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《高考聚焦》2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测 重点突破 能力提升):5.doc

1、第3课时等比数列及其前n项和1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中,识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系对应学生用书P86【梳理自测】一、等比数列的概念1(教材改编)在等比数列an中,如果公比q1,那么等比数列an是()A递增数列B递减数列C常数列 D无法确定数列的增减性2(教材改编)等比数列an中,a44,则a2a6等于()A4 B8C16 D323已知an是等比数列,a22,a5,则公比q等于()A B2C2 D.答案:1.D2.C3.D以上题目主要考查了以下内容:(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起

2、,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(2)等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项ana1qn1(3)等比中项若a,G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项二、等比数列性质及前n项和公式1设an是公比为正数的等比数列,若a11,a516,则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D1282(课本精选题)在等比数列an中,an0,a2a42a3a5a4a625,则a3a5的值为_答案:1.C2.5以上题目主要考查了以下内容:等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:anamqnm,(n,

3、mN*)(2)若an为等比数列,且klmn(k,l,m,nN*),则akalaman(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),a,anbn,仍是等比数列(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为qn等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,(5)当q1时,Snna1;当q1时,Sn【指点迷津】1一个常数等比数列q(q0)是一个不变常数2三种防范(1)由an1qan,q0并不能立即断言an为等比数列,还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q1与q1分类讨论,防止因忽略

4、q1这一特殊情形导致解题失误(3)任何两个数不一定有等比中项G2ab0(a、b同号)如1、1之间无等比中项(4)两个数之间可能有一个或者两个如:2、3之间等比中项可为、(之一或之二)对应学生用书P86考向一等比数列基本量的计算(1)(2013高考全国新课标卷)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3a210a1,a59,则a1()A.BC. D(2)(2014荆州市高三质检)设Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2a52am,则m_【审题视点】建立关于a1和q的方程(组)求所需要的量【典例精讲】(1)设公比为q,S3a210a1,a59,解得a1,故选C.(2)设数列a

5、n的公比为q,S9S3S6S9,显然q1,q3,q,又a2a52am,则a2(1q3)2a2qm2,即(1)(),m8.【答案】(1)C(2)8【类题通法】(1)等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和q是等比数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法1(2014辽宁鞍山质检)数列an的前n项之和为Sn,Sn1an,则an_解析:n1时,a1S11a1,得a1,n2时,Sn1an,Sn11an1.两式相减得anan1an,即anan1,.

6、所以an是等比数列,首项为a1,公比为,所以an.答案:考向二等比数列的判定或证明(2014长安模拟)已知数列an中,a1,a2.当n2时,3an14anan1(nN*)(1)证明:an1an为等比数列;(2)求数列an的通项【审题视点】构造an1an与anan1的关系用累加法求an.【典例精讲】(1)证明:数列an中a1,a2,当n2时,3an14anan1(nN*)当n2时,3an13ananan1,即an1an(anan1)an1an是以a2a1为首项,以为公比的等比数列(2)由(1)知an1an,故anan1,an1an2,a2a1,累加得ana1,an即an1.【类题通法】等比数列的

7、判定方法:(1)定义法:若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2),则an是等比数列(2)中项公式法:若数列an中an0且aanan2(nN*),则数列an是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn1(c,q均为不为0的常数,nN*),则an是等比数列(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列2(2013湖南衡阳市六校联考)已知数列an的满足条件:a1t,an12an1.(1)判断数列an1是否为等比数列;(2)若t1,令cn,记Tnc1c2c3cn,证明:cn;Tn1.解析:(1)由题意得an112an22(an1

8、),又a11t1,所以,当t1时,an1不是等比数列,当t1时,an1是以t1为首项,2为公比的等比数列(2)由(1)知an2n1,cn.Tnc1c2c3cn11.考向三等比数列的性质及应用(1)(2014辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列an满足2a2a2a120,数列bn是等比数列,且b7a7,则b3b11等于()A16B8C4 D2(2)(2013江西临川模拟)在等比数列中,已知a1aa15243,则的值为()A3 B9C27 D81【审题视点】利用等比数列的性质或等比中项求解【典例精讲】(1)由等差数列性质得a2a122a7,所以4a7a0,又a70,所以a74,b74,由等比数列

9、性质得b3b11b16,故选A.(2)a1aa15243,a83,又a,9.故选B.【答案】(1)A(2)B【类题通法】求解数列问题,利用其性质可使求解过程简单等比中项是数列“脚码和”性质的特例涉及到等比数列的“两项积”时,可考虑此性质的应用3(1)(2014成都模拟)已知an是等比数列,a22,a5,则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析:a22,a5,a14,q.a1a2a2a3anan1(14n)答案:C(2)已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列,则的值为_解析:设a,b,c,d是方程(x2mx

10、2)(x2nx2)0的四个根,不妨设acdb,则abcd2,a,故b4,根据等比数列的性质,得到:c1,d2,则mab,ncd3,或mcd3,nab,则或.答案:或对应学生用书P87 等差、等比数列综合问题的规范答题(2013高考全国新课标)已知等差数列an的公差不为零,a125,且a1,a11,a13成等比数列(1)求an的通项公式;(2)求a1a4a7a3n2.【审题视点】(1)先设出公差d,根据已知条件求出公差,可得出通项公式;(2)所求的和构成了一个新的数列,求出该数列的首项和公差,运用数列的前n项和公式求解【思维流程】依等差数列设未知量,依等比数列建立等式关系求d,求通项判断a3n2

11、为等差数列依据公式求和【规范解答】(1)设an的公差为d,由题意得aa1a13,即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125,所以d0(舍去),d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31,故a3n2是首项为25,公差为6的等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.【规范建议】本题求等差数列an,就设等差数列中的未知量,用等比数列建立关于d的方程,分清两个使用层次在第二问中,必须指明数列a1,a4,a7,a3n2所具有的特点1(2013高考全国大纲卷)已知数列an满足3an1an0,a2,则an的前10项和等于(

12、)A6(1310)B.(1310)C3(1310) D3(1310)解析:选C.先根据等比数列的定义判断数列an是等比数列,得到首项与公比,再代入等比数列前n项和公式计算由3an1an0,得,故数列an是公比q的等比数列又a2,可得a14.所以S103(1310)2(2013高考福建卷)已知等比数列an的公比为q,记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,nN*),则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列,公差为qmB数列bn为等比数列,公比为q2mC数列cn为等比数列,公比为qm2D数列cn为等比数列,公比为qmm解析:选C.

13、计算出bn,cn,并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型bna1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1a1qm(n1)(1qqm1)a1qm(n1),qm,bn是等比数列,公比为a1qm(n1)a1qm(n1)1a1qm(n1)m1aqm2(n1),是等比数列,公比为qm2.3(2013高考北京卷)若等比数列an满足a2a420,a3a540,则公比q_;前n项和Sn_解析:设出等比数列的公比,利用已知条件建立关于公比的方程求出公比,再利用前n项和公式求Sn.设等比数列an的首项为a1,公比为q,则:由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2,a12.故Sn2n12.答案:22n124(2013高考广东卷)设数列an是首项为1,公比为2的等比数列,则a1|a2|a3|a4|_解析:由首项和公比写出等比数列的前4项,然后代入代数式a1|a2|a3|a4|求值也可以构造新数列,利用其前n项和公式求解方法一:a1|a2|a3|a4|1|1(2)|1(2)2|1(2)3|15.方法二:因为a1|a2|a3|a4|a1|a2|a3|a4|,数列|an|是首项为1,公比为2的等比数列,故所求代数式的值为15.答案:15

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