1、第三节基本不等式【考纲下载】1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同号)ab2(a，bR)；2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值P，那么当且仅当xy时，x
2、y有最大值是(简记：和定积最大)1有人说：(1)函数yx的最小值是2；(2)f(x)cos x，x的最小值是4；(3)当a0时，a3的最小值是2.你认为这三种说法正确吗？为什么？提示：不正确(1)中忽视了条件x0；(2)中cos x(0,1)，利用基本不等式求最值时，“”不能成立；(3)2不是定值2x0且y0是2的充要条件吗？提示：不是当x0且y0时，2；但2时，x，y同号即可1下列不等式中正确的是()A若aR，则a296a B若a，bR，则2C若a，b0，则2lglg alg b D若xR，则x21解析：选Ca0，b0，.2lg2lglg ablg alg b.2若x0，y0，且xy，则xy
3、的最大值为()A. B2 C. D.解析：选Dx0，y0，xy2，即，xy.3已知x0，y0，z0，xy2z0，则的()A最小值为8 B最大值为8C最小值为 D最大值为解析：选D.当且仅当，即x2z时取等号4若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是_(填写所有正确命题的序号)ab1；a2b22；a3b33；2.解析：令ab1，可排除命题；由2ab2，得ab1，故命题正确；a2b2(ab)22ab42ab2，故命题正确；2，故命题正确答案：5某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到
4、每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)2 20，当且仅当，即x80(x0)时，等号成立故每批应生产产品80件，可使f(x)最小答案：80考点一利用基本不等式证明不等式 例1已知a0，b0，ab1，求证：8.自主解答2，ab1，a0，b0，2224，8.【互动探究】保持例题条件不变，证明： 2.证明：a0，b0，且ab1， 2.当且仅当a1，b1，即ab时等号成立【方法规律】利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件对待证明的
5、不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明设a、b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a、b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号.高频考点考点二 利用基本不等式求最值1利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题2高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值；(3)构造不等式求最值例2(1)(2013福建高考)若2x2y1，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，) D(，2(2)(2013山
6、东高考)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3(3)(2013天津高考)设ab2，b0，则的最小值为_自主解答(1)因为2x0,2y0，所以12x2y22，故，即2xy22，所以xy2.(2)由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x、y、z为正实数，4，当且仅当x2y时取等号，此时z2y2.221，当1，即y1时，上式有最大值1.(3)ab2，b0，b2a0，得a2.令t，当0a2时，t2 ，当且仅当，即b2a，a(0,2)时，t取得最小值为.当a，的最小值为.答案(1)D(2)B(3)利用基本不等式求最值问题的常见类型及
7、解题策略(1)知和求积的最值求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，x222 24，当且仅当x，即x1时等号成立2已知a，bR，且ab1，则的最小值为_解析：52549.当且仅当ab时，取等号答案：93(2013
8、四川高考)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：x0，a0，f(x)4x2 4，当且仅当4x时等号成立，此时a4x2，由已知x3时函数取得最小值，所以a4936.答案：36考点三基本不等式的实际应用 例3为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投
9、入两部分)(1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？自主解答(1)由题意有14，得k3，故x4.故y1.5x(612x)t36xt36t27t(t0)(2) 由(1)知：y27t27.5. 基本不等式26，当且仅当t，即t2.5时等号成立故y27t27.527.5621.5.当且仅当t，即t2.5时，等号成立，y有最大值21.5.所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元【方法规律】解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数
10、(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求(4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值某单位建造一间地面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，房顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？解：由题意可得，造价y35
11、 8009005 800(00)逆用就是ab2(a，b0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等2个变形基本不等式的变形 (1)2ab(a，bR，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)3个注意点利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 易误警示(九
12、)忽视基本不等式成立的条件致误典例(2014徐州模拟)已知正数a，b满足2a2b23，则a的最大值为_解题指导a.解析aa(2a2b21)(31).当且仅当a，且2a2b23，即a21，b21时，等号成立所以a的最大值为.答案名师点评1.本题易错解为：因为a(a2b21)2，等号成立的条件是a，即a2，b2，所以a的最大值为.错误的原因是：(a2b21)不是定值，不符合利用基本不等式的前提2利用基本不等式求积的最大值时，要保证和为定值；求和的最小值时，要保证积为定值定值是利用基本不等式的前提已知正实数x，y满足xy1，则的最小值为_解析：依题意知，1122 4，当且仅当xy1时，等号成立，故的
13、最小值为4.答案：4全盘巩固1下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0) Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR) D.1(xR)解析：选C对选项A，当x0时，x2x20，lglg x，故不成立；对选项B，当sin x0时显然不成立；对选项C，x21|x|212|x|，一定成立；对选项D，x211，00，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 B.C.2 Da2b22ab解析：选C因为ab0，所以0，0，即2 2(当且仅当ab时等号成立)3函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10，yx122 222，当且仅当x1，即x1时取等号所以函数y(x
14、1)的最小值为22.4(2014汉中模拟)已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C. D.解析：选B依题意得x11,2y11，易知(x1)(2y1)9，则(x1)(2y1)226，当且仅当x12y13，即x2，y1时取等号，因此有x2y4，所以x2y的最小值是4.5(2014宁波模拟)若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析：选C由x0，y0，知4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，所以12xy3xy30，即xy2.6已知两条直线l1：ym和l2：y(m0)，l1与函数y|log2x|
15、的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为()A16 B8 C8 D4解析：选B数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，)内，而且xCxA与xBxD同号，所以，根据已知|log2xA|m，即log2xAm，所以xA2m.同理可得xC2，xB2m，xD2，所以2m，由于m4，当且仅当，即m时等号成立，故的最小值为28.7已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_解析：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，
16、即的最大值为2；又，因此有2，即的最小值为2.答案：28已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是_解析：x0，y0，且1，x2y(x2y)442 8，当且仅当，即4y2x2，x2y时取等号，又1，此时x4，y2，(x2y)min8，要使x2ym22m恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即8m22m，解得4m0，y0，且2x8yxy0.求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)x0，y0，xy2x8y2，即xy8，8，即xy64.当且仅当2x8y，即x16，y4时等号成立xy的最小值为64.(2)x0，y0，且2x8yxy0，2x8yxy，即1.xy(
17、xy)10102 18，当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值为18.11已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.12某种商品原来每件定价为25元，年销售量8万件(1)据市场调查，若每件商品的价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原
18、收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高每价商品的价格到x元公司拟投入(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价解：(1)设该商品每件定价为t元，依题意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元(2)依题意，x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价
19、于x25时，ax有解x2 10(当且仅当x30时，等号成立)，a10.2.当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元冲击名校1设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4 C4 D2解析：选C由0，得k，而24(当且仅当ab时取等号)，所以4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值等于4.2已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为_解析：log2alog2blog2ab.log2alog2b1，ab2且a0，b0.3a9b3a32b222218，当且仅当a2b时取等号3a9b的
20、最小值为18.答案：18高频滚动1已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A1 B. C. D.解析：选A当x0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，mn的最小值为1.2设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A(，31，) B3，1C3，1(0，) D3，)解析：选C当x0时，f(x)x2bxc且f(4)f(0)，故函数f(x)图象的对称轴为x2，则b4.又f(2)48c0，c4，当x0时，令x24x41，得3x1；当x0时，f(x)21显然成立，故不等式的解集为3，1(0，)