1、河北省唐山一中2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）卷（选择题 共60分）一选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1. 已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 无穷多个【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】因为，所以阴影部分所表示集合为,元素共有4个，故选B【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 已知数列满足，(，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.
2、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.【详解】当时，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.3. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量平行可构造方程求得，由同角三角函数关系求得；根据诱导公式可求得结果.【详解】 ，解得： 故选：【点睛】本题考查向量平行关系的应用、同角三角函数关系与诱导公式求解三角函数
3、值的问题；关键是能够根据向量平行关系求得.4. 函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据分段函数转化为两个不等式组，解得结果.【详解】因为，所以或因此或，或，即故选:A【点睛】本题考查分段函数性质以及解指对数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.5. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)，其中p0为t0时的污染物数量又测得当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则p(60)()A. 150毫克/升B. 300毫克/升C. 150ln 2毫克/升D.
4、 300ln 2毫克/升【答案】C【解析】【分析】由当时，污染物数量的变化率是，求出，再利用关系式，可求 的值【详解】选C因为当t0,30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以p0600ln 2，因为p(t)，所以p(60)600ln 222150ln 2(毫克/升)【点睛】本题考查指数函数的运用，考查学生的计算能力，属于基础题6. 已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】借助第三量比较大小关系.【详解】因为所以故选D【点睛】本题考查比较大小以及二次函数值域，考查基本分析判断能力，属中档题.7. 已知x0，y0,x+2y+2xy=8，
5、则x+2y的最小值是A. 3B. 4C. D. 【答案】B【解析】【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，8. 函数的图象大致是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案【详解】函数函数为奇函数，即图象关于原点对称当向右趋向于1时，趋向于，故排除D；当向左趋向于1时，趋向于，故排除B、C.故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶
6、性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除9. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值10. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B2C,2bcosC2ccosBa，则角A的大小为()
7、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由正弦定理得，为锐角,所以，故选A.11. 实数，成等差，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据条件确定动直线过定点，再确定点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.【详解】因为，成等差，所以，因此过定点,因为点在动直线上的射影为，所以点轨迹为以为直径的圆，即，从而,（为坐标原点）故选B【点睛】本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.12. 已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.
8、D. 【答案】D【解析】【分析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.【详解】因为函数是偶函数，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，所以方程可以化为：，即，记，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推
9、理的考查.属中档题.卷（非选择题 共90分）二填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13. 已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，若点在第四象限，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】因为，又点在第四象限，所以，故答案为【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由题意，得，故存在切点，使得，所以有解由于，所以（当且仅当取等号），即考点：1、导数的几何意义；2、基本不等式【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存在变量使得方
10、程有解,再进一步转化为求函数的值域问题求值域时又利用题设中的，巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解15. 执行如图所示的程序框图，若输出，则输入的取值范围为_【答案】【解析】执行程序一次，执行第二次后，执行第三次后，执行第四次后，此时应该跳出循环，所以，故填 16. 已知三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的大圆面积为_【答案】【解析】【分析】球的切接问题是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能
11、放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.【详解】解：如下图所示，设的中点为，连结，因为，所以，又平面平面，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所为的外心，所以球心一定在直线上，所以球心在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面积.【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题.考点：1.球的切接问题；2.球的性质.三解答题（共6小题，计70分）17. 在中，.(1)求的值；(2)设的面积，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求解，（2）先根据正弦定理以及三角形面积公式求，
12、再利用三角形面积公式求高.【详解】解：(1)，为钝角，为钝角为锐角，.(2)，设，边上的高为则，.边上的高为.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18. 在数列中，且对任意的N*，都有.（）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）可变形为，故是等比数列.利用累加法可以求出的通项.（）由（）知，用裂项相消法可求，求出的最小值后可得的取值范围.【详解】（）由可得 又，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. 所以. （）因为
13、. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立，即,即当时，.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19. 如图，在三棱柱中，为中点，点在平面内的射影在线段上. (1)求证：；(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.【答案】（1）见证明；(2) 【解析】分析】（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可（2）法一：计算，结合
14、和，即可法二 :计算，结合，计算体积，即可法三：结合，计算结果，即可【详解】(1)证明：设点在平面内的射影为，则，且，因，所以.在中，则，在中，则，故，故.因，故.(2)法一、，由(1)得，故是三棱锥的高，是正三角形，故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为. 法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，故，故，由(1)得，故是四棱柱的高，故， 故，故三棱柱的体积为.法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分记到平面的距离为，由得，即，为的中点，故到平面的距离为， .故三棱柱的体积为.【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大20. 已知为函数的一个极值点.（1）
15、求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】（1）， 为函数的一个极值点， ，故，令，解得或 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；（2）方程，整理得因为，所以有令，则令，故在上是增函数 ， 当时，即，单调递减；当时，即，单调递增； 当或时， 方程有且只有一个实数根时，实数点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在
16、同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解21. 已知中，内角，的对边分别为，.(1)若且，求角的大小；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据正弦定理化简得，再代入条件化简得，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得面积为，再根据锐角三角形确定B角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围.【详解】(1)由于，由正弦定可得，即，故，又，所以，即由于，所以，由于是三角形的内角，故.(2)由，所以，所以面积为由于为锐角三角形，所以，即，解得，所以，所以.即面积的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，
17、考查基本分析求解能力，属中档题.22. 已知（1）当a0时，求f（x）的极值；（2）当a0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a（2, 3），x1, x21, 3，恒有（mln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）当时，在和上是增函数，在上是减函数；当时，在上是增函数；当时，在和上是增函数，在上是减函数 （3）.【解析】【详解】（1）当时，由,解得，可知在上是增函数，在上是减函数.的极大值为，无极小值. 当时，在和上增函数，在上是减函数； 当时，在上是增函数； 当时，在和上是增函数，在上是减函数 （3）当时，由（2）可知在上是增函数，. 由对任意的a（2, 3），x1, x21, 3恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 由于当时，.