1、 一、选择题1欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2nn3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A1B9C10 Dn10，且nN*解析：2101 024103.故应选C.答案：C2用数学归纳法证明等式：123n2(nN*)，则从nk到nk1时，左边应添加的项为()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2解析：nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.答案：D3数列an中，已知a11，
2、当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2C3n1 D. 4n3解析：计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2，故应选B.答案：B4用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN*)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析：假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可故应选A.答案：A5用数学归纳法证明34n152n1(nN*)能被
3、8整除时，若nk时，命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：当nk1时，34(k1)152(k1)134k13452k1528134k12552k15634k125(34k152k1)答案：A二、填空题6观察下列不等式：1，11，1，12，1，由此猜测第n个不等式为_(nN*)解析：3221，7231，15241，可猜测：1.答案：17已知f(n)1(nN*)，用数学归纳法证明不等式f(2n)时，f(2k1)比f(2k)多的项数是_解析：多的项数
4、等于2k12k2k.答案：2k8用数学归纳法证明34n252n1(nN*)能被14整除，当nk1时对于式子34(k1)252(k1)1应变形为_解析：假设nk时，34k252k1(kN*)能被14整除，为了充分利用上面的假设，需将nk1时的式子作如下变形34(k1)252(k1)1(34k252k1)3452k1(5234)34(34k252k1)5652k1.故应填：34(34k252k1)14452k1.答案：34(34k252k1)14452k19设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，
5、f(n)_(用n表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2)f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)三、解答题10(江苏省泰州中学2012年3月高三第一次学情调研)已知多项式f(n)n5n4n3n.试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论解析：(1)先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f(n)是整数当n1时， f(1)1，结论成立假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即f(k)
6、k5k4k3k是整数，则当nk1时，f(k1)(k1)5(k1)4(k1)3(k1)(k1)f(k)k44k36k24k1根据假设f(k)是整数，而k44k36k24k1显然是整数f(k1)是整数，从而当nk1时，结论也成立由、可知对一切正整数n，f(n)是正整数(2)当n0时，f(0)0是整数(3)当n为负整数时，令nm，则m是正整数，由(1)f(m)是整数，所以f(n)f(m)(m)5(m)4(m)3(m)m5m4m3mf(m)m4是整数综上，对一切整数n，f(n)一定是整数11已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的
7、直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解析：(1)由题意a11，b11，b2，a21，P2(，)，直线l的方程为，即2xy1.(2)当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*，k1)时，2akbk1成立，则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1；当nk1时，命题也成立由知，对nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上12设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明解析：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是a2a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3.由此猜想Sn，n1，2，3，.下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立()假设nk(k1，且kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由()、()可知Sn对所有正整数n都成立 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )