1、专题二 万有引力定律辅导讲义一、考纲解读知识内容要求万有引力定律及其应用、环绕速度第二宇宙速度和第三宇宙速度I经典时空观和相对论时空观I 根据最新考纲，万有引力定律与环绕速度为类要求，主要是用来解决天体运行问题，要能熟练运用万有引力提供向心力这个关键来计算第一宇宙速度，分析求解卫星、航天器的环绕、变速、发射等问题，熟练建立圆周运动模型、分析有关估算问题等；第二、第三宇宙速度为类知识点，要知道第二、第三宇宙速度的数值、单位.二、知识要点讲解一、行星运动的两种学说 地心说和日心说1.地心说 亚里士多德和托勒密认为地球是宇宙的中心，并且静止不动，所有行星围绕地球做圆周运动。历史评价：他们从人们的日常
2、经验（太阳从东边升起，西边落下）提出地心说，比较符合当时人们的经验和宗教神学的思想，成为神学的信条，被人们信奉了一千多年，但它所描述的天体运动，不仅复杂而且以此为依据所得的历法与实际差异很大。2.日心说 哥白尼认为太阳是静止不动的，地球和其他行星围绕太阳运动。历史评价：日心说把地球从天体运动的中心位置移到了一个普通的行星的位置。行星运动的描述显得更简单、更科学。日心说使科学从神学中解放出来，战胜了地心说，逐渐被人们接受。但哥白尼固守天体做匀速圆周运动的传统思想，追求数的和谐与美，他的天体运动模型缺乏深入的物理思考，实际上是一个数学模型。例1 下列说法正确的是（ ）A.关于天体运动的日心说、地心
3、说都是错误的 B.地球是一颗绕太阳运动的行星C.地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球转动D.太阳是静止不动的，地球和其他行星都在绕太阳转动解析：地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮及其他行星都绕地球转动；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。用地心说描述天体的运动不仅复杂，而且问题很多，而用日心说却能简单地描述天体的运动，所以日心说最终战胜了地心说。但是我们必须认识到，每一种学说都是人类客观世界过程中的阶段性的产物，都有其局限性。今天我们认识的太阳系也只不过是宇宙中的一个小星系，太阳系本身也在宇宙中不停地运动着。综上所述，选项A、B正确，C、D错误。
4、点评：日心说因能更好地解释很多天文现象而取代了地心说，但其局限性在今天看来也是十分明显的。因为不管是地球还是太阳，它们都在不停地运动着，不可能静止。鉴于当时人们对自然科学的认识能力，只是日心说比地心说更进步一些而已。二、开普勒行星运动定律 开普勒对第谷长期天文观察的结果进行了创造性的研究与思考，开始他想用哥白尼的太阳系模型说明火星的运行轨道，但与第谷的观测结果有8分的误差，从而大胆地摒弃了天体做匀速圆周运动的观点，建立了开普勒定律，对行星的运动作出了更科学、更精确的描述。1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨迹上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的焦点上。注意：每个椭圆有两
5、个焦点，所有行星运动的椭圆轨道均有一个焦点是相互重合的，太阳就处在这个重合的一个焦点上；不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。例2 下列说法正确的是（ ）A太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向C行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D日心说的说法是正确的解析：根据开普勒第一定律可知A正确，又因为行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向，故B正确，C错误。日心说虽然比地心说又所进步，但是太阳也并非静止，太阳是绕银河系运动的，因而D说法也是错误的。我们一定要注意的是日心说和地心说都有不正确的一面。故本题的正确答案为AB。针对练习1 关于地球和太阳，下列说法
6、正确的是（ ）A.地球是围绕太阳做匀速圆周运动的 B.地球是围绕太阳运转的 C.太阳总是从东面升起，从西面落下，所以太阳围绕地球运转 D.由于地心说符合人们的日常经验，所以地心说是正确的针对练习2 下面关于丹麦科学家第谷，对行星的位置进行观察所记录的数据，说法正确的是（ ）A.这些数据在测量记录时误差相当大，所以没有实际意义 B.这些数据说明太阳绕地球运动C.这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果吻合D.这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合【参考答案：1.B 提示：由开普勒第一定律可知，地球绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。2.C】2.开普勒第二
7、定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。注意：行星运动的线速度大小在轨道上各点是不同的；行星近日点的速率大于远日点的速率。例3 某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，它的近日点到太阳的距离为r，远日点到太阳的距离为R，若行星经过近日点的速度大小为 ，求该行星经过远日点时速度大小.解析：以近日点A和远日点B为圆心，取一个极短的时间间隔，在这段时间内行星与太阳连线扫过的两个扇形的面积相等，即可求得.如图1所示，由于很短， 和 可以用相应的弦长 和 代替，且可把这段时间的运动看做匀速运动，则有 ， ，两个扇形面积分别为： 和 ，根据开普勒第三定律有： ，解得： 点评：根据上述计算结果可
8、知，行星在近日点的速率较大，在远日点的速率较小，即行星从近日点到远日点的过程是减速过程，从远日点到近日点的过程是加速过程.拓展链接：试用能量守恒的观点解释“为什么行星在近日点的速率较大，在远日点的速率较小”。参考答案：行星围绕太阳绕椭圆轨道运动的过程中，行星的机械能守恒，因为行星的近日点到太阳的距离（相当于被举高的高度）小于远日点到太阳的距离，所以行星在近日点的势能小于其在远日点的势能，而机械能是守恒的，所以行星在近日点的动能大于其在远日点的动能，即行星在近日点的速率大于其在远日点的速率。针对练习 如图2所示，为地球绕太阳运行的示意图，图中椭圆为地球的运行轨道，其上的A、B、C、D分别表示春分
9、、夏至、秋分和冬至是地球所在的位置.试说明秋冬两季比春夏两季要少几天的原因. 【参考答案：地球绕着太阳旋转，对处于北半球的我们而言，在冬天经过近日点D，夏天经过远日点B，地球在秋冬两季从C点经D点运动到A点时扫过的面积比春夏两季从A点经B点运动到C点时扫过的面积小，由开普勒第二定律相等的时间内扫过相等的面积知，前一个过程所用时间短.因此秋冬两季比春夏两季要少几天。一年之内，春夏两季共186天，秋冬两季共179天.】3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨迹的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。即 ， 是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。开普勒第三定律反映了行星公转的周期跟
10、椭圆轨道半长轴之间的变化依赖关系：椭圆轨道的半长轴大（或小）的行星，其公转的周期亦大（或小）。注意：（1）开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的，它们都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，开普勒行星运动定律只涉及运动学、几何学等方面的内容。（2）圆周运动可看成是椭圆运动的特例在一般情况下，可把行星运动当作圆周运动来处理，此时，R为圆周运动的半径，T为圆周运动的周期（3）常量k仅与太阳的质量有关而与行星无关这个规律也可推广到宇宙间其它的天体系统(如地球和卫星系统)，常量k仅与该系统的中心天体质量有关而与周围绕行的星体无关中心天体不同的系统k值不同，中心天体相同的系
11、统里k值是相同的例4 （2010年新课标卷）太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像，图中坐标系的横轴是 ，纵轴是 ；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径， 和 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是（ ） 解析：根据开普勒第三定律（周期定律）：行星公转周期的平方与轨道半径的三次方成正比，即 ，同样对于水星来说， 。两式相除后取对数，得： ，整理得： ，即 ,故选项B正确。点评：本题从数学函数的角度考查了同学们对开普勒第三定律的理解，要求同学们学会知识的迁移和灵活应用，体现了新课标学以致用
12、，将知识融会贯通的改革理念。例5 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球到地球距离的1/3，已知月球绕地球运行周期是27.3天，则此卫星的运行周期约为多少天？解析：根据开普勒第三定律，用圆轨道半径近似代替椭圆的半长轴即可求解.根据开普勒第三定律 得： ，卫星的周期为 天点评：开普勒定律不仅适用于行星，对卫星绕行星的运动情况也成立，且对同一行星的卫星，其椭圆轨道半长轴的三次方与公转周期的平方之比也等于常数，即 ，k与卫星无关.例6 假设我国在实现卫星绕月之后，又实现了第二期工程目标，即发射了航天器着陆到月球上。航天器抵达月球的表面时，先绕月球做半径为R的圆周运动，假设其运行周期为T。
13、当航天器快运动到A点时地面控制中心将发出指令，使其速率降低到适当数值，从而使航天器沿着以月心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和月球表面在B点相切，如图2所示，这样就可实现航天器在月球的表面登陆。如果月球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间。解析：飞船沿椭圆轨道返回地面，由图可知，飞船由A点到B点所需要的时间刚好是沿图中整个椭圆运动周期的一半，由开普勒第三定律可以求解。设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T，椭圆轨道的半长轴为 ，根据开普勒第三定律有 ，解得： 。所以飞船由A点到B点所需要的时间为： 点评：在同一天体系统中，绕中心天体运动的“卫星”无论在圆轨道上运行，还是在椭圆轨道上运行，都符合开普勒第
14、三定律，而圆轨道与椭圆轨道虽然在A点相切，但椭圆轨道的半长轴并不等于圆轨道的半径，a= ，由此可列方程求解.针对练习1 关于开普勒行星运动的公式 ，以下理解正确的是（ ）A.k是一个与行星无关的常量 B.T表示行星运动的自转周期 C.T表示行星运转的公转周期D.若地球绕太阳运转的半长轴a地，周期为T地；月球饶地球运转的长半轴为a月，周期为T月，则 。针对练习2 每个行星系都有各自的开普勒恒量k.如果月球轨道半径是3.83108m，周期是27.3天，则地球的开普勒恒量k= .针对练习3 月球距地球的距离为 ，月球绕地球运行周期是27.3天，求地球同步卫星离地面的高度为 .（地球半径 ） 三、万有
15、引力定律 宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力的大小，跟他们的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比公式： ，其中G=6.6710-11Nm2/kg2，叫做引力常量，卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量.对万有引力定律的理解：（1）普遍性：两个物体之间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。（2）相互性：微观粒子由于质量都非常小，粒子之间的万有引力很不显著，因此可以忽略不计，通常情况下物体间的引力非常小，一般可忽略不计，只有质量巨大的天体之间或天体与一般物体之间的万有引力才有宏观上的意义。（3）宏观性：万有引力是普遍存在于宇宙间任何有质量的物体（小到微观粒
16、子大到天体）之间的相互作用力，是自然界物体见的基本相互作用之一。 （4）适用条件：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，但当两物体的距离远大于物体本身大小时，物体可视为质点，公式也近似适用，但此时r应为两物体质心间距离；均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。例 已知地球的赤道半径 ，地球质量 。设地球为均匀球体，试求：（1）若两个质量都为1kg的均匀球体相距1m，求它们之间的引力；（2）质量1kg的物体在地面上受地球的引力为多大? 解析：（1）由万有引力公式可得两个球体之间的引力为 （2）将地球近似视作一均匀球体，便可当作一质量集中于地心的质点；而地面上物体的大小与它到地心的距离（地球半径
17、 ）相比甚小，也可视作质点。因此，可利用万有引力公式算得地面上物体受到地球的引力为 点评：由于万有引力常量G很小，故一般物体间的引力甚为微小，可忽略不计，但地球表面附近的物体受到地球对它的万有引力近似等于重力，显然不能忽略。可见，万有引力有时很大，有时却很小，要视具体情况而定。针对练习 （浙江卷）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）A.太阳引力远大于月球引力 B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对
18、不同区域海水的吸引力大小相等 D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【参考答案：AD提示： ，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异。则本题的正确答案为AD。】四、应用万有引力定律的基本思路 应用万有引力定律解题的基本思路如图示，万有引力、重力、向力心公式可认为位于三角形的三个顶点上，把三者中的任意两个联系起来，建立方程1.把万有引力和向心力公式联系：即把天体运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，于是可以从以下几个方面去思考：思路一：由 ，可得 ；（计算天体质量和密度，第一宇宙速度，轨道变轨问题等）思路二： ，可得 （或根据
19、 ）；（计算天体质量和密度，判断变轨问题）思路三： ，可得 ；（估算天体质量和密度，运动周期）思路四： ，可得 ；（计算天体运动的加速度）以上三个等式代表了万有引力定律应用时的三条基本思路，在解题过程至于用那一种方法应该根据题目中的已知条件来分析。注意：当万有引力比物体做圆周运动所需的向心力小时，物体将做离心运动；大时将做向心运动例1 （2010年北京卷）一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ） 解析：同地球表面的物体要随地球自转一样，其他天体表面的物体也要随天体自转，并且物体自转所需的向心力由天体对其万
20、有引力的一个垂直于自转轴分力来提供，另一分力垂直于天体表面（类似于重力）。本题中赤道表面的物体对天体表面的压力为零，说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有 ，化简得 ，正确答案为D。点评：计算天体或卫星的运动周期，一般要选择含有周期的关系式“ ”。例2 （2010年上海卷）如图所示，三个质点a、b、c质量分别为 、 、 （ ）.在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比 ,则它们的周期之比 =_；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了_次。解析：根据 ，得 ,所以 ，在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b
21、、c共线了8次。注意：本题也可以利用开普勒第三定律，求出周期比。针对练习 （安徽卷）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大【参考答案：D 提示：由 可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B错；由公式 可知甲的周期小故A错
22、；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；碎片的加速度是指引力加速度由 得 ，可知甲的加速度比乙大，故D对。】2.把万有引力和重力联系：物体所受重力(近似)等于它受到的万有引力， 此式还可以有以下两个变形：（1） ，用于计算星球表面或空中某一高度的重力加速度可见，离地面越高，重力加速度越小（2） 运用 作为桥梁，可把GM和gR2互相替代，从而把“地上”和“天上”联系起来由于这种代换经常应用，被称为黄金代换例3 （2010年四川卷）a是地球赤道上一幢建筑，b是在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6 m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h
23、，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4 m，地球表面重力加速度g=10m/， = ）解析：b、c都是地球的卫星，共同遵循地球对它们的万有引力提供向心力，是可以比较的。a、c是在同一平面内以相同角速度转动的，也是可以比较的，在某时刻c在a的正上方，则以后永远在正上方。对b有 ，GM=gR2，化简得 在48小时内b转动的圈数为 =8.64，所以B正确。点评：本题需要把GM和gR2互相替代，从而把“地上”和“天上”联系起来由于这种代换经常应用，被称为黄金代换3.将重力与向心力公式联系： （计算第一宇宙速度，自转周期等）例4 “嫦娥一号”将在距月球高为h处绕月球做匀速圆周运动已知月球半
24、径为R,月球表面的重力加速度为 .“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少？解析：设“嫦娥一号”环绕月球的周期是T根据牛顿第二定律得 ； ；由、两式解之得 （ 为月球表面的重力加速度）点评：本题利用了万有引力与重力和万有引力与向心力这两个关系式，注意在运用这两个关系时，一定要搞清天体半径和轨道半径的区别。一般把天体看成一个球体,天体半径就是球的半径,它反映了天体的大小。卫星的半径是卫星绕天体做圆周运动时圆的轨道半径一般情况下,天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径当卫星贴近天体表面运动时,可近似地认为轨道半径等于天体半径式中的轨道半径为天体（月球）本身的半径；中的（R+h）为“嫦娥一号”绕月球做圆周
25、运动时轨道圆的半径。针对练习 （2010年海南卷）火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法正确的是（ ）A火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大 D火星公转的向心加速度比地球的大 【参考答案：AB 提示：由 得 ，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的 ，A正确；由开普勒第三定律或公式 得，公转轨道半径大的周期长，B对；周期长的线速度小，(或由 判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转向心加速度 ，D错。】五、估算天体的质量和密度1.有行星或卫星绕行的中心天体的
26、质量和密度 由开普勒第三定律可知，所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数，这个常数与中心天体的质量有关，反过来，如果我们要计算一个天体的质量，只需找到围绕该天体运动的卫星或行星的运行周期和轨道半径就可以了。把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，建立方程求解。可分以下几种情况：（1）周期T和轨道半径r 设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，据万有引力提供向心力，则有 ，可得中心天体的质量为 。（2）运行速度v和轨道半径r 设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速
27、度为v，据万有引力提供向心力，则有 ，得 。3.运行速度v和运行周期T 设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速度为v，运行周期为T，则有 ， ，由以上两式消去r，解得 。注意：以上三种情况本质上是一样的，因为已知v、T和三个物理量中的任意两个都可以求出第三个，如已知v和以利用 求出；已知v和T，可以利用 求出。求出天体质量后，再求出天体的体积V= ，则 。 当卫星环绕天体表面做圆周运动时，r=R， 。例1 （2010年福建卷） 火星探测项目我过继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行周期为 ，神州飞船在地球表面
28、附近圆形轨道运行周期为 ，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则 、 之比为（ ）A. B. C. D. 解析：设中心天体的质量为M，半径为R，当航天器在星球表面飞行时，由 和 ，解得 ，即 ；又因为 ，所以 ， 。答案：D例2 （2010年安徽卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为和 的圆轨道上运动时，周期分别为 和 。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出A火星的密度和火星表面的重力加速度 B火星的质量和火星对“萤火一
29、号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量 D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有 ； ，可求得火星的质量 和火星的半径 ，根据密度公式得： 。在火星表面的物体有 ，可得火星表面的重力加速度 。故选项A正确。点评：以上两题关注我国航天事业的发展，考查万有引力在天体运动中的应用，这也几乎是每年高考中必考的题型。本类型要求考生熟练掌握万有引力定律在处理有关第一宇宙速度、天体质量和密度、周期与距离以及同步卫星的方法，特别要关注当年度航天事件。针对练习1 地球绕太阳公转的轨道半径为 m，公转周期为 s，太阳的质量多大？针对练习2 1997年
30、8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Planck学会的一个研究小组宣布了他们的研究成果：银河系中心可能存在一个大“黑洞”。他们发现，距离银河系中心约 m的另一星体正以2.0 m/s的速度绕“黑洞”旋转运动，求该“黑洞”的质量。(结果要求保留二位有效数字)针对练习3 已知月球绕地球做圆周运动的平均速率为1000m/s，公转周期为T= s，可估算出地球的质量约为 kg。估算结果保留一位有效数字。【参考答案：1. kg 解析：设太阳的质量为M，地球的质量为m，据万有引力提供向心力，则有 ，得 ，代入数值解得太阳的质量为M= kg。2.解析：本题是已知绕中心天体运动“黑洞”运动的星体的速
31、度v和轨道半径r，求“黑洞”的质量。据 ，得 。代入已知量得 kg。3.解析：据 ，代入数值得 kg，即地球的质量约为 kg。】2.没有行星或卫星绕行的天体质量 对于没有行星或卫星绕行的天体，若已知该天体的半径和它表面的重力加速度，可应用万有引力近似等于重力这一关系，建立方程求解，计算出它的质量。设待计算天体的质量为M，半径为R，它表面的重力加速度为 ，设该天体表面有一物体质量为m，根据万有引力近似等于重力，则有 ，得此天体的质量为 。附带说明一点，由 得出 ，此式在解析天体运动问题时很有用，被称为黄金代换式。例3 假设我国某宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量
32、出此星体的质量？如果能测出，需用何器材，简述测量方法。解析：待测星体没有行星或卫星绕行，可应用在星体表面星体与宇航员间的万有引力近似等于宇航员的重力这一关系，测出该星体的质量。据 ，得此星体的质量为 ，由于半径R已知，只要再测出该星体表面的重力加速度 ，就能测出此星体的质量。方法1：在星体表面用天平称量出某物体A的质量，再用弹簧秤悬吊物体A处于平衡状态，读出弹簧秤的示数F，则 =F/m，所以该星体的质量为 。方法2：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量下落的高度h，用秒表测量下落的时间t，则有 ， ，所以该星体的质量为 。计算天体的质量有多种方法，要审清题设条件，根据题设条件采用合适的方法。
33、针对练习 “嫦娥一号”卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进人近月圆轨道绕月飞行若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，据以上信息得（ ）A绕月与绕地飞行周期之比为 B绕月与绕地飞行周期之比为 C绕月与绕地飞行向心加速度之比为1：6 D月球与地球质量之比为1：96 【参考答案：ACD. 提示：mg=m（ ）2R,T2 ,选项A正确B错误；“嫦娥一号”绕近地圆轨道与绕近月圆轨道飞行时，万有引力提供向心力，而万有引力近似等于卫星重力，故其重力提供向心力，重力加速度近似等于向心加速度，故选项C正确；根据G =mg，得M= ,可知选项D正确.】六、双星模型
34、 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星。如图1所示，双星有以下特点：1.由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。2.由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由 =mv可得 ，v ，于是有 ， ；3.列式时须注意：万有引力定律表达式中的 表示双星间的距离，按题意应该是 ，而向心力表达式中的 表示它们各自做圆周运动的半径，
35、千万不可混淆。例1 （2010年全国卷1）如右图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。（1）求两星球做圆周运动的周期；（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.981024kg 和 7.35 1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）解析：（1）A和B绕O做匀速
36、圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此由 ， ，连立解得 ， 对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得： 化简得： （2）将地月看成双星，由得 ，将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 ，化简得 ，所以两种周期的平方比值为 。例2 （2010年重庆卷）月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（ ）A.1：6400 B.1：80 C.80：1 D.6400
37、：1解析：月球和地球绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等，且月球和地球和O始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有 ，所以 ，线速度和质量成反比，正确答案C。说明：双星是宇宙中常见的天体系统，由于双星间相互作用的万有引力是各自做匀速圆周运动的向心力，且圆心是直线上的一点，双星的角速度、周期、向心力大小都相同，半径与双星质量成反比。如果两颗星的质量相差悬殊，如 ，则 ， ， ，这是可以把大质量星看作静止的，小质量星围绕大质量星运动.轻杠两端各固定一个小球，轻杠绕杠上一点转动时，两球的运动与双星很类似，运动规律与双星规律可以类比理解。针对练习
38、 两颗靠的较近的天体称为双星，它们以两者的连线上某点为圆心做匀速圆周运动，而不会由于万有引力作用，使它们吸在一起（不考虑其他天体对它们的影响），已知两天体质量分别为 和 ，相距为 ，求它们运转的角速度 .【参考答案： 解析： 、 间的万有引力分别提供两者的向心力，即 ， ，又 。.联立以上三式，可得： .】七、宇宙速度1.三种宇宙速度的含义（1）第一宇宙速度(环绕速度)：v7.9m/s，是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度. （2）第二宇宙速度(脱离速度)：v11.2km/s，是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度.（3）第三宇宙速度(逃逸速度)：v16.7km/s，是物体挣脱太阳的
39、引力束缚需要的最小发射速度.第一宇宙速度是发射一个物体，使其成为地球卫星的最小速度是卫星绕地球运行的最大速度。若以第一宇宙速度发射一个物体，物体将贴着地球表面的轨道上做匀速圆周运动若发射速度大于第一宇宙速度，物体将在椭圆轨道上离心运动若物体发射的速度达到或超过11.2kms时，物体将能够摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的行星或飞到其他行星上11.2kms称为第二宇宙速度，如果物体的发射速度再大，达到或超过16.7kms时，物体将能够摆脱太阳引力束缚，飞到太阳系外16.7kms称为第三宇宙速度例1 2007年10月31日，“嫦娥一号”卫星在近地点600km处通过发动机短时点火，实施变轨。变轨后
40、卫星从远地点高度12万余公里的椭圆轨道进入远地点高度37万余公里的椭圆轨道，直接奔向月球。则卫星在近地点变轨后的运行速度（ ）A.小于7.9km/s B. 大于7.9km/s，小于11.2 km/s C.大于11.2 km/s D.大于11.2 km/s，小于16.7 km/s解析：7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星在地面附近做匀速圆周运动所具有的线速度。当卫星进入地面附近的轨道速度大于7.9km/s而小于11.2 km/s时，卫星将沿椭圆轨道运行，当卫星的速度等于或大于11.2 km/s时就会脱离地球的吸引，不再绕地球运行，11.2 km/s被称为第二宇宙速度。“嫦娥一号” 变轨后仍沿椭圆
41、轨道绕地球运动，故B正确。点评：卫星的发射问题是万有引力定律与航空航天紧密联系的一个热点问题，往往涉及发射、环绕、变轨等问题。要掌握三个宇宙速度的数值，并且特别关注第一宇宙速度是最小的发射速度是最大的环绕速度。卫星追击问题与变轨问题是一致的，要想追上前面的卫星必须变轨，这就是万有引力提供向心力与我们熟悉的圆周运动的不同关键所在。例2 关于人造卫星，下列说法中正确的是（ ）A.卫星运行的轨道半径越大，线速度越小，所以把卫星发射到越远的地方越容易B.卫星绕地球运行的环绕速率可能等于8km/sC.卫星的半径越大,周期也越大 D.卫星的运行周期可能等于80分钟解析 ：由 ,得 ,r越大，v越小，所以错
42、误地选A产生错误的原因是把环绕速度当成了发射速度环绕速度 ，离地球越远，卫星的环绕速度越小，但发射卫星到越远的地方，需克服地球的引力做的功越多，所需的初速度就越大，故A是错误的；由 这是最大环绕速度，B错误；由 可知C是正确；当R=r时，Tmin=85 min，故D错误本题答案为C点评：被发射的物体在地面附近离开发射装置后就再无能量补充，被发射的物体仅依靠自己的初动能克服地球引力，上升到一定高度后进入运行轨道。所以要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度，若等于第一宇宙速度，则只能“贴着”地面绕地球运行；由于卫星在发射过程中要克服地球引力做功，增大重力势能，所以将卫星发射到离地球越
43、远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大；卫星在高空绕地球做匀速圆周运动的线速度一定小于第一宇宙速度.针对练习 （广东卷）如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是( ) A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力【参考答案：C 提示：“嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙
44、速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚,故选项A错误；由开普勒第三定律知，在绕月球运动时,卫星公转周期与卫星的质量无关,故选项B错误；由万有引力定律，可知选项C正确；在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小于受月球的引力,故选项D错误.】2.第一宇宙速度的推导与计算 v7.9m/s是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度. 推导一：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力即 ， 。推导二：物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动需要的向心力等于重力，即mg=m ，得v= （g为地球表面的重力加速度）.将g=9.8m/s和R=6.4106m代入上式可解得第一宇宙速度为：v=7.9km/s可见，
45、第一宇宙速度有两种表达方式: 或v= ，在运用的时候要根据条件进行分析。另外，上述两种推导方法也同样适用于计算其他星球表面的发射速度。例3 已知海王星和地球的质量比为 ，它们的半径比为 ，求：（1）海王星和地球的第一宇宙速度之比为多少？（2）海王星表面和地球表面的重力加速度之比为多少？解析：（1）设卫星的质量为 ，对绕海王星和绕地球的卫星分别有： 和 ，联立方程得： .（2）对海王星表面的物体有 ；对地球表面的物体有 联立方程得： .点评：要深刻理解地球的第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度，它的推导方法可以应用到其他星球上。八、同步卫星 同步卫星指相对于地面
46、静止的卫星，它的周期T24h，位于赤道正上方某一确定高度h由 （）得：h =5.6，R表示地球半径（1）同步卫星的“六同”：即同轨道面(同在赤道的正上方）、同周期（与地球自转的周期相同）、同角速度、同高度、同线速度大小、同向心加速度大小。“五不同”(通常情况)：质量不同、向心力的大小不同、动能、势能、机械能不同（2）同步卫星与一般卫星运行轨道的区别：由于卫星做圆周运动的向心力必须由地球对它的万有引力来提供，所以所有的地球卫星包括同步卫星，其轨道圆的圆心都必须在地球的的球心上；但同步卫星是跟地球自转同步，故其轨道平面必须与赤道平面相重合一般卫星的周期、线速度等都可比同步卫星大，也可比同步卫星小，
47、但线速度的最大值为 ，最小周期大约为85min,轨道可是任意的，但轨道平面一定通过地球球心。例1 （2010年全国卷2）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为（ ）A6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时解析：地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有： ， 两式化简得 小时。点评：类似于地球的同步卫星，其他行星的同步卫星也是相对于该行
48、星表面静止的行星，它的公转周期也等于该行星的自转周期，该行星对其同步卫星的万有引力提供向心力。例2 关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下列说法正确的是 （ ）A.已知它的质量是1.24t，若将它的质量增为2.48t，其同步轨道半径变为原来的2倍B.它的运行速度为 C.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播D.它距地面的高度约为地球半径的5倍，所以它的向心加速度越为其下面地面上的重力加速度的1/36.解析 同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量大小无关,所以A错；因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度才近似等于 ，而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，所以同步卫星的线速度一定
49、小于 ，实际计算表明它的线速度只有 ，所以B错；因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步卫星轨道不可能过北京的正上方，所以C错；同步卫星的向心加速度 ，卫星在地面上的 ，依题意得 ，所以 ，D答案正确.本题正确选项为D.点评：“同步卫星”的发射成功，使卫星通讯和卫星广播成为现实，通过卫星实现越洋通话、实现收看世界各地发来的电视新闻，已经成了人们基本生活的一部分.例3 据报道，美国航天局已计划制造一座通向太空的升降机，传说中的通天塔即将成为现实.据航天局专家称：这座升降机的主体是一根长长的管道，一端系在太空的一个巨大的人造卫星上，另一端一直垂到地面并固定在地面上。已知地球到月球的
50、距离约为地球半径的60倍，由此可以估算，该管道的长度至少为（已知地球半径为6400km）（ ）A.358km B.3580km C.35800km D.358000km解析：本题隐含的条件是通天塔的一端必须安装到地球的同步卫星上，否则随着人造地球卫星围绕地球的转动，通天塔就会缠绕在地球上。这样，求通天塔管道的长度，也就转化为求地球同步卫星的高度.设该高度为h，则： ，在地球表面处的物体： ，所以 ，正确选项为C.点评：作为计算同步卫星高度的试题，一般学生恐怕都会，但本题题目情景新颖，建“太空梯”是非常新颖的设计，但通过我们的想象，该“太空梯”必须相对于地球静止，否则不可能实现，所以这里有一个隐
51、含条件需要学生自己分析，解决了这个问题也就找到了解题的“金钥匙”.九、卫星变轨问题 人造卫星从某一稳定轨道转变到另一稳定轨道运动的过程,简称卫星变轨,这一过程通常出现在发射阶段和回收阶段或调整卫星姿态阶段。人造卫星运行轨道的改变是通过人造卫星自带的推进器实现的，当人造卫星要从椭圆轨道运行到大圆轨道时，只要运动到远地点时自带的推进器向后喷气即可使人造卫星加速。当速度加到沿大圆做圆周运动所需的速度时，人造卫星就不再沿椭圆轨道而沿大圆轨道运行；当人造卫星要从圆轨道运行到椭圆轨道时，只要推进器向前喷气即可使人造卫星减速，人造卫星即可从圆形轨道运动到椭圆轨道，如果人造卫星运行到近地点时继续减速，到一定程
52、度人造卫星将在万有引力作用下坠入大气层，返回式人造卫星就是采用这种方式返回地面的。人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因，速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生向心运动或离心运动，发生变轨.在变轨过程中由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道.比如，卫星轨道偏高时，助推火箭反向点火使卫星减速，卫星需要的向心力减小，小于万有引力，卫星做向心运动，由于势能转化为动能，卫星速度增大，需要的向心力增大，万有引力虽然也有增大，但增大较少，于是在较低轨道上两者重新相等，卫星实现轨道降低.（1）由 得 ，可见轨道半径r越大，卫星的速度越小当
53、卫星由于某种原因速度v突然改变时，F和mv2/r不再相等，因此就不能再根据 来确定v的大小当Fmv2r时，卫星做近心运动，此时卫星的速度将变大；（卫星可以通过制动减速实现变轨，做近心运动）当FF3 Ba1=a2=ga3 Cv1=v2=vv3 D1=32解析：赤道上的物体随地球自转的向心力为万有引力在垂直地轴方向上的分力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1F3；加速度：a1a2，a2=g，a3a2；线速度：v1=R，v3=（R+h），因此v1v3；角速度1=32.故正确的答案为D点评：向心加速度与重力加速度是两个不同的物理概念，两者既有区别又有联系
54、4.赤道上物体的向心加速度与卫星的加速度 赤道上物体受地球的万有引力作用,其中一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力,产生向心加速度a物,另一个分力为重力,即 (R地球半径)而卫星的向心速度a卫由万有引力提供,即 ,卫星的加速度要大于赤道上物体随地球自转的加速度,两者不可混淆十一、与其他知识的综合例1 飞船在近地圆轨道上运行时，由于极稀薄的空气的影响，飞行高度会缓慢降低，需要进行多次轨道维持轨道维持就是通过控制飞船上的发动机的点火时间和推力，使飞船能保持在同一轨道上稳定运行2005年10月份，太阳风暴频发，太阳风暴使“神舟”六号轨道舱运行轨道上的稀薄大气密度增加，轨道舱飞行阻力加大，如果
55、不进行轨道维持，飞船轨道舱的轨道高度就会逐渐降低，在这种情况下，飞船轨道舱的动能、重力势能和机械能变化的关系应该是（ ）A.动能、重力势能和机械能逐渐减小 B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小解析：空气阻力不断对飞船做负功，飞船的机械能减小；随着轨道半径的减小，飞船的线速度减小（飞船的线速度在轨道半径的过程中，除空气阻力做功外，地球对它的万有引力也做功，而且做正功，其功大于克服空气阻力做的功），所以卫星的动能增加，重力势能减小，选D点评：天体运行问题常与抛体运动、圆周运动、能量守恒等知识
56、结合。求解能量守恒问题时牢记能量守恒的规律是一样的，只是知识运用的对象不同而已。求解抛体类问题需要注意在其他星球上的重力加速度与地球上的数值不同，但是抛体运动的规律是一样的。例2 （2010年山东卷）1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点 和运地点 的高度分别为439km和2384km，则 A卫星在 点的势能大于 点的势能 B卫星在 点的角速度大于 点的角速度 C卫星在 点的加速度大于 点的加速度 D卫星在 点的速度大于79km/s解析：根据 ，因为 ，所以 ，A错误；根据 ，因为 ，且 ，所以 ，B正确；根据 ，因为 ，所以 ，C正确；根据 ，因为 r，r为地球半径，所以 79km/s，D错误。本题选BC。