1、第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图和直观图 课标要求考情风向标1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)从近几年的高考试题来看，对本
2、节内容的考查形式比较稳定，多是将三视图与位置关系融为一体.“三视图”是新课标增加的内容，是近年高考的热点，重点考查画实物三视图(辨析为主)或根据三视图还原实物，并多与面积、体积的计算交汇命题.备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型.要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图多面体1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形(续表)(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转
3、得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到；旋转体(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画.基本步骤是：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中 x轴、y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴垂直.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半2.三视图
4、与直观图1.(2017 年陕西延安黄陵中学)图 8-1-1 所示几何体各自的三)D视图中，有且仅有两个视图相同的是(图 8-1-1A.B.C.D.解析：正方体的三视图都相同，三棱台的三视图各不相同，圆锥、正四棱锥的正视图和侧视图相同，故选 D.2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()ABA.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱3.如图 8-1-2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的)是一个几何体的三视图，则这个几何体是(图 8-1-2A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱4.如图 8-1-3，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四
5、面体 ABCD 的三视图是(用图 8-1-4 所示代表图形)(图 8-1-4)图 8-1-3A.B.C.D.解析：正视图应该是边长为 3 和 4 的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是；侧视图应该是边长为 5 和 4 的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是：俯视图应该是边长为 3 和5 的矩形，其对角线左上到右下实线，左下到右上是虚线.因此俯视图是，故选 B.答案：B考点 1 空间几何体的结构特征例 1：(1)如图 8-1-5，模块均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块中选出三个放到模块上
6、，使得模块成为一个棱长为3 的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为()图 8-1-5A.模块C.模块B.模块D.模块解析：本小题主要考查空间想象能力.如果补，那么后续两块无法补齐，先补齐中间一层，即用补中间一层，然后补齐其他两块.答案：A(2)在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号).矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.解析：如图 D67，四边形 AA1C1C 为矩形；三棱锥 B1-A1BC1就是有三个面为等腰
7、直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体；三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体.图 D67答案：(3)如图 8-1-6(1)，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1，C1D1 的中点，G 是正方形 BCC1B1 的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 8-1-6(2)中的_.(1)(2)图 8-1-6解析：在平面 ABCD 上的投影是题图 8-1-6(2)；在平面ADD1A1 上的投影是图(2)；在平面 DCC1D1 上的投影是图(2).答案：考点 2 几何体的三视图例
8、2：(1)(2018 年新课标)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图 8-1-7 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()图 8-1-7ABCD解析：若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则卯眼在木构件的左中下部，看不见，应该选 A.答案：A(2)(2017 年新课标)某多面体的三视图如图 8-1-8，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干)个是梯形，这些梯形的面积之和为(图 8-
9、1-8A.10B.12C.14D.16解析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如图 D68，则该几何体只有两个相同的梯形的面，则这些梯形的面积之和为 2(24)2212.故选 B.图 D68答案：B(3)如图 8-1-9，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每283，则它的个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是表面积是()图 8-1-9A.17B.18C.20D.28解析：由三视图知，该几何体是78个球，如图 D69，设球的半径为 R，则 V7843R3283.解得 R2.它的表面积是78422342217.故选 A.图 D69答案：A(4)(2017 年新课标)如图 8
10、-1-10，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平)面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为(图 8-1-10A.90B.63C.42D.36解析：构造相同的几何体互补成一个底面半径为 3，高为14 的圆柱，其体积为3214126，该几何体的体积为63.故选 B.答案：B(5)(2019 年北京)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图 8-1-11.如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_.图 8-1-11解析：如图 D70，在棱长为 4 的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱 MPD1A1-NQC1B1 之后余
11、下的几何体，图 D70答案：40几何体的体积 V431224 2440.(6)(2019 年浙江)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 V柱体Sh，其中 S 是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图 8-1-12，则该柱体的体积是()图 8-1-12A.158B.162C.182D.32解析：由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，答案：B则该棱柱的体积为262 3462 3 6162.【规律方法】(
12、1)画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线.(2)由三视图还原几何体的方法：考点 3 几何体的直观图图 8-1-13例 3：(1)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图8-1-13，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴.已知四边形ABCD 的面积为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为_.答案：8 cm2解析：方法一，依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，原平面图形的面积为 8 cm2.方法二，
13、依题意可知，S直观图2 2 cm2，故 S原图形2 2S 直观图8(cm2).(2)已知正ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图A BC的面积为()A.34 a2B.38 a2C.68 a2D.616a2解析：图 8-1-14(1)(2)所示的是ABC 的实际图形和直观图.图 8-1-14答案：D由斜二测画法知，ABABa，OC12OC 34 a.在图 8-1-14(2)中作 CDAB于点 D，则 CD 22 OC 68 a.SABC12ABCD12a 68 a 616a2.【规律方法】用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；
14、将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则.本题采用斜二测画法作其直观图时，底不变，第三个顶 点在 y轴上，长度为原高的一半，但它还不是高(夹角为 45)，新三角形的高是原高的 24 倍，直观图的面积是原三角形面积的 24 倍.易错、易混、易漏 将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例题：(1)在如图 8-1-15 所示的空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为、的四个图(图 8-1-16)，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图 8-1-15图 8-1-16A.和B.和C.和D.和解析
15、：在图 8-1-17 所示空间直角坐标系中，构建棱长为 2的正方体，设 A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则 ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选 D.图 8-1-17答案：D【名师点评】对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图.另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误.(2)刍甍，中国古代算术中的一种几何形体，九章算术中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.
16、”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图 8-1-18 为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建)它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为(图 8-1-18A.24 B.32 5 C.64 D.32 6答案：B解析：刍甍即为茅草屋顶，从俯视图可以看出该茅草屋顶由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，需要的茅草面积即为该几何体的侧面积，即两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形的面积.其中等腰梯形的上底长为 4，下底长为 8，高为 42222 5；等腰三角形的底边长为 4，高为4222 2 5.故 侧 面 积 为
17、S 2 4822 5 21242 5 32 5.即需要的茅草面积至少为 32 5.【失误与防范】应注意侧面等腰三角形的高、等腰梯形的高、该几何体的高，这三者不一样，侧面等腰三角形的高可以在正视图中利用勾股定理求解，侧面等腰梯形的高可以在侧视图中求解，转化的基本思路就是把空间问题转化为平面问题进行求解.1.要明确柱体、锥体、台体和球的定义，定义是处理问题的关键；认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基础.旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要清楚圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质.2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同.3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.4.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于 x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半.”