1、第二节不等式的证明【知识重温】一、必记2个知识点1比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种名称作差比较法作商比较法理论依据abab0abab0，1abb1ab适用类型适用于具有多项式特征的不等式证明主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明证明步骤作差变形判断符号得出结论作商变形判断与1的大小关系得出结论2综合法和分析法(1)综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法(2)分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已
2、知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法二、必明2个易误点1用分析法证明不等式一定要注意格式规范2运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当用综合法、分析法证明不等式互动讲练型例12020全国卷设a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca0；(2)用maxa，b，c表示a，b，c的最大值，证明：maxa，b，c .悟技法用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、 条理清楚，所
3、以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.变式练(着眼于举一反三)1设不等式|x1|x1|2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，cA，求证：1.考点二反证法证明不等式互动讲练型例2若x，y都是正实数，且xy2，求证：2和2中至少有一个成立悟技法利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论；(2)从假设出发，导出矛盾；(3)证明原命题正确.变式练(着眼于举一反三)2已知abc0，abbcca0，abc0，求证：a，b，c0.考点三放缩法证明不等式互动讲练型例3若a，bR，求证
4、：.悟技法在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧，常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1.(2)利用函数的单调性(3)真分数性质“若0ab，m0，则”注意：在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.变式练(着眼于举一反三)3设n是正整数，求证：1.第二节不等式的证明课堂考点突破考点一例1解析：(1)由题设可知，a，b，c均不为零，所以abbcca(abc)2(a2b2c2)(a2b2c2)0.(2)不妨设maxa，b，ca，因为abc1，a(bc)，所以a0，b0，c0.由bc，可得abc，故a ，所以maxa，b，c .变式练1解析
5、：(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2得1x1，即Ax|1x1(2)要证1，只需证|1abc|abc|，只需证1a2b2c2a2b2c2，只需证1a2b2c2(1a2b2)，只需证(1a2b2)(1c2)0，由a，b，cA，得1ab1，c21，所以(1a2b2)(1c2)0恒成立，综上，1.考点二例2证明：假设2和2都不成立，则有2和2同时成立因为x0且y0，所以1x2y，且1y2x.两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知条件xy2矛盾，因此2和2中至少有一个成立变式练2证明：(1)设a0，因为abc0，所以bc0.又由abc0，则bca0，所以abbccaa(bc)bc0，与题设矛盾(2)若a0，则与abc0矛盾，所以必有a0.同理可证：b0，c0.综上可证a，b，c0.考点三例3证明：当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.变式练3证明：由2nnkn(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，1.所以原不等式成立
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