1、一、选择题1由曲线 y x，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.103 B4C.163D6解析：由 y x及 yx2 可得，x4，所以由 y x及 yx2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为40 xx2dx23x3212x22x|40163.答案：C2(2011 年湖南)由直线 x3，x3，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为()A.12B1C.32D.3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分33cosxdxsin x33 3.答案：D322(1cos x)dx 等于()A B2C2 D2解析：22(1cos x)dx(xsin x)|222sin 2 2sin
2、2 2.答案：D4由曲线 yx2，yx3 围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712解析：如图，所求封闭图形面积为S01(x2x3)dx13x314x4 101314 112.答案：A5如图，阴影部分的面积是()A2 3B2 3C.323D.353 解析：设阴影部分面积为 S，则 S13(3x2)2xdx(3xx33 x2)13323，故选 C.答案：C二、填空题6从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分的概率为_解析：根据题意得：S 阴013x2dxx3101，则点 M 取自阴影部分的概率为S阴S矩 13113.答案：137设 yf(x)为区
3、间0,1上的连续函数，且恒有 0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分01f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间0,1上的均匀随机数 x1，x2，xN 和 y1，y2，yN，由此得到 N 个点(xi，yi)(i1,2，N)再数出其中满足 yif(xi)(i1,2，N)的点数 N1，那么由随机模拟方法可得积分01f(x)dx 的近似值为_解析：由均匀随机数产生的原理知：在区间0,1满足 yif(xi)的点都落在了函数 yf(x)的下方，又因为 0f(x)1，所以由0 x10y1yfx围成的图形面积是N1N，由积分的几何意义知01f(x)dxN1N.答案：N1N8已知一次函数 f(x)的
4、图象经过(3,4)点，且10f(x)dx1，则 f(x)_.解析：设 f(x)kxb(k0)，因为图象过点(3,4)，所以 3kb4.又10f(x)dx10(kxb)dxk2x2bx|10k2b1，所以由得 k65，b25.故 f(x)65x25.答案：65x259一物体以 v(t)t23t8(m/s)的速度运动，在前 30 s 内的平均速度为_解析：由定积分的物理意义有：s030(t23t8)dt(13t332t28t)|3007 890(m)v st7 89030 263(m/s)答案：263 m/s三、解答题10设 f(x)axb 且f2(x)dx1，求 f(a)的取值范围解析：f(x)
5、axb，f2(x)a2x22abxb2.f2(x)dx(13a2x3abx2b2x)|1123a22b21，2a26b23，a2323b20，22 b 22.f(a)a2b323b2b3(b16)21912，22 b 22，22 f(a)1912.故 f(a)的取值范围是 22，191211如图所示，直线 ykx 分抛物线 yxx2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值解析：抛物线 yxx2 与 x 轴两交点的横坐标 x10，x21，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积S01(xx2)dx(x22 x33)|10121316.由此可得，抛物线 yxx2 与 ykx 两交点的横坐标
6、为 x10，x21k，所以，S21k0(xx2kx)dx(1k2 x2x33)|1k016(1k)3，又知 S16，所以，(1k)312.于是 k13 1213 42.12如图所示，已知曲线 C1：yx2 与曲线 C2：yx22ax(a1)交于点 O、A，直线 xt(0t1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B，连接 OD、DA、AB.(1)写出曲边四边形 ABOD(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 Sf(t)；(2)求函数 Sf(t)在区间(0,1上的最大值【解析】(1)由yx2，yx22ax，解得x0，y0，或xa，ya2，.O(0,0)，A(a，a2)又由已知得 B(t，t
7、22at)，D(t，t2)，S0t(x22ax)dx12tt212(t22att2)(at)(13x3ax2)|t012t3(t2at)(at)13t3at212t3t32at2a2t16t3at2a2t.Sf(t)16t3at2a2t(0t1)(2)f(t)12t22ata2，令 f(t)0，即12t22ata20.解得 t(2 2)a 或 t(2 2)a.0t1，a1，t(2 2)a 应舍去若(2 2)a1，即 a12 22 22时，0t1，f(t)0.f(t)在区间(0,1上单调递增，S 的最大值是 f(1)a2a16.若(2 2)a1，即 1a2 22时，当 0t(2 2)a 时，f(t)0.当(2 2)at1 时，f(t)0.f(t)在区间(0，(2 2)a上单调递增，在区间(2 2)a,1上单调递减f(t)的最大值是f(2 2)a)16(2 2)a3a(2 2)a2a2(2 2)a2 223a3.综上所述 f(t)maxa2a16 a2 22，2 223a31a2 22.