1、第5讲二次函数与幂函数1幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，为常数(2)性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域(，)(，)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x对称做一做1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x答案：B2已知f(x)x22mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案：(，2 1辨明两个易误点(1)对于函数ya
2、x2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等做一做3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取
3、值范围是()A.B.C.D.解析：选C.由题意知即得a.4已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A0，1 B1，2C(1，2 D(1，2)解析：选B.如图，由图象可知m的取值范围是1，2,学生用书P24P25)_幂函数的图象及性质_(1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是()(2)当0x1时，f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_解析(1)设幂函数的解析式为yx，幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，24，解得.y，其定义域为0，)，且是增函数，当0xg(x)f(x)答案(1)C(2)h(x)g(x)
4、f(x)规律方法幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx分区域根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较1.已知幂函数f(x)(n22n2)xn3n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2 D1或2解析：选B.由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3.当n1时，f(x)x2在(0，)上是减函数；当n3时，f(x)x18在(0，)上是增函数故n1符合题意，应选B._求二次函数的解析式_
5、已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式解(1)由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a.由于f(x)有最小值1，所以必有，解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P(x，y)必在f(x)图象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.规律方法在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三
6、个点的坐标，应选择一般式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式注意求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的字母系数过多，会加大运算量，易出错2.已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：法一：(利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.法二：(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的对称轴为x.m.又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a8.f(2)1，a81，解得a4，f(x)484x24
7、x7.法三：(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，所求函数的解析式为f(x)4x24x7._二次函数的图象与性质(高频考点)_高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，难度偏大，属中高档题高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下两个命题角度：(1)二次函数图象的识别问题；(2)二次函数的最值问题(1)(2015郑州模拟)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()(2)已知函数f(x)x22ax1a在x0，1时有
8、最大值2，求a的值解析(1)A项，a0，0，b0，c0，由图知f(0)c0，故A错；B项，a0，b0，又abc0，c0，故B错；C项，a0，0，又abc0，c0，而f(0)c0，0，b0，c0，由图知f(0)c0，故选D.答案D(2)解：f(x)(xa)2a2a1，当a1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件得，或或，解得a2或a1.规律方法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调
9、性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解3.(1)(2015山东黄岛月考)两个二次函数f(x)ax2bxc与g(x)bx2axc的图象可能是()(2)设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(a)，求g(a)解析：(1)选D.函数f(x)图象的对称轴为x，函数g(x)图象的对称轴为x，显然与同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧只有D满足(2)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当21时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(a),学生用书P26)方法思想三个“二次
10、”间的转化若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1，1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围解(1)由f(0)1，得c1，f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x.因此，所求解析式为f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在区间1，1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在区间1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10
11、，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)名师点评二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点(2015合肥模拟)已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR)(1)若f(x)0的解集为x|1x1，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分别在区间(3，2)，(0，1)内，求实数b的取值范围解：(1)设x1，x2是方程f(x
12、)0的两个根由根与系数的关系，得即所以b0，c1.(2)由题知，f(1)12bc0，所以c12b.记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b1)xb1，则b，即实数b的取值范围为.1(2015福建三明质检)已知幂函数f(x)x的图象过点(4，2)，若f(m)3，则实数m的值为()A.BC9 D9解析：选D.由函数f(x)x过点(4，2)，可得4222，所以，所以f(x)x，故f(m)3m9.2二次函数yx2bxc的图象的最高点为(1，3)，则b与c的值是()Ab2，c4 Bb2，c4Cb2，c4 Db2，c4解析：选D.根据已知条件得到方程组解得b2，c4.3如果函数f(x)x2bx
13、c对任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么()Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)f(1)解析：选A.f(2t)f(2t)，f(x)关于x2对称，又开口向上f(x)在2，)上单调递增，且f(1)f(3)f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)，故选A.4设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若ac，则函数f(x)的图象不可能是()解析：选D.由四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1x2，由于ac，所以x1x21，比较四个选项，可知选项D的x11，x20)，已知
14、f(m)0 Df(m1)0，f(x)的大致图象如图所示由f(m)0，得1m0，f(m1)f(0)0.6二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_解析：依题意可设f(x)a(x2)21，又其图象过点(0，1)，4a11，a.f(x)(x2)21.答案：f(x)(x2)217已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是_解析：0.71.30.7011.301.30.7，0.71.31.30.7，m0.答案：(0，)8设二次函数f(x)ax22ax1在3，2上有最大值4，则实数a的值为_解析：此函数图象的对称轴为x1.当a0时，图象开口向上，x2时取得
15、最大值，所以f(2)4a4a14，解得a；当af(a1)的实数a的取值范围解：(1)m2mm(m1)(mN*)，而m与m1中必有一个为偶数，m2m为偶数，函数f(x)x(mm) (mN*)的定义域为0，)，并且该函数在0，)上为增函数(2)函数f(x)的图象经过点(2，)，2(mm) ，即22(mm) ，m2m2，解得m1或m2.又mN*，m1，f(x)x.又f(2a)f(a1)，解得1af(a1)的实数a的取值范围为1a.10(2015辽宁五校第二次联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出
16、函数f(x)(xR)的增区间；(2)写出函数f(x)(xR)的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1，2)，求函数g(x)的最小值解：(1)f(x)在区间(1，0)，(1，)上单调递增(2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，f(x)f(x)(x)22(x)x22x(x0)，f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即0a1时，g(a1)a22a1为最小值；当a12，即a1时，g(2)24a为最小值综上可得g(x)min1方程x2ax20在区间1，5上有解，则实数a
17、的取值范围为()A. B(1，)C. D.解析：选C.令f(x)x2ax2，由题意，知f(x)的图象与x轴在1，5上有交点，则解得a1.2已知函数f(x)，则“2a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.当a1时，f(x)，作出图象可知(图略)，函数f(x)在R上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f(x)在R上是单调递增函数，则当a0时满足，当a0时，1，a0且1，解得a0.即a0，所以能够推出2a0，故“2a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件3已知函数f(x)x2mm3(mZ)为偶函
18、数，且f(3)f(5)，则m_解析：f(x)是偶函数，2mm3应为偶数又f(3)f(5)，即32m2m3522mm3，整理得0，解得1m.又mZ，m0或1.当m0时，2m2m33为奇数(舍去)；当m1时，2m2m32为偶数故m的值为1.答案：14定义：如果在函数yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如yx4是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，设x0为均值点，所以
19、mf(x0)，即关于x0的方程xmx01m在(1，1)内有实数根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是0m2，即(0，2)答案：(0，2)5是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1，1时，值域为2，2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由解：f(x)(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1，1上为增函数，a1(舍去)；当1a0时，a1；当0a1时，a不存在；当a1时，f(x)在1，1上为减函数，a不存在综上可得，a1.存在实数a1满足题设条件6(选做题)已知函数f(x)ax2bxc(a0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立又x的最小值为0，x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2，0