1、第 2 课时 双曲线的简单几何性核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P56P60 的内容，回答下列问题类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的哪些几何性质？提示：2归纳总结，核心必记(1)双曲线的简单几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形 双曲线的范围、对称性、顶点坐标和离心率焦点焦距范围对称性对称轴：，中心：顶点轴长实轴长，虚轴长离心率eca性质渐近线(c，0)(0，c)2c2cxa 或 xa，yRya 或 ya，xRx 轴和 y 轴(0，0)(a，0)(0，a)2a2b(1，)ybaxyab
2、x(2)等轴双曲线和等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是.问题思考(1)如何用 a，b 表示双曲线的离心率？提示：(2)椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：yxecaa2b2a21b2a2eca1b2a2，当 e 越大时，双曲线开口越大；当 e 越小，接近于 1 时，双曲线开口越小实轴虚轴(3)双曲线x2a2y2b21 与y2b2x2a21 的渐近线有什么关系？提示：(4)等轴双曲线的离心率为何值？提示：课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)双曲线的几何性质有哪些？；(2)等轴双曲线的定义：双曲线x2a2y2b21 与y
3、2b2x2a21 的渐近线相同ecaa2b2a2 2，即等轴双曲线的离心率为 2讲一讲1求双曲线 9x216y21440 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图尝试解答 把方程 9x216y21440 化为标准方程为y29x2161.由此可知，半实轴长 a3，半虚轴长 b4，c a2b29165，焦点坐标为(0，5)，(0，5)；离心率 eca53；渐近线方程为 yabx34x.双曲线的草图如图所示已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中 a，b 的对应值，利用c2a2b2得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几
4、何性质练一练1求双曲线 4y29x24 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图解：将双曲线方程化成标准方程x249y211，可知半实轴长 a4923，半虚轴长 b 11.于是有 c a2b2491 133，所以焦点坐标为 133，0，离心率为 eca 132，渐近线方程为 ybax，即 y32x.双曲线的草图如图所示.讲一讲2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为135；(2)与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)尝试解答(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又ca135，所以 a5，b
5、 c2a212，故其标准方程为y252 x21221.(2)所求双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线，设所求双曲线方程为 x22y2.又双曲线过点 M(2，2)，则 222(2)2，即 4.所求双曲线方程为y22x24 1.(1)根据双曲线几何性质求标准方程时，常用方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定 a2，b2 的值)要特别注意 a2b2c2 的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆(2)如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为 mx2ny21(m，n 同号)，然后由条件求 m，n.(3)与双曲线x2a2y2b21 具有共同渐近线的双曲线的标准方
6、程可设为x2a2y2b2(0)，然后再结合其他条件求出 的值即可得到双曲线方程练一练2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)与椭圆x29 y241 有公共焦点，且离心率 e 52；(2)虚轴长为 12，离心率为54.解：(1)设双曲线的方程为 x29y241(40，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)由题设知 2b12，ca54且 c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为x264y2361或y264x2361.讲一讲3(1)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为 ()A.
7、5 B2 C.3 D.2(2)过双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C的离心率为_尝试解答(1)不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M 点的坐标为2a，3a.M 点在双曲线上，4a2a2 3a2b2 1，ab，c 2a，eca 2.故选 D.(2)如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为ba，又直线 l 过右焦点 F(c，0)，则直 线 l 的方程为 yba(xc)因为点 P 的横坐标为 2a，代入双
8、曲线方程得4a2a2 y2b21，化简得 y 3b 或 y 3b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为(2a，3b)，代入直线方程得 3bba(2ac)，化简可得离心率 eca2 3.答案(1)D(2)2 3求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出 a，c.计算 eca；(2)依据条件建立 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c 转化成含ba的方程，求出ba后利用 e1b2a2求解练一练3已知 F1，F2 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果PF2Q90
9、，求双曲线的离心率解：设 F1(c，0)，将 xc 代入双曲线的方程得c2a2y2b21，则 yb2a.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，b2a 2c，b22ac.c22aca20，ca22ca10.即 e22e10.e1 2或 e1 2(舍去)所求双曲线的离心率为 1 2.讲一讲4已知直线 l：xy1 与双曲线 C：x2a2y21(a0)(链接教材 P60例 6)(1)若 a12，求 l 与 C 相交所得的弦长；(2)若 l 与 C 有两个不同的交点，求双曲线 C 的离心率 e的取值范围尝试解答(1)当 a12时，双曲线 C 的方程为 4x2y21，联立xy1，4x
10、2y21，消去 y，得 3x22x20.设两交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x223，x1x223，则|AB|（x1x2）2（y1y2）2 （x1x2）2（x1x2）2 2（x1x2）24x1x2 2289 2 143.(2)将 yx1 代入双曲线x2a2y21，得(1a2)x22a2x2a20，1a20，4a48a2（1a2）0，解得 0a 62 且 e 2.即离心率 e 的取值范围是62，2(2，)(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去 x 或 y 中的一个后，得到的形如二次方程的
11、式子中，要注意 x2 项或 y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解(2)直线 ykxb 与双曲线相交所得的弦长 d 1k2|x1x2|1 1k2|y1y2|.练一练4若直线 ykx1 与双曲线 x2y24 只有一个公共点，则 k的值等于_解析：由ykx1，x2y24，得(1k2)x22kx50.直线与双曲线只有一个公共点，则式只有一个解 当 1k20，即 k1 时，式只有一个解；当 1k20 时，应满足 4k220(1k2)0，解得 k 52，故 k 的值为1 或 52.答案：1 或 52 课堂归纳感悟提升1本节课的重点是双曲线几何性质的求法，难点是直线与双曲线的位置关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)由双曲线的标准方程研究几何性质，见讲 1；(2)由双曲线的几何性质求标准方程，见讲 2；(3)双曲线离心率的求法，见讲 3.3直线与双曲线有一个公共点有两种情况：(1)直线与双曲线相切；(2)直线与双曲线的渐近线平行这也是本节课的易错点 4渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2y2b21(a0，b0)右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方程反之由渐近线方程 axby0 变为 a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得 就可得双曲线方程
