1、拿下压轴题高考创奇迹 “212”压轴题目自选练(一) 供学有余力的考生自选一、选择、填空压轴题11已知正三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为()A10B25C100 D125解析：选B如图，设O1为正三棱锥SABC的底面中心，连接SO1，则SO1是三棱锥的高，设球O的半径为R，连接AO1，因为正三角形ABC的边长为2，所以AO122，因为SA，所以在RtASO1中，SO11，易知三棱锥的外接球的球心O在SO1的延长线上，连接AO，在RtAOO1中，R2(R1)222，解得R，所以球O的表面积为4225，故选B.12已知函数f(x)
2、则yf(x)(xR)的图象上关于坐标原点O对称的点共有()A0对 B1对C2对 D3对解析：选C由题意知，函数yf(x)(xR)的图象上关于原点对称的点即函数yex的图象关于原点的对称图象(函数yex的图象)与y2x24x1(x0)的图象的交点，如图，作出函数yex和y2x24x1的图象，由图知函数yex的图象与y2x24x1(x0)的图象有两个交点，所以满足条件的对称点有2对，故选C.16(2019广东百校联考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M(a,0)，N(0，b)，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，
3、S2，则_.解析：由e2，得c2a，则ba，故线段MN所在直线的方程为y(xa)又点P在线段MN上，可设P(m，ma)，其中ma,0由于F1(c,0)，F2(c,0)，即F1(2a,0)，F2(2a,0)，得(2am，ma)，(2am，ma)，所以4m26maa242a2.由于ma,0，可知当ma时，取得最小值，此时yPa；当m0时，取得最大值，此时yPa.则4.答案：4二、解答题压轴题20设M是抛物线E：x22py(p0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为yx1.(1)求E的方程(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和
4、C，D两点，是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)设M，由x22py，得y，则y.由解得p2.所以抛物线E的方程为x24y.(2)假设存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|成立，则.由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设直线l1的方程为ykx1(k0)，则由消去y得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.所以|AB|4(1k2)因为直线l1，l2的斜率之积为1，所以|CD|4.所以.所以存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|成立21已知函数f(x)xln xx2(a1)x，其导函数f
5、(x)的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2)，证明：x1x22.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，其导函数f(x)ln xa(x1)记h(x)f(x)，则h(x).当a0时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增，且h(1)0，所以任意x(1，)，h(x)f(x)0，故a0不成立当a0时，若x，则h(x)0；若x，则h(x)0.所以h(x)在上单调递增，在上单调递减所以h(x)maxhln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)1.当0a1时，g(a)1时，g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递
6、增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)证明：当a1时，f(x)xln xx2，则f(x)1ln xx.由(1)知f(x)1ln xx0恒成立，所以f(x)xln xx2在(0，)上单调递减，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1)不妨设0x1x2，则0x112，只需证x22x1.因为f(x)在(0，)上单调递减，所以只需证f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)1，所以只需证1f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，则F(1)1.所以欲证f(2x1)f(x1)1，只需证F(x)F(1)，x(0,1)，F(x)f(x)f(2x)1ln xx1ln(2x)2x，整理得F(x)ln xln(2x)2(1x)，x(0,1)令m(x)F(x)，则m(x)0，x(0,1)，所以F(x)ln xln(2x)2(1x)在区间(0,1)上单调递增，所以任意x(0,1)，F(x)ln xln(2x)2(1x)F(1)，x(0,1)，故x1x22.
