1、第2讲 一元二次不等式及其解法 课标要求考情风向标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图1.不等式解法是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，“三个二次”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点.2.由于本节内容涉及的计算较多，因此学习时应注意运算能力的训练判别式b24ac000)与相应的二次函数(a0)及一元二次方程的关系判别式b24ac000 的解集x|xx2Rax2 bxc0 的解集x|x1xx2 _(续表)x1,2
2、 b2axx b2ab b24ac2a 1.设集合 Ax|x24x30，则 AB()A.3，32B.3，32C.1，32D.32，3D2.已知不等式 ax2bx20 的解集为x|1x2，则不等式 2x2bxa0 的解集为()A.x|1x12B.x|x12C.x|2x1D.x|x1解析：由题意知 x1，x2 是方程 ax2bx20 的根.由韦达定理12ba，122a，得a1，b1.不等式 2x2bxa0，即 2x2x10，则RA(B)A.x|1x2B.x|1x2C.x|x2D.x|x1x|x24.(2019 年天津)设 xR，使不等式 3x2x20 成立的 x的取值范围为_.解析：若 3x2x2
3、0，则(3x2)(x1)0，即1x23，x 的取值范围为1，23.1，23考点 1 解一元二次、分式不等式A.x|2x1C.x|0 x1B.x|1x0D.x|x1例 1：(1)不等式组xx20，|x|1的解集为()解析：由 x(x2)0 得 x0 或 x2；由|x|1 得1x1，不等式组的解集为x|0 x1.故选 C.答案：C(2)(2015 年上海)下列不等式中，与不等式x8x22x32 的解集相同的是()A.(x8)(x22x3)2 B.x82(x22x3)C.1x22x3 2x8D.x22x3x812答案：B解析：x22x3(x1)2220，x8 可能是正数、负数或零，由 x82(x22
4、x3)，可得x8x22x32.与不等式x8x22x32 解集相同的是 x82(x22x3).故选 B.(3)(2019 年上海)不等式|x1|5 的解集为_.解析：由|x1|5 得5x15，即6x4.答案：(6,4)(4)不等式 x432x0 的解集是()A.x|x4 B.x|3x4C.xx4 D.x32x4答案：C解析：不等式 x432x0，不等式的解集是xx4.(5)不等式2x134x1 的解集是_.答案：x23x34解析：化2x134x1 为6x434x0，即3x24x30，(3x2)(4x3)0，且 x34，即x23 x34 0且x34.原不等式的解集为x23x34.【规律方法】解一元
5、二次不等式的一般步骤：化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；判：计算对应方程的判别式；求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明 方程有没有实根；写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.例 2：(1)解关于 x 的不等式 x2(a1)xa0；(2)解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10；(3)解关于 x 的不等式 x22ax20(aR)；(4)解关于 x 的不等式：ax222xax(aR).解：(1)原不等式可化为(xa)(x1)1 时，原不等式的解集为(1，a)；当 a1 时，原不等式的解集为；当 a1 时，原不等式的解集为(a,1).考点 2 含参数不等式的解
6、法(2)原不等式变为(ax1)(x1)0，当 a0 时，x11；当 a0 时，ax1a(x1)1 时，解得1ax1；)当 a1 时，解集为；)当 0a1 时，解得 1x1a.当 a0 时，ax1a(x1)0，解得x1.综上所述，当 a0 时，不等式的解集为xx1；当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，不等式的解集为x1x1 时，不等式的解集为x1ax1.(3)对于方程 x22ax20，4a28，当 0，即 2a 2时，x22ax20 无实根.又二次函数 yx22ax2 的图象开口向上，原不等式的解集为；当 0，即 a 2时，x22ax20 有两个相等的实根，当 a 2时，原不等
7、式的解集为x|x 2，当 a 2时，原不等式的解集为x|x 2；当 0，即 a 2或 a 2时，x22ax20 有两个不相等的实根，分别为 x1aa22，x2a a22，且 x1x2，原不等式的解集为x|a a22xa a22.综上，当 a 2或 a 2时，解集为x|a a22xa a22；当 a 2时，解集为x|x 2；当 a 2时，解集为x|x 2；当 2a 2时，解集为.(4)原不等式可化为 ax2(a2)x20.当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a，或 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0.当2a1，即 a
8、2 时，解得1x2a；当2a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意；当2a1，即2a0，0，x2，x1x2，x10，12a0 144a12a 0，18a12a0，a0，12a0.解得 a14.c12a14.存在一组常数 a14，b12，c14，使不等式 xf(x)x212对一切实数 x 都成立.【规律方法】赋值法(特殊值法)可以使“探索性”问题变得比较明朗，是解决这类问题比较常用的方法.【跟踪训练】1.对于函数 f(x)，若 f(x0)x0，则称(x0，x0)是函数 f(x)的不动点.(1)已知函数 f(x)ax2bxb 有两个不动点(1,1)和(3，3)，求 a，b 的值；(2)若对于任意实
9、数 b，函数 f(x)ax2bxb 总有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围.a1，b3.(2)f(x)ax2bxb 有两个相异的不动点，ax2bxbx 有两个相异的解.ax2(b1)xb0 有两个相异的解.(b1)24ab0 对任意的实数 b 都成立.b2(4a2)b10 对任意的实数 b 都成立.(4a2)240.0a1.解：(1)f11，f33，abb1，9a3bb3.思想与方法利用转化与化归思想求解一元二次不等式恒成立问题例题：已知 f(x)mx2mx1.(1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值
10、范围；(3)若对于|m|1，f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围.解：(1)要使 mx2mx10 恒成立，若 m0，显然10；若 m0，则m0，m24m0 4m0.实数 m 的取值范围为(4,0.(2)要使 f(x)m5 在 x1,3上恒成立，即 mx12234m60 时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60.m67.0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，即 m6.m0.综上所述，实数 m 的取值范围是mm0，又m(x2x1)60，m6x2x1.函数 y6x2x16x12234在1,3上的最小值
11、为67，只需 m67即可.实数 m 的取值范围是mm67.(3)将不等式 f(x)0 整理成关于 m 的不等式为(x2x)m10.令 g(m)(x2x)m1，m1,1.则g10，g10，即x2x10，x2x10.解得1 52x0(或0)对于一切 xR 恒成立的条件是a0，b24ac0或0；一元二次不等式 ax2bxc0(或0)对于一切 xR 恒成立的条件是a0，b24ac0或0.(2)在给定某区间上恒成立.当 xm，n，f(x)ax2bxc0 恒成立，结合图象，只需 f(x)min0 即可；当 xm，n，f(x)ax2bxc0 恒成立，只需 f(x)max0即可.(3)解决恒成立问题一定要搞清
12、谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的取值范围，谁就是自变量，求谁的取值范围，谁就是参数.如第(1)(2)小问中 x 为变量(关于 x 的二次函数)，m 为参数.第(3)小问中 m 为变量(关于 m 的一次函数)，x 为参数.(4)“不等式 f(x)0 有解(或解集不空)的参数 m 的取值集合”是“f(x)0 的解集为”即“f(x)0 恒成立.”注意：ax2bxc0 恒成立ab0，c0或a0，b24ac0；ax2bxc0 恒成立ab0，c0或a0，b24ac0 时，x22ax102ax(x21)2ax1x，又x1x 2，当且仅当 x1 时取等号，2a2a1，实数 a 的取值范围为1，).方法二
13、，设 f(x)x2 2ax1，函数图象的对称轴为直线xa.当a0，即 a0 时，f(0)10，当 x0，)时，f(x)0 恒成立；当a0，即 a0 时，要使 f(x)0 在0，)上恒成立，需 f(a)a2 2a2 1 a2 10，得1a2 时，(x2)(1)x24x40，得 x3；当 x0，得 x1.综上，x3.故选 B.解决一元二次不等式有关问题的常见数学思想方法.(1)数形结合思想：“三个二次”的完美结合是数形结合思想的具体体现.(2)分类讨论思想：当二次项系数含参数 a 时，要对二次项系数分 a0、a0 和 a0 三种情况讨论；对方程根的情况进行分类讨论(0，0，0)；如果根里含有参数，要注意对两个根的大小进行讨论.(3)转化与化归思想：解分式、指数、对数、绝对值等类型的不等式时，一般要把它们转化成一元二次(一次)不等式(组)的形式进行解决.转化的方法通常是代数化、有理化、整式化、低次化.