1、崇文区高三20042005学年度第二学期数学（理科）统一练习（二）2005.5 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率第I卷（选择题，共40分）一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 已知全集，集合，若，则集合B等于（ ） A. 2，4，5B. 2，3，5 C. 3，4，5D. 2，3，4 2. 已知是偶函数，则函数的图像的对
2、称轴是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. 3C. D. 2 4. 在首项为81，公差为的等差数列中，取得最小值时n的值为（ ） A. 11B. 12C. 13D. 14 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则向量的模的取值范围是（ ） A. 1，3B. 1， C. ，3D. 7. 若直线和圆切于点，则ab的值为（ ） A. 2B. C. D. 3 8. 已知，则等于（ ） A. 0B. C. D. 2第II卷（非选择题，共110分）二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。） 9. 在正三
3、棱柱中，则异面直线与所成的角的大小是_。 10. 若x，y满足设，则k的取值范围是_。 11. 已知A，B，C是ABC的三个内角，sinA，cosA是方程的两个实根。则_，_。 12. 已知某离散型随机变量的数学期望，的分布列如下：0123Pab 则_。 13. 已知定义在R上的函数满足且对任意的，都有，且，则_，若令且，则的取值范围是_。 14. 若对n个向量，存在n个不全为0的实数，使得，则称向量，为线性相关，设，则使，线性相关的实数，依次可以取_（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）。三. 解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. （本小题满分
4、13分） 设，解关于x的不等式。 16. （本小题满分14分） 设离散型随机变量所有可能值为1，2，3，4，且（1，2，3，4）。 （1）求常数a的值； （2）求随机变量的分布列； （3）求。 17. （本小题满分14分） 矩形ABCD中，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移动到点P，使点P在平面BCD上的射影在DC上（如下图F）。 （I）求证：PDPC； （II）求二面角PDBC的大小； （III）求直线CD与平面PBD所成角的大小。 18. （本小题满分12分） 已知函数。 （1）求该函数的极大值和最小值； （2）求该函数的单调区间。 19. （本小题满分14分） 如图所示，已知A
5、（-1，0），B（1，0），直线垂直AB于A点，P为上一动点，点N为线段BP上一点，且满足，点M满足，。 （I）求动点M的轨迹方程C； （II）在上述曲线内是否存在一点Q，若过点Q的直线与曲线C交于两点E、F，使得以EF为直径的圆都与相切。若存在，求出点Q的坐标。若不存在，请说明理由。 20. （本小题满分13分） 已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，。 （I）求函数； （II）求数列的通项公式； （III）设，求数列的最值及相应的n。【试题答案】一. 选择题。 1. A2. A3. B4. C5. D6. D7. A8. B二. 填空题。 9. 10
6、. 11. 12. 13. 14. 三. 解答题。 15. 解： 由得：或 6分 讨论： （1）当时，得8分 （2）当时，10分 （3）当时，或12分 综上所述，所求的解为当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为13分 16. 解：（1）由随机变量的分布列的性质得： 所以 因此4分 （2）由（1）知： 故的分布列为：1234P10分 （3）14分 17. （I）证明：四边形ABCD为矩形 BCCD，DAAB A点移动到了P点 PDPB 又P点在平面BCD上的射影在CD上 过P点作PFCD PF面BCD BC面PCD BCPD PD面PBC PDPC4分 （II）解：PF面BCD 过点F作FEB
7、D，连结PE PEF为二面角PBDC的平面角6分 PDPC，CPD为Rt 8分 又在中， PE3 9分 （III）解：过F点作FGPE 由（2）可知FG面PBD，连结GD GDF为直线CD与平面PDB所成的角11分 在中， DF2 在中， 14分 18. 解：（1） 4分 又 或6分x0yy 当时，原函数有极大值为，经比较，当时，原函数有最小值为10分 （2）由上表可知，原函数的单调增区间为，单调减区间为12分 19. 解：由知点N为BP中点 由知且点M与B位于同侧 由此知MN为线段BP的垂直平分线，所以应有 由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线，点B为焦点，直线为准线8分 （I）因为，所以 抛物线方程为，即为点M的轨迹方程10分 （II）存在点Q，即为焦点B（1，0）11分 先证明如下：设EF为抛物线的焦点弦，设其中点为H，分别由E、H、F向作垂线，垂足分别为R、S、T。 由梯形的中位线知： 13分 即以EF为直径的圆的圆心到直线的距离等于半径。 所以以EF为直径的圆必与直线相切。 所以，存在点Q，其坐标为（1，0）。14分 20. 解：（I）设，则 两图象交点为（1，0），3分 5分 （II） 6分 数列是首项为1，公比为的等比数列8分 9分 （III） 令10分 则 的值分别为12分 经比较距最近，当时，有最小值是，当时，有最大值是0。13分