1、体验 探究 合作 展示长春市第十一高中2018-2019学年度高二上学期期末考试数学 试 题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.用反证法证明“三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设正确的是（ ）A.有两个数是正数 B.这三个数都是负数 C.至少有两个数是负数 D.至少有两个数是正数3若向量，是空间的一个基底，向量，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（ ）A B C D 4.下列说法错误的是（
2、）A命题：“”，则：“”B命题“若,则”的否命题是真命题C若为假命题，则为假命题D. 若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件5.下列推理不属于合情推理的是（ ）A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电C.两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则D.在数列中，猜想的通项公式6如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若， ，则下列向量中与相等的向量是()AB. C. D7.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）A. B. C. D.8已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A在上为减函数 B在处取极小值 C在处
3、取极大值 D在上为减函数9.执行右图所示的程序框图,如果输入的,则输出的等于（ ）A.3 B. C. D. 10.用数学归纳法证明：“”从“到”左端需增乘的代数式为（ ）A. B C D11已知点，抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则=（ ）A B C D12. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.第II 卷（共90分）二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.定积分 .14.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 . 15.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 . 16如
4、图所示，在三棱锥中，且，分别是的中点则异面直线与所成角的余弦值为 .三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分）已知，其中.（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围18.(本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的距离为（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线与抛物线的另一交点为，求的值.19(本小题满分12分）若函数，当时，函数有极值.（1）求函数的解析式及在点处的切线方程；（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，且交
5、于点，是上任意一点（1）求证：；（2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值21（本小题满分12分）已知椭圆：上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.22.（本小题满分12分）已知为函数的导函数，且.（1）判断函数的单调性；（2）若，讨论函数零点的个数.长春市十一高中2018-2019学年度高二上学期期末考试数学（理）参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）123456789101112BDCCCDADCBCC二、填空题（每小题5分，共20分）13 14 15 16三、解答题1
6、7.解：（1）由，解得，所以；又 ，因为，解得，所以.当时，又为真，都为真，所以. （5分）（2）由是的充分不必要条件，即，其逆否命题为，由（1），所以，即： （10分）18.解：（1）由题意，消去得，因为，解得，所以，所以抛物线标准方程为. (5分） （2）因为，,所以,直线的方程为，联立方程得方程组，消去得，解得或，将代入，解得，由焦半径公式,又所以. （12分）19.解：（1）,由题意得，解得故所求函数的解析式为. （3分）， ，在点处的切线方程为： ，即. （6分）（2）由(1)可得，令，得或.当变化时， ， 的变化情况如下表：因此，当时， 有极大值，当时， 有极小值，所以函数的图象大
7、致如图所示若有个不同的根，则直线与函数的图象有个交点，所以. （12分）20.解：（1）因为DP平面ABCD，所以DPAC，因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，又BDPD=D，AC平面PBD，因为DE平面PBD，ACDE （4分）（2）连接OE，在PBD中，EOPD，所以EO平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （5分）设PD=t，则A（1，0，0），B（0，0），C（1，0，0），E（0，0，），P（0，t）设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则 ，令，得，平面PBD的法向量（1，0，0），因为二面角APBD的余弦值为，所以
8、 ，所以或（舍）， （9分）则 ，EC与平面PAB所成角的正弦值为（12分）21.解：（1）由已知，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（4分）（2）由已知,设，联立方程组，消得，由韦达定理得 因为，所以，所以，将代入，消去得，所以. （9分）因为，所以，即，解得，所以，或. （12分）22.解：（1）对，求导可得，所以，于是，所以，所以，于是在上单调递增，注意到， （3分）故时， 单调递减， 时， 单调递增. （4分）（2）由（1）可知，由，得或，若，则，即，设 所以在上单调递增，在上单调递减，分析知时， 时， ,时，（8分）现考虑特殊情况：若直线与相切，设切点为，则 ，整理得，设，显然在单调递增，而，故，此时.结合图形不难得到如下的结论：当时， 有一个零点；当或时， 有两个零点，当时， 有三个零点. （12分）注：可用分离参数方法