1、1.3正弦定理、余弦定理的应用1巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程(重点)2能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(难点)3方向角与方位角的区分及应用(易混点)基础初探教材整理方位角阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)方位角和方向角是同一个概念()(2)从A处望B处的仰角为 ，从B处望A处的俯角为，则.()(3)从C地看A，B二人的方位角分别为30，45，则ACB为75.()(4)甲看乙南偏东30，则乙看甲北偏西30.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组
2、合作型正、余弦定理在物理学中的应用如图131，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力试求杆OA，OB所受的力图131【精彩点拨】先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解【自主解答】如图，作F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作OCED，则F1，F2.由题设条件可知，|10，OCE50，OEC70，所以COE180507060.在OCE中，由正弦定理，得，因此，|F1|11.3，|F2|12.3.答灯杆OA所受的拉力为11.3 N，灯杆OB所受的压力为12.3 N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平
3、行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.再练一题1作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡已知F130 N，F250 N，F1与F2之间的夹角是60，求F3的大小与方向(精确到0.1)【解】F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反如图，在OF1F中，由余弦定理，得F70(N)，再由正弦定理，得sinF1OF，所以F1OF38.2，从而F1OF3141.8.答F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8.正、余弦定理在几何中的应用如图132，某公园内有一块边长为2的等边ABC的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分
4、成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上设ADx(x0)，DEy，求用x表示y的函数关系式图132【精彩点拨】由SADESABC得出AE，再在ADE中由余弦定理求DE.【自主解答】ABBCAC2，SABC22sin 60，SADESABC.又SADEADAEsin 60xAE，由xAE，得AE.在ADE中，由余弦定理得y2x22xcos 60x22，y.又由AE2可知1，1x2.y关于x的函数为：y(1x2)1求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中2函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE(0,2)”再练一
5、题2.如图133所示，在平面四边形ABCD中，ABAD1，BAD，BCD是正三角形图133(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；(2)求S的最大值及此时角的值【解】(1)ABD的面积S111sin sin ，由于BCD是正三角形，则BCD的面积S2BD2.在ABD中，由余弦定理可知BD21212211cos 22cos ，于是四边形ABCD的面积Ssin (22cos )，Ssin，0.(2)由Ssin及0，得，当，即时，S取得最大值1.探究共研型正、余弦定理在测量学中的应用探究1如图134，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？图134【提示】在河岸这边选取点C，D
6、，测得CDa，ACD，BCD，BDC，ADC，则在ACB和ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在ACB中应用余弦定理求AB.探究2如图135，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)图135【提示】测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角，前进a米后，再测出此时山顶的仰角，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用ABhH求解如图136，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m. 【导学号：92862019】图136【精彩
7、点拨】先利用正弦定理求出BC，再在RtBCD中求CD.【自主解答】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)【答案】1001解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用2测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是，选择合适
8、的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解再练一题3为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图137中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤图137【解】需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N的俯角2，2；A，B的距离d(如图所示)第一步：计算AM.在ABM中，由正弦定理，得AM.第二步：计算AN.在ABN中，由正弦定理，得AN.第三步：计算MN.在AMN中，由余弦
9、定理，得MN.1已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的 (填序号)(1)北偏东10；(2)北偏西10；(3)南偏东10；(4)南偏西10.【解析】如图，因为ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故答案为(2)【答案】(2)2如图138，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为 . 【导学号：92862020】图138【解析】由正弦定理，得，PB，hPBsin 45sin 45(3030)m.【
10、答案】(3030)m3一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为 【解析】v实2(km/h)所以实际航程为26(km)【答案】6 km4某市在“旧城改造”工程中，计划在如图139所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要 元图139【解析】S2030sin 1502030150(m2)，购买这种草皮需要150a元【答案】150a5如图1310，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40 m的C，D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA60，那么此时A，B两点间的距离是多少？图1310【解】在ACD中，应用正弦定理得AC20(1)(m)，在BCD中，应用正弦定理得BC40(m)在ABC中，由余弦定理得AB20(m)