序号文字语言图形语言符号语言判定定理 2如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行 /判定定理 3平行于同一个平面的两个平面平行/序号文字语言图形语言符号语言
3、性质定理 2如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面/,且 /性质定理 3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线,那么另一个平面也垂直于这条直线/且 2.性质定理化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.3.线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化,解决平行关系的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转重难突破考点一 直线与平面平行的判定与性质典例研析【例 1】2019全国卷文如图,直四棱柱 1111 的底面是菱形,1=4,=2,
4、=60,分别是,1,1 的中点.（1）证明：/平面1;答案证明：连接1,1.因为,分别为1,的中点,所以/1,且=12 1.又因为 为1 的中点,所以=12 1.由题设知11=/,可得1=/1,故=/,因此四边形 为平行四边形,=/.又 平面1,所以/平面1.答案解：过 作1 的垂线,垂足为.由已知可得 ,1,又 1=,所以 平面1,故 .从而 平面1,故 的长即为点 到平面1 的距离,由已知可得=1,1=4,所以1=17,故=4 1717 .所以点 到平面1 的距离为4 1717 .（2）求 到平面1 的距离.方法技巧：方法关键适用题型利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一直线,
5、证明其与已知直线平行平行线易作出利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面,证明其与已知平面平行面面平行较明显利用线面平行性质证线线平行过线作平面,产生交线已知线面平行（1）若 为 的中点,求证/平面;对点训练1.如图所示,四棱锥 中,底面 是边长为 3 的菱形,=60.平面,且=3.在棱 上,答案证明：连接,=,由 为菱形知 为 的中点,为 的中点,/.平面,平面./平面.答案解：过点 作/交 于点,连接,./,平面,平面,/平面,又 =,/平面,平面,平面/平面,又 平面,/平面,又平面 平面=,平面,/.又 为 的中点,为 中点,=1,为 的中点,:=1:1.（2）若=1,在棱 上,
6、且/平面,求:的值.重难突破考点二 平面平行的判定与性质典例研析【例 2】如图所示,在多面体 中,底面 是菱形,四边形 是矩形,平面 平面,和 分别是 和 的中点.求证：平面/平面.答案证明：在 中,因为,分别是,的中点,所以/,又因为 平面,平面,所以/平面,设 =,连接,在 中,因为=,=,所以/,又因为 平面,平面,所以/平面.又因为 =,平面,所以平面/平面.方法技巧：判定面面平行的4种方法（1）面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点.（2）面面平行的判定定理.（3）垂直于同一条直线的两平面平行.（4）平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.答案连接11（
7、图略）.在 111 中,分别是11,11 的中点,/11 且=12 11,又知四边形11 为矩形,=/11,/且=12 .四边形 为梯形.对点训练2.如图所示,正方体 1111 中,分别是11,11 的中点,分别是11,11 的中点.（1）求证：四边形 为梯形;答案连接（图略）,在 111 中,分别为11,11 的中点,/11.由（1）知,/11,/.在正方形1111 中,为11 的中点,为11 的中点,=/11,又 四边形11 为正方形,=/11,=/,四边形 为平行四边形.=/.又 =,=,平面/平面.（2）求证：平面/平面.重难突破考点三 平行关系的探索问题（1）如图所示,在正方体 11
8、11 中,为底面 的中点,是1 的中点,设 是1 上的点,当点 时,平面1/平面()典例研析【例3】DA.与 重合 B.与1 重合 C.为1 的三等分点 D.为1 的中点 解析 在正方体 1111 中,为底面 的中心,是1 的中点,/1,当点 为1 的中点时,连接,则=/,四边形 是平行四边形,/,=,1=,平面,1 平面1,平面1/平面.故选.（2）如图所示,在斜三棱柱 111 中,1 分别是,11 上的点,当,1111 分别为何值时,平面1/平面11.答案解:如图所示,连接1 与1 交于点,连接1.因为平面1/平面11,且平面11 平面1=1,平面11 平面11=1,所以1/1.同理1/1
9、.由1/1,得1111=1=1,即11=11.由1/1,/11,得四边形11 是平行四边形,所以=11,所以11=.所以=1111=1,即当=1111=1 时,平面1/平面11.方法技巧：对于此类问题往往采取逆向思维（1）对命题条件的探索常采用以下三种方法:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.（2）对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设.对点训练3.在三棱柱 111
10、 中,设,分别是线段,1 的中点,在线段 上是否存在一点,使直线/平面1？请证明你的结论.证明：存在一点 ,使/平面1.答案证明如下：取 的中点,1 的中点 ,连接,（图略）.=/12,=/12 11,=/.四边形 为平行四边形./,又 平面1,平面1,/平面1.故存在点 为 的中点,使/平面1.课时作业1.如图所示,在正方体 1111 中,分别是1,1 的中点,则下列说法错误的是()一、单项选择题DA.与1 垂直 B.与 垂直 C.与 平行 D.与11 平行 解析连接1,（图略）.是1 的中点,是1 的中点,/.又 1 ,1 ,、正确.,/,正确.故选.2.如图所示,在下列四个正方体中,为正
11、方体的两个顶点,为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 与平面 不平行的是()A.B.C.D.A解析对于选项,设正方体的底面对角线的交点为（图略）,连接,则/,因为 与平面 有交点,所以 与平面 有交点,即 与平面 不平行,故选.3.过三棱柱 111 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面11 平行的直线共有()A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 B解析如图所示,是相应线段的中点,故符合条件的直线只能出现在平面 中,有,共 6 条直线,故选.4.已知平面/平面,是,外一点,过点 的直线 与,分别交于点,过点 的直线 与,分别交于点,且=6,=9,=8,则 的长为()A.16 B.
12、24 或245 C.14 D.20 B解析根据题意可出现如下两种情况：由面面平行的性质得/,则=可求得 的长为 24 或245 .5.设,是两条不同的直线,是两个不同的平面,则/的一个充分条件是()A.存在一条直线,/,/B.存在一条直线,/C.存在两条平行直线,/,/D.存在两条异面直线,/,/D解析对于选项,若存在一条直线,/,/,则/或 与 相交,若/,则存在一条直线,使得/,/,所以选项 的内容是/的一个必要条件;同理,选项,的内容也是/的一个必要条件而不是充分条件;对于选项,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有/,所以选项 的内容是/的一个充分条件,故选.6
13、.如图所示,在三棱柱 中,点,分别为,的中点,为 的重心.从,中取一点作为,使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 平行,则 为()CA.B.C.D.解析取 的中点,连接,则=/12 =/,得四边形 为平行四边形,若=,则/,故与平面 平行的棱超过 2 条;/,若=或=,则平面 与平面 为同一平面,与平面 平行的棱只有,不满足条件;连接,则/,若=,则,与平面 平行.故选.7.下列命题正确的是()A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行B.若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行C.若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两
14、个平面平行C解析 选项中两条直线可能平行也可能异面或相交,错误;对于 选项,如图所示,在正方体 1111 中,平面11 和平面11 与11 所成的角相等,但这两个平面垂直,错误;选项中两平面也可能相交,错误.故选.8.如图所示,在空间四边形 中,点,分别为边,上的点,且:=:=1:4,又点,分别为,的中点,则()BA./平面,且四边形 是矩形 B./平面,且四边形 是梯形 C./平面,且四边形 是菱形 D./平面,且四边形 是平行四边形 解析由:=:=1:4 知,/,且 =15 .平面 ,平面 ,/平面 .又点,分别为,的中点,/且 =12,/且 ,故四边形 是梯形.故选 .9.已知,表示两条
15、不重合的直线,表示三个不重合的平面,给出下列命题,其中正确的是()A.若 =,=,且/,则/B.若,相交且都在,外,/,/,/,/,则/C.若/,/,则/D.若 ,/,=,则/二、多项选择题BD解析 与 也可能相交,错误;设,确定的平面为,依题意,得/,/,故/,正确;与 也可能相交,错误;由线面平行的性质定理可知,正确.故选.10.如图所示,为矩形 所在平面外一点,矩形对角线的交点为,为 的中点,给出以下结论,其中正确的是()ABCA./B./平面 C./平面 D./平面 解析由题意知,是 的中位线,则/,正确;平面,平面,/平面,正确;同理,可得/平面,正确;与平面 和平面 都相交,错误.
16、故选.三、填空题11.如图所示,在正方体 1111 中,=2,为 的中点,点 在 上,若/平面1,则=.2 解析根据题意,因为/平面1,所以/.又 是 的中点,所以 是 的中点.因为在 中,=1,故=2.12.如图所示,在棱长均相等的四棱锥 中,为底面正方形的中心,分别为侧棱,的中点,有下列结论：/平面;平面/平面;直线 与 所成角的大小为90.其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）解析如图所示,连接,易得/,所以/平面,正确.同理/,所以平面/平面,正确.由于四棱锥的棱长均相等,所以2+2=2+2=2,所以 ,又/,所以 ,正确.由于,分别为侧棱,的中点,所以/,又四边形 为正方
17、形,所以/,又三角形 为等边三角形,所以=60,所以直线 与 所成的角即,错误.故正确的结论为.四、解答题13.如图所示,四边形 为矩形,平面,=2,为 上的点,且 平面.（1）求三棱锥 的体积;答案 平面,/.平面.又 平面,.平面,平面,.平面.又 平面,.又 =2,=2 2,则点 到平面 的距离为 2.=13 12 2 2 2 2=43.答案存在这样的点.如图所示,在 中,过点 作/交 于点,在 中,过点 作/交 于点,连接,则由比例关系易得=13 ./,平面,平面,/平面.同理,/平面,又 =,平面/平面.平面,/平面.点 为线段 上靠近点 的一个三等分点.（2）设 在线段 上,且满足
18、=2,则线段 上是否存在一点,使得/平面?14.如图所示,四棱锥 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为2 17.点,分别是棱,上共面的四点,平面 平面,/平面.（1）证明：/;答案证明：因为/平面,平面,且平面 平面=,所以/.同理可证/,因此/.答案解：如图所示,连接,交于点,交 于点 ,连接,.因为 =,是 的中点,所以 ,同理可得 .又 =,且,都在底面内,所以 底面 .又平面 平面 ,且 平面 ,所以/平面 .因为平面 平面 =,所以/,且 底面 ,从而 ,所以 是梯形 的高.由 =8,=2,得:=:=1:4,从而 =14 =12,即 为 的中点.由/得 =12,即 是 的中点,且 =12 =4.由已知可得 =4 2,=2 2=68 32=6,所以 =3.故四边形 的面积 =+2 =4+82 3=18.（2）若=2,求四边形 的面积.