1、2015-2016学年云南省昆明市九校联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=0，1，2，3，B=x|x24x+30，则AB=（）A2B1，2C1，2，3D0，1，2，32复数z=的模是（）A2BC1D3若tan（+）=2，则sin2=（）ABCD4已知数列an中，a1=1，且an+1=2an+1，则a4=（）A7B9C15D175执行如图的程序框图，若输入t=1，则输出t的值等于（）A3B5C7D156一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）ABCD17设函数f（x）=，则
2、使得f（x）2成立的x的取值范围是（）A（，1B（，1+ln2C（，8D1，8）8在区间2，2内任取一个实数x，在区间0，4内任取一个实数y，则yx2的概率等于（）ABCD9有下列命题中，正确的是（）A“若，则”的逆命题B命题“xR，”的否定C“面积相等的三角形全等”的否命题D“若AB=B，则AB”的逆否命题10把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则可以为（）ABCD11已知双曲线C： =1（a0，b0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，且，MA1N=135，则双曲
3、线C的离心率为（）AB2CD12f（x）是函数f（x）的导函数，f（x）是函数f（x）的导函数对于三次函数y=f（x），若方程f（x0）=0，则点（）即为函数y=f（x）图象的对称中心设函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+f（）=（）A1008B2014C2015D2016二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13设=（1，2），=（2，4），=+且，则=14在的展开式中，x的系数为15设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值是16球面上四点A，B，C，D满足AB=1，BC=，AC=2，若四棱锥DABC体积的最大值为，则这个球体的表面积为三、解答题：本大题共
4、6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知Sn是等差数列an的前n项和，且a2=2，S5=15（）求通项公式an；（）若数列bn满足bn=2anan，求bn的前n项和Tn18已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosAbsinC=0（）求角A；（）若ABC的面积为，b+c=5，求a19如表中给出了2011年2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）年份20112012201320142015年份代码12345快递业务总量34557185105（）在图中画出所给数据的折线图；（）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；（）利用（
5、）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：斜率：，纵截距：20如图，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MNBC（）证明：平面AMN平面PBA；（）若M为PB的中点，求二面角MACD的余弦值21已知椭圆C： =1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点P（1，）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）过坐标原点O的两条直线EF，MN分别与椭圆C交于E，F，M，N四点，且直线OE，OM的斜率之积为，求证：四边形EMFN的面积为定值22已知函数f（x）=+3lnaxx，g（x）=xex
6、+cosx（a0）（）求函数y=f（x）的单调区间；（）若x11，2，x20，3，使得f（）g（x2）成立，求实数a的取值范围2015-2016学年云南省昆明市九校联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=0，1，2，3，B=x|x24x+30，则AB=（）A2B1，2C1，2，3D0，1，2，3【考点】交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x1）（x3）0，解得：1x3，即B=（1，3），A=0，1，2，
7、3，AB=2，故选：A2复数z=的模是（）A2BC1D【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再根据复数求模公式计算得答案【解答】解：z=，则故选：B3若tan（+）=2，则sin2=（）ABCD【考点】二倍角的正弦【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2的值【解答】解：tan（+）=tan=2，sin2=，故选：D4已知数列an中，a1=1，且an+1=2an+1，则a4=（）A7B9C15D17【考点】数列递推式【分析】a1=1，且an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：a
8、1=1，且an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1），数列an+1是等比数列，首项与公比都为2an+1=2n，即an=2n1，则a4=241=15故选：C5执行如图的程序框图，若输入t=1，则输出t的值等于（）A3B5C7D15【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的t的值，当t的值不满足条件（t+2）（t5）0时退出循环，输出即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得t=1，不满足条件t0，t=0，满足条件（t+2）（t5）0，不满足条件t0，t=1，满足条件（t+2）（t5）0，满足条件t0，t=3，满足条件（t+2）（t5）0，满足条件t0，t=7，不满足条
9、件（t+2）（t5）0，退出循环，输出t的值为7故选：C6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）ABCD1【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面是正方形且与一个侧面垂直【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面是正方形且与一个侧面垂直该几何体的体积=故选：A7设函数f（x）=，则使得f（x）2成立的x的取值范围是（）A（，1B（，1+ln2C（，8D1，8）【考点】分段函数的应用【分析】利用分段函数，结合f（x）2，解不等式，即可求出使得f（x）2成立的x的取值范围【解答】解：x1时，ex12，xln2+1，且x1，则x1；x1时，
10、2，x8，1x8，综上，使得f（x）2成立的x的取值范围是x8故选：C8在区间2，2内任取一个实数x，在区间0，4内任取一个实数y，则yx2的概率等于（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一个矩形区域，做出面积，看出满足条件的事件对应的面积，根据几何概型公式得到结果【解答】解：由题意区间2，2内任取一个实数x，在区间0，4内任取一个实数y，（x，y）满足的区域是一个不错为4的正方形，面积为16，在此范围务内使yx2的如图中阴影部分，面积为2=，由几何概型的个数得到概率为；故选：B9有下列命题中，正确的是（）A“若，则”的逆命
11、题B命题“xR，”的否定C“面积相等的三角形全等”的否命题D“若AB=B，则AB”的逆否命题【考点】四种命题的真假关系【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：对于A，向量模相等，可以是相反向量，故不正确；对于B，命题“xR，”的否定是“xR，x+2”，不正确；对于C，因为三角形全等，面积相等是真命题，结合逆命题与否命题是等价命题，所以“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题，正确；对于D，AB=B，则BA，故D不正确故选：C10把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则可以为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据
12、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x+）+=sin（2x+），根据所的图象关于y轴对称，可得+=k+，即=k+，kZ，则可以为，故选：A11已知双曲线C： =1（a0，b0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，且，MA1N=135，则双曲线C的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据抛物线和双曲线的位置关系，得到抛物线的准线方程为x=a，由，得MA
13、2x轴，由MA1N=135，得三角形MA1A2是等腰直角三角形，从而得到b=2a，进行求解即可【解答】解：抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点抛物线的准线方程为x=a，MA2x轴，设渐近线为y=x，则当x=a时，y=b，即M（a，b），MA1N=135，MA1A2=45，即三角形MA1A2是等腰直角三角形，则 MA2=A1A2，即b=2a，则c=a，则离心率e=，故选：A12f（x）是函数f（x）的导函数，f（x）是函数f（x）的导函数对于三次函数y=f（x），若方程f（x0）=0，则点（）即为函数y=f（x）图象的对称中心设函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+f（）=（）A1008B
14、2014C2015D2016【考点】导数的运算【分析】根据函数f（x）的解析式求出f（x）和f（x），令f（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）的对称中心，得到f（1x）+f（x）=2，即可得出【解答】解：依题意，得：f（x）=x2x+3，f（x）=2x1由f（x）=0，即2x1=0x=，f（）=1，f（x）的对称中心为（，1）f（1x）+f（x）=2，f（）+f（）+f（）+f（）=2016故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13设=（1，2），=（2，4），=+且，则=2【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方
15、程即可求出的值【解答】解： =（1，2），=（2，4），=+=（+2，2+4），又，=（+2）+2（2+4）=0，解得=2故答案为：214在的展开式中，x的系数为40【考点】二项式系数的性质【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=C5r（2）rx52r，令52r=1，求得 r=2，二项式的展开式中x的系数为C52（2）2=40，故答案为：4015设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值是3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可【解答
16、】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点D（，0）时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大即zmax=20=3，故答案为：316球面上四点A，B，C，D满足AB=1，BC=，AC=2，若四棱锥DABC体积的最大值为，则这个球体的表面积为【考点】球的体积和表面积【分析】确定ABAC，SABC=，利用三棱锥DABC的体积的最大值为3，可得D到平面ABC的最大距离为3，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积【解答】解：AB=1，BC=，AC=2，ABBC，SABC=，三棱锥DABC的体积的最大值为
17、，D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则12=3（2R3），R=，球O的表面积为4R2=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知Sn是等差数列an的前n项和，且a2=2，S5=15（）求通项公式an；（）若数列bn满足bn=2anan，求bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）根据题目条件等差数列an中，a2=2，S5=15，可求得其首项与公差，从而可求得数列an的通项公式；（II）求出bn的通项公式，再根据等比数列和等差数列的求和公式即可求得Tn的值【解答】解：（）设数列an的公差为d，则由已知得：，解得，所
18、以an=a1+（n1）d=n，）（）因为所以，Tn=b1+b2+bn=（211）+（222）+（2nn）=（21+22+2n）（1+2+n），18已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosAbsinC=0（）求角A；（）若ABC的面积为，b+c=5，求a【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由2csinBcosAbsinC=0及正弦定理求得2cosA=1，即，从而求得A的值（）由，求得bc=4，再由余弦定理求得a2的值，可得a的值【解答】解：（）在ABC中，由2csinBcosAbsinC=0及正弦定理得：2sinCsinBcosAsinBsinC=0，0B，0C，
19、sinBsinC0，2cosA=1，即又0A，（），又，bc=4，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=（b+c）23bc=2512=13，19如表中给出了2011年2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）年份20112012201320142015年份代码12345快递业务总量34557185105（）在图中画出所给数据的折线图；（）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；（）利用（）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：斜率：，纵截距：【考点】线性回归方程【分析】（）根据表中所给的数据，得到点的坐标，在
20、平面直角坐标系中画出散点图；（）先求出年份代码x和快递量y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；（）先求得2016年对于的年份代码，代入线性回归方程，即可求得该市2016年的快递业务总量【解答】解：（）所给数据的折线图如下：（）可得，=，y与x的回归模型为：（）把2016年的年份代码x=6代入回归模型得（百万件），预计该市2016年的快递业务总量约为121.6百万件20如图，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MNBC（）证明：平面AMN平面PBA；（
21、）若M为PB的中点，求二面角MACD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）推导出MNAD，PAAD，从而AD平面PBA，进而MN平面PBA，由此能证明平面AMN平面PBA（）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出二面角MACD的余弦值【解答】证明：（）MNBC，BCAD，MNAD，PA平面ABCD，PAAD，又ADAB，PAAB=A，AD平面PBA，MN平面PBA，又MN平面AMN，平面AMN平面PBA解：（）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，不妨设AB=1，则
22、：A（0，0，0），C（1，1，0），设平面AMC的法向量，则：，令x=1，则y=1，z=1，平面ADC的一个法向量为，二面角MACD的余弦值为21已知椭圆C： =1（ab0）的右焦点为F2（1，0），点P（1，）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）过坐标原点O的两条直线EF，MN分别与椭圆C交于E，F，M，N四点，且直线OE，OM的斜率之积为，求证：四边形EMFN的面积为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得：，解出即可得出（）当直线EM斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x1，y1），M（x2，y2），与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，利用斜率计
23、算公式、根与系数的关系及其，可得2m2=2k2+1，原点到直线EM的距离为，利用，代入化简即可得出定值，斜率不存在时也成立【解答】解：（）为点在椭圆C上，椭圆C的右焦点为F2（1，0），则，解得，椭圆C的方程为（）当直线EM斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x1，y1），M（x2，y2），联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，=，由得，即2m2=2k2+1，原点到直线EM的距离为，=，当直线EM斜率不存在时，x1=x2，y1=y2，又，解得，22已知函数f（x）=+3lnaxx，g（x）=xex+cosx（a0）（）求函数y=f（x）的单调区间；（）若x11，2，x20
24、，3，使得f（）g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题转化为f（x）在1，2上的最大值大于g（x）在0，3的最小值，分别求出其最大值和最小值得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（）依题知，a0时，x0；a0时，x0，令f（x）0，解得1x2；令f（x）0，解得x1，或x2，故当a0时，f（x）在（1，2）上为增函数，在（0，1）、（2，+）上为减函数；a0时，f（x）在（，0）上为减函数（）x11，2，x20，3，使得f（x1）g（x2）成立，f（x）在1，2上的最大值大于g（x）在0，3的最小值，由（）知，a0，且f（x）max=f（2）=3ln2a1，又g（x）=ex+xexsinx0在0，3恒成立，即g（x）在0，3上单调递增，有g（x）min=g（0）=1，故依题得3ln2a11，解得：2016年8月2日