1、2020年秋四川省宜宾市第四中学高三第一学月考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，10以内的素数，则 A BCD2已知是实数，是纯虚数，则 等于 ABCD3已知，则，的大小关系是 A B C D4已知数列是正项等比数列
2、，满足，则数列的通项公式 ABCD5若实数满足约束条件，则的最小值是 ABCD146已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是 ABCD7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 A41B42C43D448已知，则“”是“是直角三角形”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9函数的最小正周期为，若其图象
3、向右平移个单位后得到函数为奇函数，则函数的图象 A关于点对称B在上单调递增C关于直线对称D在处取最大值10已知、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为，则的最大值是 ABCD11已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足，则C的方程为 ABCD12意大利数学家斐波那契（1175年1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为（设是不等式的正整数解，则的最小值为 A10B9C8D7第II卷 非选择题（90分）二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
4、。13已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，1）在角的终边上，则sin2_14已知，则_15已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点，则双曲线的离心率为_ .16已知三校锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、分别是、的中点，且，则球的表面积为_.三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17（12分）在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.18（12分）如
5、图，三棱柱中，底面为等边三角形，E，F分别为，的中点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小.19（12分）当今世界科技迅猛发展，信息日新月异为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表：借阅科技类图书（人）借阅非科技类图书（人）年龄不超过50岁2025年龄大于50岁1045（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本
6、非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书用表中的样本频率作为概率的估计值（i）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期望；（ii）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？附：K2，其中na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820（12分）已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，求与的面积的积的取值范围.21（12分）已知函
7、数，其中e为自然对数的底数.（1）若函数的极小值为，求的值；（2）若，证明：当时，成立.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）设射线l的极坐标方程为，若射线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长；（2）设M，N是曲线C上的两点，若MON，求的面积的最大值23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）解不等式：；（2）若a，b，c均为正数，且，证明：.2020年秋四川省宜宾市第四中学高三
8、第一学月考试理科数学参考答案1D2D3A4D5B6A7A8D.9A10D11D12C131415或1617（1）解法一：由得，即所以，为锐角，即解法二：由得，即所以即，即为锐角，所以. （2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，当且仅当时取等号成立.，故的面积最大值为.解法二：，由正弦定理，得所以，-由因为，则当即时，故的面积最大值为.18（1）证明：设，则，点E为棱的中点，.三棱柱的侧面为平行四边形，四边形为矩形，点F为棱的中点，.三棱柱的底面是正三角形，E为的中点，.，且平面，平面，且，相交，平面，平面，平面.（2）由（1）可知平面，平面，三棱柱是正三棱柱，设的中点为M，则直线，两两垂直
9、，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，.设平面的一个法向量为，则，则，则，不妨取，则，则，所以，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，则直线与平面所成角的大小为.19解：（1）K28.1296.635，所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i）因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率P，因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量，所以随机变量的可能取值为3，4，5，6，P（3）P（4）P（5）P（6），从而的分布列为： 3 4 5 6 P 所以E（）34563.9；（ii）记16人
10、中借阅科技类图书的人数为X，则随机变量X满足二项分布XB（16，）设借阅科技类图书最有可能的人数时k（k0，1，2，16）则，而，解得4.1k5.1，故k5，所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人20（1）因为曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3，所以曲线上的点到的距离和它到直线的距离相等，故曲线是为焦点，为准线的抛物线，故.（2）由题设知：，则，设，在轴上方，与联立，得，则，由，得时，则；时，则，故，联立消，得，解得，将代入，方程，两式相加得，解得，到的距离，与的面积的积的取值范围是.21（1）函数的定义域是R，时，对恒成立，在R上单调递减，函数无极值，时，令，解得：，令，解得：，在
11、上单调递减，在上单调递增，时，取极小值-1，即，令，则，在上单调递增，；（2），令，令，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，时，取得极小值，又，存在使得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，时，即，令，则对于恒成立，在上单调递增，即当时，时，故时，成立.22解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，其为过原点的圆整理得，其为过坐标原点的圆，根据转换为极坐标方程为，整理得，射线l的极坐标方程为与曲线C相交于A和B两点，由于射线l：过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点，所以，得；（2）设M，N，由于直线OC的斜率为，又圆C过原点，故过原点与圆C相切的切线的斜率为k，从而，得，当，即时，的最大值为123（1）函数.当时，解得，故.当时，46，恒成立.当时，解得，故，所以不等式的解集为.（2）由（1）知：，所以：，所以，所以，所以.当且仅当时，等号成立.所以.