1、第1讲计数原理考情考向分析1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘例1(1)(2018潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学某校国学社
2、团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A120种 B156种C188种 D240种答案A解析当“数”排在第一节时有AA48(种)排法，当“数”排在第二节时有AAA36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有AA12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有AAA24(种)排法，所以满足条件的共有48361224120(种)排法(2)若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”例如：
3、32是“开心数”因为323334不产生进位现象；23不是“开心数”，因为232425产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为()A9 B10 C11 D12答案D解析根据题意个位数需要满足要求：n(n1)(n2)10，即n2.3，个位数可取0,1,2三个数，十位数需要满足：3n10，n3.3，十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3412(个)思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化跟踪演练1(1)某微信群中
4、有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A18种 B24种C36种 D48种答案C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AA12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有AC6(种)抢法；若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，
5、有A6(种)抢法根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种(2)(2018百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有()1234A.9种 B18种 C12种 D36种答案B解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有326(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6318(种)种植方式热点二排列与组合名称排列组合相同
6、点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同例2(1)(2018哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有()A240种 B480种C720种 D960种答案B解析12或67为空位时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空位时，第三个空位有3种选择，因此空位共有244320(种)，所以不同坐法有20A480(种)(2)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，
7、则不同的分配方法共有()A25种 B60种 C90种 D150种答案D解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有A90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有CA60(种)分配方法，共有9060150(种)分配方法思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组
8、合数，再减去不符合要求的排列数或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”跟踪演练2(1)(2018北京市建华实验学校模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有_种答案80解析由题意先将甲乙捆绑在一起有A种排法，再与丙一起排列一共有AA种排法，然后再将丁戊插入共有AACC80(种)排法(2)(2018湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有()A168种
9、 B156种C172种 D180种答案B解析分类：(1)小李和小王去甲、乙，共有ACC12(种)；(2)小王、小李一人去甲、乙，共CCCC96(种)；(3)小王、小李均没有去甲、乙，共AA48(种)，总共N129648156(种)安排方案热点三二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn，其中各项的系数C(k0,1，n)叫做二项式系数；展开式中共有n1项，其中第k1项Tk1Cankbk(其中0kn，kN，nN*)称为二项展开式的通项公式例3(1)(2018揭阳模拟)已知(x1)5的展开式中常数项为40，则a的值为()A2 B2 C2 D4答案C解析5展开式的通项公式为Tk1C(ax)
10、5kk(1)ka5kCx52k，令52k1，可得k3，结合题意可得(1)3a53C40，即10a240，a2.(2)已知(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xR)，则a12a23a34a42 016a2 0162 017a2 017等于()A2 017 B4 034 C4 034 D0答案C解析因为(12x)2 017a0a1(x1)a2(x1)2a2 016(x1)2 016a2 017(x1)2 017(xR)，两边同时求导可得22 017(12x)2 016a12a2(x1)2 016a2 016(x1)2 01
11、52 017a2 017(x1)2 016(xR)，令x0，则22 017a12a22 016a2 0162 017a2 0174 034.思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法跟踪演练3(1)(2018龙岩质检)已知二项式4，则展开式的常数项为()A1 B1 C47 D49答案B解析二项
12、式441462434，二项式中的常数项产生在1,62，4中，分别是1,62，C22，它们的和为124241.(2)n的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若32，则n等于()A5 B6 C7 D8答案A解析令x1，得各项系数之和为A4n，二项式系数之和为B2n，故32，解得n5.真题体验1(2017全国改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_种答案36解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种)2(2016上海)在n的二项展开式中，所有项的二
13、项式系数之和为256，则常数项等于_答案112解析由2n256，得n8，通项公式Tk1CkC(2)k，令0，得k2，则常数项为C(2)2112.3(2017浙江)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.答案164解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4CC2CC2216.a5是常数项，由二项式的展开式得a5CC224.4(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生
14、，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CA180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法方法二不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)押题预测1某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A8种
15、B16种C18种 D24种押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点答案A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A种方法；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种方法；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种方法根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA8(种)2为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为()A60 B120C240 D360押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类答案D解析6名相关专业技术人员到三所足
16、校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有CCA40(种)，则第一种情况共有204060(种)(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有CCAC40(种)，王教练分配到三人组有CCCA120(种)，王教练分配到两人组有CCCA80(种)，所以第二种情况共有4080120240(种)(3)对于第三种情况，共有CCCC60(种)综上所述，共有6024060360(种)分配方案3设(12x)7a0a1xa2x2
17、a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则代数式a12a23a34a45a56a67a7的值为()A14 B7C7 D14押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设计角度新颖、典型，有代表性答案A解析对已知等式的两边求导，得14(12x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x57a7x6，令x1，有a12a23a34a45a56a67a714.4(12x)10的展开式中系数最大的项是_押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力答案15 3
18、60x7解析设第k1项的系数最大，由通项公式Tk1C2kxk，依题意知Tk1项的系数不小于Tk项及Tk2项的系数，即解得所以k，即k7.故最大的项为T8C27x715 360x7.A组专题通关1(2018全国)5的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80答案C解析5的展开式的通项公式为Tk1C(x2)5kkC2kx103k，令103k4，得k2.故展开式中x4的系数为C2240.2在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了3门选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5
19、名同学选课的种数为()A120 B150C240 D540答案B解析因为将5个人分成3组有两种情形，5311,5221，所以这5名同学选课的种数为A150，故选B.3(2018北京丰台区模拟)某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为()A4 B8 C12 D24答案B解析由题意，现对两位男生全排列，共有A2(种)不同的方式，其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有2A4(种)不同的方式，所以满足条件的不同的排法种数为248.4将A，B，C，D
20、，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有()A18种 B20种C21种 D22种答案B解析当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有AA12(种)，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有CAA8(种)，所以共有20种不同的排法5(2018永州模拟)3的展开式中的常数项为()A6 B6 C12 D18答案D解析由二项式3的通项公式为Tk1C3kx32k，当32k1时，解得k1，当32k1时，解得k2，所以展开式中的常数项为C31C3292718.6(2018吉林
21、调研)若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A462 B462C792 D792答案D解析n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，n为偶数，展开式共有13项，则n12.12的展开式的通项公式为Tk1(1)kCx122k，令122k2，即k5.展开式中含x2项的系数是(1)5C792.7(2018上海黄浦区模拟)二项式40的展开式中，其中是有理项的共有()A4项 B7项C5项 D6项答案B解析二项式40的展开式中，通项公式为Tk1C40kkC，0k40，当k0,6,12,18,24,30,36 时满足题意，共7个8中国诗词大会(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有
22、一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒、山居秋暝、望岳、送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有()A144种 B288种C360种 D720种答案A解析将进酒、望岳和另确定的两首诗词进行全排列共有A种排法，满足将进酒排在望岳的前面的排法共有种，再将山居秋暝与送杜少府之任蜀州插排在4个空里(最后一个空不排)，有A种排法将进酒排在望岳的前面、山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A144(种)9(2018全国)从2位女生，4位男生中选3人参
23、加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)答案16解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种故所求选法共有CCCC26416(种)方法二间接法从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故所求选法共有CC20416(种)10若(12x)2 017a0a1xa2 017x2 017(xR)，则的值为_答案1解析令等式中的x0，得a01；再令x，得a00，所以a01.11若(xy)(2xy)5a1x6a2x5ya3x4y2a4x3y3a5x2y4a6xy5a7y6，则a4_，a1a2a3a4a5a6a
24、7_.答案402解析5的二项展开式的通项为Tk1C(2x)5k(y)kC25k(1)kx5kyk，令k3，得T440x2y3；令k2，得T380x3y2，再与xy相乘，可得x3y3的系数为408040，a440.在(xy)(2xy)5a1x6a2x5ya3x4y2a4x3y3a5x2y4a6xy5a7y6中，令xy1，得a1a2a3a4a5a6a7(11)(21)52.12元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有_种不同取法(用数字作答)答案1 680解析1 680.B组能力提高13已知m3cosdx，则(x2y3z)m的展开式中含xm2yz项的系数等于()A180 B
25、180 C90 D15答案B解析由于m3cosdx3sin xdx(3cos x)|6，所以(x2y3z)m(x2y3z)6(x2y)3z6，其展开式的通项为C(x2y)6k(3z)k，当k1时，展开式中才能含有x4yz项，这时(x2y)5的展开式的通项为Cx5S(2y)S，当s1时，含有x4y项，系数为10，故(x2y3z)6的展开式中含x4yz项的系数为C(10)3180.14为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序
26、不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为()A720 B768C810 D816答案B解析由题意知结果有三种情况(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有CA96(种)情况，其中甲、乙相邻的有CAA48(种)情况，所以当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有964848(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有CCA288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有CCA432(种)情况则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768(种)情况，故选B.15(2018保山模拟)一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次
27、具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3处，则小蜜蜂不同的飞行方式有_种答案75解析由题意知，小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3处，共有以下四种情形：一、小蜜蜂在5次飞行中，有4次向正方向飞行，1次向负方向飞行，且每次飞行一个单位，共有C5(种)情况；二、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行，每次飞行一个单位，1次向正方向飞行，且飞行两个单位，1次向负方向飞行，且飞行两个单位，共有CCC20(种)情况；三、小蜜蜂在5次飞行中，有1次向正方向飞行，且飞行一个单位，2次向正方向飞行，且每次飞行两个单位，2次向负方向飞
28、行，且每次飞行一个单位，共有CCC30(种)情况；四、小蜜蜂在5次飞行中，有3次向正方向飞行，每次飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行两个单位，有1次向负方向飞行且飞行一个单位，共有CA20(种)情况；共有520302075(种)情况16(2018上海松江、闵行区模拟)设x1，x2，x3，x41,0,2，那么满足2|x1|x2|x3|x4|4的所有有序数组(x1，x2，x3，x4)的组数为_答案45解析分类讨论：|x1|x2|x3|x4|2，则这四个数为2,0,0,0或1，1,0,0，有CC4610(组)；|x1|x2|x3|x4|3，则这四个数为2，1,0,0或1，1，1,0，有CCC12416(组)；|x1|x2|x3|x4|4，则这四个数为2,2,0,0或1，1,2,0或1，1，1，1，有CCCC662119(组)；综上可知，所有有序数组(x1，x2，x3，x4)的组数为10161945.
