1、本章整合 柯西不等式与排序不等式 柯西不等式 向量形式代数形式三角不等式排序不等式 乱序和反序和顺序和平均值不等式最大值与最小值问题专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 柯西不等式的应用 利用柯西不等式证明其他不等式或求最值,关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化.应用若n是不小于2的正整数,试证:47 1 12+13 14+12-1 12 22.提示:注意中间的一列数的代数和,其奇数项为正,偶数项为负,可进行恒等变形予以化简.专题一 专题二 专题三 专题四 证明:1 12+13 14+12-1 12=1+12+13+12 2 12+14+12=1+1+1+2+12,所以所求证不等
2、式等价于 47 1+1+1+2+12 n2,于是1+1+1+2+12 2(+1)+(+2)+2=23+1=23+123+12=47,专题一 专题二 专题三 专题四 又由柯西不等式,得 1+1+1+2+12 (12+12+12 个)1(n+1)2+1(n+2)2+1(2n)2 n 1n-12n=22.故 47 1 12+13 14+12n-1 12n 22.专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.应用设0a1a2an,0b1b2bn,c1,c2,cn为b1,b2,bn的一组排
3、列.求证:11 22 11 22 1 2-11.证明:00)为增函数,11 22 11 221 2-11.专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 最值问题 有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定.其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理,在这类问题中,利用柯西不等式或排序不等式求解较容易.但在求最值时,无论是应用柯西不等式,还是排序不等式、平均值不等式,都应该注意等号成立的条件.专题一 专题二 专题三 专题四 应用 1 设 ai(0,+)(i=1,2,n),且=1=1,求:S=a11+a2+an+a21+a1+a3+an+an1+a1+an-1 的最小值.解:由题意,得 S=a12
4、-a1+a22-a2+an2-an,且关于a1,an对称,不妨设 1a1a2an0,则 0 0.由排序不等式,得S a22-a1+a32-a2+an2-an-1+a12-an,S a32-a1+a42-a2+a12-an-1+a22-an,专题一 专题二 专题三 专题四 又 S=a12-a1+a22-a2+an-12-an-1+an2-an,以上 n 个式子相加,得nSa1+a2+an2-a1+a1+a2+an2-a2+a1+a2+an2-an,S1n(1+2+an)12-a1+12-a2+12-an =1n 12-a1+12-an.专题一 专题二 专题三 专题四 又由柯西不等式,得(2-a1
5、)+(2-a2)+(2-an)12-a1+12-a2+12-an n2.(2-a1)+(2-a2)+(2-an)=2n-1,S1n n22n-1=n2n-1,当且仅当 a1=a2=an=1n 时,等号成立,故 S 的最小值为n2n-1.专题一 专题二 专题三 专题四 应用2已知正实数x1,x2,xn满足x1+x2+xn=P,P为定值,求 F=122+223+-12+21 的最小值.解:不妨设 0 0,且 0 0,且x1,y1,原不等式可化为 lg alg+lg lg2+lg2.令 f(x,y)=lg+lg lg2+lg2=(lg+lg)2lg2+lg2=1+2lglglg2+lg2(lg x0
6、,lg y0).lg2x+lg2y2lg xlg y0,0 2lglglg2+lg21.1b,试比较f(a)与f(b)的大小;有()+()+0.(2)解不等式 -12 -14;(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)这两个函数的定义域的交集为空集,求c的取值范围.提示:本题的(1)(2)两问密切相关,都应由已知不等式推出函数的单调性,以便解决问题.专题一 专题二 专题三 专题四 解:(1)设x1,x2是-1,1上的任意两个实数,且x10,f(x2)f(x1),即f(x)在-1,1上是增函数.当-1bf(b).(2)f(x)在-1,1上是增函数,不等式 -12 -14 -1 -
7、12 1,-1 -14 1,-12 -14,不等式的解集为|-12 54.专题一 专题二 专题三 专题四(3)设g(x)的定义域为P,h(x)的定义域为Q,则P=x|-1x-c1=x|c-1x1+c,Q=x|-1x-c21=x|c2-1x1+c2.若PQ=,必有c+1c2-1或c2+10c2或c-1,c2-c+20c.故c的取值范围是(-,-1)(2,+).121(湖北高考)设 x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=.解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2,当且仅当1=2=3 时等号成立,此时 y=2x,z=3x.x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,x=1414,y=2 1414,z=3 1414.x+y+z=6 1414=3 147.答案:3 147122(湖南高考)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .解析:由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案:12