1、第六章 不等式 第1讲 不等式的概念与性质 课标要求考情风向标通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题1.两个实数比较大小的方法作差法abab0abab0abab0作商法ab1ab(a，b0)ab1a0)ab1ab(a，b0)性质性质内容特别提醒对称性abbb，bc_可加性abacbc可乘性注意 c 的符号2.不等式的基本性质abc0 acbcabc0 _acacbc性质性质内容特别提醒同向可加性同
2、向同正可乘性可乘方性ab0an bn(nN，n2)a，b 同为正数可开方性(续表)abcd acbdab0cd0 ac_bdab0 n a n b(nN，n2)1.若 ab0，cdbcB.adbdD.acbdab0.其中能推出1ab，cbd；ab0，cdbd；A.B.C.D.ab1ab3 a3 b.解析：利用不等式的同向可加性可知正确；对根据不等式的性质可知 acb，但1a1b，故不正确，故选 C.答案：Ca，b 的值依次为_.4.(2018 年北京)能说明“若 ab，则1ab，cd，则 acbd；若 ac2bc2，则 ab；若 ab，cd，则 acbd.其中正确的个数是()A.1B.2C.3
3、D.4若 ab，则1ab 且1a1b，错；当 a2，b1，c0，d2 时，ab，cd 但 acb，则(A.ln(ab)0C.a3b30)B.3a|b|解析：若 ab，则 ab0，ln(ab)0 和|a|b|不一定成立；显然 3a3b.函数 f(x)x3 单调递增，即 a3b3.答案：C(3)(多选)下列命题中，错误的是()C.若ac2bc2，则 ab，cd，则 acbdB.若 acbc，则 abD.若 ab，cd，则 acbd解析：取 a2，b1，c1，d2，可知 A 错误；当 cbcab，B 错误；取 ac2，bd1，可知 D 错误.答案：ABDac20，ab，C 正确；(4)记方程：x2a
4、1x10，方程：x2a2x20，方程：x2a3x40，其中 a1，a2，a3 是正实数.当 a1，a2，a3)成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是(A.方程有实根，且有实根B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根D.方程无实根，且无实根答案：B解析：当方程有实根，且无实根时，a214，a228，从而 a3a22a1824，a3b，ab01a1b.a0b1ab0,0cbd.0axb 或 axb01b1xb0，m0，则babmam(bm0)；abambm；ab0).考点 2 利用作差比较大小例 2：(1)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相
5、同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为 x，y，z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为 a，b，c，且 abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(A.axbyczC.aybzcx)B.azbycxD.aybxcz解析：由 xyz，ab0，故 axbyczazbycx；同理，aybzcx(aybxcz)b(zx)c(xz)(xz)(cb)0，故 aybzcxaybxcz.azbycx(aybzcx)a(zy)b(yz)(ab)(zy)0，故 azbycxaybzcx.故最低费用为 azbycx.故选 B.答案：B(2)(2019 年北京)李明自主创业，在
6、网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%.当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_.思维点拨：由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨 论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 x 的最大值.解析：x10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支 付(6080
7、)10130(元).设顾客一次购买水果的促销前总价为 y 元，y120 元时，李明得到的金额为 y80%，符合要求.y120 元时，有(y x)80%y70%恒成立，即 8(y x 的最大值为 15 元.答案：13015x)7y，xy8，即 xy8 min15(元).(3)已知等比数列an的公比 q0，其前 n 项和为 Sn，则 a9S8与 a8S9 的大小关系是()A.a9S8a8S9C.a9S8a8S9D.a9S8 与 a8S9 的大小关系与 a1 的值有关答案：B解析：a9S8a8S9a1q8a1 1q81qa1q7a1 1q91qa211qq8q7 a21q70，a9S8a8S9.【规
8、律方法】作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号.作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的.常用的变形方法有配方法、通分法、因式分解法等.有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等.总之，变形到能判断出差的符号为止.考点 3 利用作商比较大小列，则(A.d0C.a1d0D.a1d0例 3：设等差数列an的公差为 d，若数列12na a 为递减数解析：由已知，得12na a 112na a ，即11122nna aa a 1,11()2nna aa 1，又anan1d，故12a d1，从而 a1d0.故选 C.答案：C【规律方法】利用作
9、商法判断数列的单调性.所谓作商法：若 B0，欲证 AB，只需证AB1.其步骤为：作商式、商式变形、判断商值与 1 的大小关系.指数不等式常用作商法证明.有时要用到指数函数的性质.如若 a1，且 x0，则 ax1 等.【跟踪训练】1.比较 1816 与 1618 的大小.解：18161618181616 11629816 121698 216.98 2(0,1)，98 2161.16180，18161618.难点突破利用不等式的性质求范围问题例题：(2017 年山东青岛模拟)设 f(x)ax2bx，若 1f(1)2，2f(1)4，则 f(2)的取值范围是_.思维点拨：(1)应用同向不等式可以相加
10、这一性质求解；(2)用 f(1)和 f(1)表示 f(2)，也就是把 f(1)，f(1)看作一个整体求 f(2)，或用待定系数法求解.解析：yf(x)ax2bx，f(1)ab，f(1)ab.方法一(待定系数法)，设 f(2)mf(1)nf(1)，又 f(2)4a2b，4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b，f(2)3f(1)f(1).又 1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.故 5f(2)10.可得mn4，nm2，解得m3，n1.方法二(方程思想)，由f1ab，f1ab，得a12f1f1，b12f1f1，f(2)4a2b3f(1)f(1).又 1f(1)2,2f(1)
11、4，53f(1)f(1)10.故 5f(2)10.答案：5,10【规律方法】若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要 把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过 程中还要注意不等式链中的隐含条件，本例中若直接求出 a，b范围，再求 f(2)范围，会因扩大范围而出错.【跟踪训练】2.已知 1ab5，1ab3，则 3a2b 的取值范围是_.解析：设 3a2bm(ab)n(ab)，则 3a2b(mn)a(mn)b，mn3，mn2，解得m12，n52.3a2b12(ab)52(ab).答案：(2,10)又1ab5，1ab3，1212(ab)52，5252(ab)152.23a2b10.1.准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化；不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况，“单向性”主要用于证明不等式，“双向性”主要用于解不等式，解不等式必须是同解变形.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种办法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.3.两个(多个)同向不等式可相加或相乘(注意限制条件)，但不能相减或相除.在求差或商的时候，可根据差、商分别是和、积的逆运算，先进行转化，再利用不等式的性质转化为同向不等式的相加或相乘.