1、第4讲 平面向量的应用举例 课标要求考情风向标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力平面向量数量积是高考考查的重点，复习时要重视数量积的两种运算方式，熟练掌握数量积的运算及相关变形，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等问题中的应用；重视以数量积为联系纽带与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题，并以此来培养分析解决问题的能力1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.设a(
2、x1，y1)，b(x2，y2)，为实数.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0_.(3)求夹角问题，利用夹角公式：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22(为 a 与 b 的夹角).x1x2y1y202.平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合
3、问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.1.如图441，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2 P1P3B.P1P2 P1P4 C.P1P2 P1P5D.P1P2 P1P62.(2014 年新课标)已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_.图 4-4-1A90_.3.已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AEBD解析：方法一，如图 D23，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所
4、在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，D(0,2)，E(1,2).图 D23答案：2AE(1,2)，BD(2,2).AEBD 1(2)222.方法二，由题意，知AEBD(AD DE)(AD AB)AD 12AB(AD AB)AD2 12AD AB12AB2 4022.4.(2016年新课标)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.2解析：由|ab|2|a|2|b|2，得ab.m1120，解得 m2.考点 1 平面向量在平面几何中的应用例 1：(1)(2017 年天津)在ABC 中，A60，AB3，AC2.若BD 2DC，AEACA
5、B(R)，且AD AE4，则 的值为_.解析：ABAC 32cos 603，AD 13AB 23AC，则AD AE13AB23AC ACAB 3323 41392334，解得 311.答案：311图 4-4-2(2)(2019 年江苏)如图 4-4-2，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交于点 O.若ABAC6AO EC，则ABAC的值是_.解析：如图 D24，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由BE2EA，D 为 BC 中点，知 BFFEEA，AOOD.图 D246AO EC3AD(ACAE)32(ABAC)(ACAE)32(AB
6、AC)AC13AB32ABAC13AB 2AC 213ABAC3223ABAC13AB 2AC 2ABAC12AB 232AC 2ABAC，得12AB 232AC 2，即|AB|3|AC|，故ABAC 3.答案：3(3)(2018 年天津)如图4-4-3，在平面四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点 E 为边CD图 4-4-3上的动点，则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3解析：建立如图 D25 所示的平面直角坐标系.图 D25则 A0，12，B32，0，C0，32，D 32，0.点 E 在 CD 上，则DE DC 01.设 Ex，y，
7、则x 32，y 32，32.即x 32 32，y32.E32 32，32.AE32 32，3212，BE32 3，32.由数量积的坐标运算法则，可得答案：AAEBE32 32 32 3 3212 32，整理，可得AEBE34(4222)(01).结合二次函数的性质可知，当 14时，AEBE取得最小值2116.故选 A.(4)在 RtABC 中，C 为直角，且 ACBC2，点 P 是斜边上的一个三等分点，则CPCBCPCA()A.0 B.4C.94D.94解析：方法一，不妨设 P 是靠近 A 的一个三等分点，则CPCA13ABCA13(CBCA)23CA13CB，CPCBCPCA23CA13CB
8、(CACB)23|CA|213|CB|24，故选 B.图 D26答案：B方法二，如图 D26 建立平面直角坐标系，则 A(2,0)，B(0,2)，P43，23(不妨设 P 是靠近 A 的三等分点)，则CPCBCPCACP(CBCA)43，23(2,2)4.故选 B.(5)(2019 年天津)在四边形 ABCD 中，ADBC，AB2 3，AD5，A30，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AEBE，则BD AE_.解析：由题意，画出示例图形如图 D27.图 D27设BAE，AEBEa，ADBC，30.答案：1根据余弦定理，可得，cos 30a22 32a22a2 3，解得 a2.AEBEa2.
9、BD AE(BAAD)AEBAAEAD AE|BA|AE|cos()|AD|AE|cos(30)2 32cos 15052cos 60651.【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系.建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题.考点 2 平面向量在解析几何中的应用例 2：(1)(2017 年北京)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO
10、AP的最大值为_.答案：6解析：设 P(x0，y0)，AO AP(2，0)(x02，y0)2x04.由 x20y201，得1x01.2x046，即AO AP的最大值为 6.(2)(2017 年新课标)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP ABAD，则 的最大值为()A.3 B.2 2C.5D.2解析：如图 D28，建立平面直角坐标系，则 A(0,1)，B(0，0)，C(2,0)，D(2,1).设 P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径图 D28r 25，即圆的方程为(x2)2y245.AP(x，y1)，AB(0，1)，AD(2,0)
11、.若满足AP ABAD，答案：A则x2，y1，即x2，1y.x21y.令 zx2y1，即x2y1z0，点 P(x，y)在圆(x2)2y245上，圆心(2,0)到直线的距离 dr，即2z114 25，解得 1z3.故选 A.图 4-4-4(3)(2016 年上海)如图 4-4-4，已知点 O(0,0)，A(1,0)，B(0，1)，P 是曲线 y 1x2上一个动点，则OP BA的取值范围是_.解析：由题意，设 P(cos，sin)，则OP(cos，sin).又BA(1,1)，OP BAcos sin 2sin4 1，2.答案：1，2(4)在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x3
12、y4 相切.求圆 O 的方程；圆 O 与 x 轴相交于 A，B 两点，圆 O 内的动点 P 使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PAPB的取值范围.解：依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x 3y40 的距离，即 r4132，得圆 O 的方程为 x2y24.不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，x1x2.由 x2y24，即得 A(2,0)，B(2,0).设 P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得x22y2 x22y2x2y2，即 x2y22.PAPB(2x，y)(2x，y)x24y22(y21).由于点 P 在圆 O 内，故x2y24，x2y22.由
13、此得 y21.PAPB的取值范围是2,0).【规律方法】(3)题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.难点突破利用数形结合的思想求最值例题：(1)(2018 年浙江)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为3，向量 b 满足 b24eb30，则|ab|的最小值是()A.31 B.31C.2 D.2 3答案：A解析：设 a(x，y)，b(m，n)，e(1,0)，则由a，e3，得 ae|a|e
14、|cos 3，x12 x2y2，y 3x.由 b24eb30，得 m2n24m30，(m2)2n21.因此|ab|的最小值为圆心(2,0)到直线 y 3x 的距离2 32 3减去半径 1，为 31.故选 A.(2)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1 B.2 C.2D.22解析：方法一，直接设出向量的直角坐标，把问题转化为坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决.设 a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则(ac)(bc)0，即(1x，y)(x,1y)0，即 x2y2xy0，即 x12 2y12 212.这是一个
15、圆心坐标为12，12，半径为 22 的圆.所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，最大距离是 2，即所求的最大值为 2.故选 C.方法二，|a|b|1，ab0，展开(ac)(bc)0 后，得|c|2c(ab).由于 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故|ab|2.设ab，c，则|c|2c(ab)|c|ab|cos.当|c|0 时，|c|ab|cos 2cos 2，故|c|的最大值是 2.故选 C.图 4-4-5方法三，如图 4-4-5，OA a，OB b，OC c，且|OA|OB|1.ab，|AB|2.由(ac)(bc)0，知(ac)(bc)，即 CACB.O，A，C
16、，B 四点共圆.当 OC 为直径时|c|最大，为 2.故选 C.答案：C【跟踪训练】已知三个向量 a，b，c 共面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围为_.解析：方法一，|a|b|1，且 ab0，|ab|a|2|b|22ab 2，又|c|1，|ab|c|abc|ab|c|，21|abc|21.方法二，ab0，ab，不妨取 a(1,0)，b(0,1)，c(cos，sin).则|abc|(1cos，1sin)|1cos 21sin 2 32sin cos 32 2sin4.1sin4 1，32 2|abc|32 2，即 21|abc|21.答案：21，211.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2.向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.3.要注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价；注意向量共线和两直线平行的关系；要注意两向量 a，b 夹角为锐角和 ab0 不等价；要特别注意在ABC 中，|ABAC|AB|AC|，应该是|ABAC|AB|AC|cos A|.
