1、第6讲指数与指数函数1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*)2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1当x1；在R上是增
2、函数在R上是减函数做一做1化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D9答案：B2(2015大连模拟)函数y2|x|的值域为()A0，) B1，)C(1，) D(0，1答案：B 1辨明三个易误点(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数(2)指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1或0a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.做一做3(2015东北三校联考)函数f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()AyBy|x2|C
3、y2x1 Dylog2(2x)解析：选A.由f(x)ax1(a0，a1)的图象恒过点(1，1)，又0，知(1，1)不在y的图象上4(2014高考陕西卷)已知4a2，lg xa，则x_解析：4a2，a，lg xa，x10a.答案：5若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知0a211，即1a22，得a1或1a.答案：(，1)(1，),学生用书P27P28)_指数幂的运算_化简下列各式：(1)0.027(1)0；(2)(3ab1)(4ab3).扫一扫进入91导学网()整体式子转化求值问题解(1)原式72149145.(2)原式(2ab)abababb1.规律方法指
4、数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答1.化简下列各式：(1)(0.027)；(2)(2ab)(6ab)(3ab)解：(1)原式0.32 .(2)原式2(6)(3)ab4ab04a._指数函数的图象及应用_(1)函数yax(a0，且a1)的图象可能是()(2)方程2x2x的解的个数是_解析(1)法一：当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，此时四个
5、选项均不对；当0a1时，函数yax是减函数，且其图象可视为是由函数yax的图象向下平移个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数yax(a0，且a1)的图象必过点(1，0)，所以选D.(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案(1)D(2)1规律方法指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时要根据其取值范围进行分类讨论从甲函数图象通过变换得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的图象变换为甲函数的图象2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是() A
6、a1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若函数f(x)e(x)2(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_解析：(1)由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)由于f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即e(x)2e(x)2，(x)2(x)2，0，f(x)ex2.又yex是R上的增函数，而x20，f(x)的最大值为e01m，m1.答案：(1)D(2)1_指数函数的性质及应用(高频考点)_指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选
7、择题、填空题的形式出现，高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较幂值的大小；(2)解简单指数不等式；(3)研究指数型函数的性质(1)已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()AcabBbacCacb Dab0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2(3)函数f(x)的单调减区间为_.扫一扫进入91导学网()函数性质的综合应用解析(1)把b化简为b，而函数y在R上为减函数，所以，即bac.(2)f(x)为偶函数，当x0时，有或解得x4或xbc BacbCcab Dbca(2)已知函数y2xax1在区间(，3)内递增，求a的取值范围解析：(1)选A.由0.20.6，0
8、.40.40.6，即bc；因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.(2)解：函数y2xax1是由函数y2t和tx2ax1复合而成因为函数tx2ax1在区间 (，上单调递增，在区间，)上单调递减，且函数y2t在R上单调递增，所以函数y2xax1在区间(，上单调递增，在区间，)上单调递减又因为函数y2xax1在区间(，3)上单调递增，所以3，即a6.,学生用书P28)方法思想解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)函数f(x)1在x3，2上的值域是_解析因为x3，2，若令t，则t.yt2t1.当t时，ymin；当t8时，ymax57.所以函数f(x)的值域为.答案名师点评(1)此题利用了
9、换元法，把函数f(x)转化为yt2t1，其中t，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量(2)对于同时含有ax与a2x(a0且a1)的函数、方程、不等式问题，通常令tax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围已知函数y9xm3x3在区间2，2上单调递减，则m的取值范围为_解析：设t3x，则y9xm3x3t2mt3.因为x2，2，所以t.又函数y9xm3x3在区间 2，2上单调递减，即yt2mt3在区间上单调递减，故有9，解得m18.所以m的取值范围为(，18答案：(，181(2015北京模拟)在同一坐标系中，函数y2x与y的图象之间的关系是()A关于y轴对称B关于x轴
10、对称C关于原点对称 D关于直线yx对称解析：选A.y2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称2已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为()A9，81 B3，9C1，9 D1，)解析：选C.由f(x)过定点(2，1)可知b2，因f(x)3x2在2，4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，可知C正确3(2015浙江绍兴一中月考)函数f(x)a|x1|(a0，a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)f(1) D不能确定解析：选A.由题意知a1，f(4)a3，f(1)a2，由单
11、调性知a3a2，f(4)f(1)4函数y1的图象关于直线yx对称的图象大致是()解析：选A.由题易知，函数y1的图象过点(0，2)关于直线yx对称的图象一定过(2，0)这个点由于原函数为减函数，故所求函数也为减函数，由此可以排除B，C，D.5(2015浙江丽水模拟)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2，1) B(4，3)C(1，2) D(3，4)解析：选C.原不等式变形为m2m，函数y在(，1上是减函数，2，当x(，1时，m2m恒成立，等价于m2m2，解得1m0且a1)的图象恒过定点P(m，2)，则mn_解析：当2x40，即x2时，y1n，即函数图象恒
12、过点(2，1n)，又函数图象恒过定点P(m，2)，所以m2，1n2，即m2，n1，所以mn3.答案：39求下列函数的定义域和值域(1)y；(2)y .解：(1)显然定义域为R.2xx2(x1)211，且y为减函数.故函数y的值域为.(2)由32x10，得32x132，y3x为增函数，2x12，即x，此函数的定义域为，由上可知32x10，y0.即函数的值域为0，)10已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解：(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上
13、单调递减，而y在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0.(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R.)故a的值为0.1已知f(x)ax和g(x)bx是指数函数，则“f(2)g(2)”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不
14、必要条件解析：选C.由题可得，a，b0且a，b1，充分性：f(2)a2，g(2)b2，由f(2)g(2)知，a2b2，再结合yx2在(0，)上单调递增，可知ab，故充分性成立；必要性：由题可知ab0，构造h(x)，显然1，所以h(x)单调递增，故h(2)h(0)1，所以a2b2，故必要性成立故选C.2偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且在x0，1时，f(x)x，则关于x的方程f(x)在x0，4上解的个数是()A1 B2C3 D4解析：选D.由f(x1)f(x1)，可知T2.x0，1时，f(x)x，又f(x)是偶函数，可得图象如图所示f(x)在x0，4上解的个数是4.故选D.3已知函数f(
15、x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_解析：当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当x0时，g(x)f(x)2x为单调减函数，所以g(x)g(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.答案：04定义区间x1，x2的长度为x2x1，已知函数f(x)3|x|的定义域为a，b，值域为1，9，则区间a，b的长度的最大值为_，最小值为_解析：由3|x|1，得x0，由3|x|9，得x2，故满足题意的定义域可以为2，m(0m2)或n，2(2n0)，故区间a，b的最大长度为4，最小长度为2.答案：425已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求b的值；(2)对于任意的tR
16、，不等式f(t22t)f(2t2k)0有解，求k的取值范围解：(1)由f(x)为奇函数，知f(0)0，b1.(2)f(x)为奇函数，由f(t22t)f(2t2k)0，得f(t22t)f(k2t2)由(1)知b1时，f(x)在R上是增函数，t22t3t22t3.k的取值范围为k.6(选做题)已知函数f(x)，x1，1，函数g(x)f(x)22af(x)3的最小值为h(a)(1)求h(a)；(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：mn3；当h(a)的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由解：(1)x1，1，f(x)，设t.则y(t)t22at3(ta)23a2.当a3时，yminh(a)(3)126a.h(a)(2)假设存在m，n满足题意mn3，h(a)126a在(3，)上是减函数，又h(a)的定义域为n，m，值域为n2，m2，得6(mn)(mn)(mn)，即mn6，与mn3矛盾，满足题意的m，n不存在