1、江苏省如皋中学2020-2021学年高二数学上学期第一次阶段检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1命题“”的否定为 ( )A BC D2已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程为 ( )A. B. C. D. 3如图，在平行六面体中，为的中点，设，则 ( )A BCD4双曲线的渐近线方程为，且过点，则其焦距为 ( ) A.7 B. C.1 D. 5已知命题“，使得”为假命题，则命题是命题的 条件. ( )A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要6设双曲线C：的左、右焦点分别
2、为，离心率为P是C上一点，且若的面积为4，则 ( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 87 如图，已知矩形与矩形全等，二面角为 直二面角，为中点，与所成角为，且，则 ( )A1 B. C D8如图，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为 ( ) ABCD二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，已知，则的值可能为 A BC D ( )10已知点是椭圆上的动点，是圆上的动点，点则 ( )
3、A椭圆的离心率为 B椭圆中以为中点的弦所在直线方程为 C圆在椭圆的内部 D的最小值为 11下列说法正确的是 ( ) A“”是 “”的必要不充分条件B“”是“的充要条件C过点且与抛物线有且只有一个交点的直线有3条D若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线12设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则下列说法正确的是 A. B. 双曲线的离心率为 ( )C. 双曲线的渐近线方程为D. 点在直线上三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13抛物线的准线方程为 . 14在直三棱柱中，则异面直线与 所成角的余弦值为_15已知顶点在坐标
4、原点，对称轴为轴的抛物线过点，则该抛物线的标注方程为 ；设F为该抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则= .（本题第一空2分，第二空3分）16.已知椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于点两点，（均异于点），若直线的斜率分别为，则的最小值为 .四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点， (1)求双曲线的方程； (2)若点为轴上一定点，为双曲线右支上一点，求线段长的最小值.18已知命题表示双曲线，(1) 若命题为真命题时的取值集合为，集合，如果“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围(2
5、) 已知命题，不等式，若命题一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.19如图，正方体中，是棱的中点(1)直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值 20已知抛物线的准线方程为，直线过点与抛物线交于两点点关于轴的对称点为，连结.(1)求抛物线的标准方程；(2)问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由21如图，四棱锥PABCD中，ADBC,ABC90, PA平面ABCD，PA3,AB2,BC6(1)求异面直线PB与AC所成角的余弦值；(2)若二面角PBDC的大小为，求AD的长22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且两焦点F1，F2与
6、椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D求ABCD的值；设AB的中点M，CD的中点为N，求OMN面积的最大值 20202021学年度高二数学阶段考试试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1命题“”的否定为 ( )BA. B. C. D. 2.已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程为 ( )AA. B. C. D. 3如图，在平行六面体中，为的中点，设，则 ( )DA BCD 4. 双曲线
7、的渐近线方程为，且过点，则其焦距为 ( ) AA.7 B. C.1 D. 5已知命题“，使得”为假命题，则命题是命题的 条件. ( )BA. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要6设双曲线C：的左、右焦点分别为，离心率为P是C上一点，且若的面积为4，则 ( )AA. 1 B. 2 C. 4 D. 87 如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则 ( )CA1 B. C D8如图，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为 ( ) ABCD【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，设，由对称性可知：，由椭圆的定义可知：， 由，
8、则，则中，由，则，整理得：，在中，将代入解得椭圆的离心率故选：二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，则的值可能为 ( ) A BC D C D10.已知点是椭圆上的动点，是圆上的动点，点则( )ABCA椭圆的离心率为 B椭圆中以为中点的弦所在直线方程为 C圆在椭圆的内部 D的最小值为 11下列说法正确的是 ( )AC A“”是 “”的必要不充分条件B“”是“的充要条件C过点且与抛物线有且只有一个交点的直线有3条D
9、若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点的轨迹是一条抛物线 12设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则下列说法正确的是 ( )A. B. 双曲线的离心率为 ABDC. 双曲线的渐近线方程为D. 点在直线上三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13抛物线的准线方程为 . 14在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为_15已知顶点在坐标原点，对称轴为轴的抛物线过点，则该抛物线的标注方程为 ；设F为该抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则= .；12（本题第一空2分，第二空3分）16.已知椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于点两
10、点，（均异于点），若直线的斜率分别为，则的最小值为 .4四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点， (1)求双曲线的方程； (2)若点为轴上一定点，为双曲线右支上一点，求线段长的最小值.解：(1)因为，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线方程为因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为.-4分(2)设，令= 当即时，当时， ，当即时，当时， ，-10分18已知命题表示双曲线，(1) 若命题为真命题时的取值集合为，集合，如果“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围(2) 命题
11、，不等式，若命题一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围.解：(1)若为真：，所以，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，所以，即，所以实数的取值范围是-6分(2)由(1)知若为真，若为真：即，因为若命题一个为真命题，一个为假命题，所以的取值范围是-12分19如图，正方体中，是棱的中点(1)直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值 解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2。 直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，由，所以直线与平面所成角的正弦值是.-6分平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，由，所以二面角的余弦值是 -12分 20已知抛物线的
12、准线方程为，直线过点与抛物线交于两点点关于轴的对称点为，连结.(1)求抛物线的标准方程；(2)问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由【解析】 (1)抛物线的准线方程为，.所以，抛物线C的标准方程为-4分(2)设直线的方程为，又设，则由得.则所以.于是直线的方程为，所以即.所以当时， .所以直线过定点-12分21如图，四棱锥PABCD中，ADBC,ABC90, PA平面ABCD，PA3,AB2,BC6DCBAP(1)求异面直线PB与AC所成角的余弦值；(2)若二面角PBDC的大小为，求AD的长解：因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD，因为ADBC,ABC90, 所以AB
13、AD以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系AxOy，则B(2，0，0)， C(2，6，0)，P(0，0，3)（1）(2，0，3)， (2，6，0)，所以cos，即异面直线PB与AC所成角的余弦值为-6分（2）设ADa(a0)，则D(0，a，0)，所以(2，a，0)，设平面PBD的法向量(x，y，z)，则，即，取x，则y，z2，则(，2)又平面BCD的一个法向量(0，0，1)，二面角PBDC的大小为，所以|，即|，解得a2经检验，当AD2，二面角PBDC的大小为-12分22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且两焦点F1，F2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D求ABCD的值；设AB的中点M，CD的中点为N，求OMN面积的最大值解：（1）y21-3分（2）设AB的直线方程为yk(x1)联立消元y并整理得(12k2)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2，于是AB|x1x2|，同理CD，于是ABCD3-7分由知xM，yM，xN，yN，所以M(，)，N(，)，所以MN的中点为T(，0)，于是SOMNOT|yMyN|，当且仅当2|k|，即k时取等号，所以OMN面积的最大值为-12分