1、宁夏育才中学20162017学年第二学期高二年级理科数学期中试卷选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.是虚数单位，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以复数的虚部是，应选答案A。2. 设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：“若”，则“复数为纯虚数”；若复数为纯虚数，则，且，可得，故“”是“复数为纯虚数”的充分必要条件.考点：命题的充要性判断.3. 已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C
2、【解析】因为，所以，则从到所走的路程是是，应选答案C。4. 观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则等于()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。5. 给出下面类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）：“若，则”类比推出“若，则”；“若，则复数”类比推出“若，则”；“若，则”类比推出“若，则”. 其中类比结论正确的个数是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为复数不能比较大小，所以命题是不正确的；命题，都是正确的，应选答案C。6. 用数学归纳法证明等式，验证时，左边应取的
3、项是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由数学归纳法的证明步骤可知：当时，等式的左边是，应选答案D。7. 若直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D。8. 已知是虚数单位，复数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，由定积分公式，故，即，应选答案A。.9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数在区间内单调递增；函数在区间内单调递减；函数在区间内单调递增；当时，函数有极小值；当时，函数有极大值则上述判断中正确的是()A. B. C. D. 【答案】B
4、【解析】对于命题，因为在区间，导数值有正也有负，所以单调递增、单调递减都有可能，故不正确；对于命题，在区间上导数值有正也有负，所以函数单调递增、单调递减都有可能，故不正确；对于命题，由于在区间上导函数的值是正的，故单调递增，命题正确；对于命题，当 时，导函数值是正的，当 时，导函数值是负的，所以取极大值，故命题不正确；对于命题，由于不是极值点，故函数没有极值，因此命题是错误的，应选答案B。点睛：解答本题的思路是借助所学的知识，运用分析验证的方法对题设中所提供的5个命题，从正反两个方面进行分析推证，从而排除错误的答案，肯定正确的答案，使得问题简捷、明快获解。10. 如图所示的阴影部分是由轴，直线
5、及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.考点：几何概型、定积分11. 若函数，则与的大小关系是( )A. B. C. D. 不确定【答案】C【解析】因为，所以，取，则，即，故，则，故函数是单调递增函数，而，故，应选答案C。点睛：解答本题的关键是判定函数的单调性，而障碍是的值，求解时先对函数求导，再赋值，建立方程然后 解方程求得，进而求得，借助求导公式得到，进而判定出函数是单调递增函数，使得问题获解。12. 设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（为自然对数的底数）的解集为( )
6、A. B. C. D. 【答案】D【解析】构造函数，则，即函数是单调递增函数，取，则，故不等式可化为，则由函数的单调递增可得，故不等式，应选答案D。点睛：解答本题的关键是如何构造函数，构造怎样的函数符合题设条件。求解时，通过深入的思考和细心的观察函数符合题设中的要求，然后借助求导公式和法则，先依据题设判定出函数的单调性是单调递增函数，再将不等式进行等价转化为，最后借助函数单调性建立 不等式，使得问题巧妙获解。二填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. _【答案】【解析】由定积分公式，应填答案。14. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同
7、学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”丁说：“是作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_【答案】【解析】若甲同学说的话是对的，则丙、丁两位说的话也是对的；若丁同学说的话是对的，则甲、丙两位说的话也是对的，所以只有乙、丙两位说的话是对的，所以获得一等奖的作品是B15. 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为_【答案】【解析】试题分析：因为函数，即f1（x）=所以，考点：本题主要考查学生的学习能力，分段函数的概念及定积分计算，分式不等式解法。点评：中档题，在
8、理解题意的基础上，确定分段函数的解析式，并对分段函数进行定积分计算。16. 已知函数在时有极值，则_【答案】【解析】因为，所以，则解之得或，当时，是单调递增函数，无极值，故应舍去；当时， ，应填答案。点睛：解答本题的关键是借助函数在处取极值建立方程组，通过解方程组求得或，容易出错的是不对这两组解进行检验，直接获得或这两种答案的错误，其实只要通过检验容易发现，当时，是单调递增函数，无极值，故应舍去。解答题（本题共6小题，共70分）17. 用反证法证明：在中，若，则必为锐角【答案】详见解析【解析】【试题分析】运用反证法进行证明：先假设不是锐角，即，再运用不等式的性质推得，借助正弦函数的单调性获得，
9、找出矛盾。证明：假设不是锐角，则，即，这与已知矛盾，故必为锐角点睛：反证法是间接证明中的重要方法之一，这种方法的关键是先假设问题的结论不成立，然后以此为假设为前提，运用所学知识进行分析推证，推出与题设或已知事实相冲突的结论，找出矛盾之所在。本题在推证时，先 假设不是锐角，即，再借助已知事实，运用不等式的性质获得，再运用正弦函数的单调性推出，即，从而找出与已知的矛盾，从而使得问题间接获证。18. 设复数，若，求实数的值【答案】【解析】本试题主要考查了复数的四则法则的运用。利用变形为，然后利用乘法和除法公式得到得到结论。19. （1）求的单调区间；（2）求函数在上的最值【答案】（1）函数的单调增区
10、间是，单调递减区间是；（2）在上的最大值是，最小值是【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。（1）因为依题意得，定义域是，然后求解，结合二次不等式得到单调区间。（2）在第一问的基础上可知知道极值，然后比较机制和端点值的大小得到结论。解：依题意得，2分定义域是3分（1）5分令，得或，令，得7分由于定义域是，函数的单调增区间是，单调递减区间是8分（2）令，得，9分由于，11分在上的最大值是，最小值是14分20. 已知数列的前项和为，且，（1）写出，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出的表达式【答案】（1），猜想；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先根据数列的前项的
11、和求得，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出；（2）利用数学归纳法证明猜想成立，由可直接求出的表达式.试题解析：（1）解：猜想证明：（1）当时，等式成立。假设当时，等式成立，即。当时， 时，等式也成立。综上1）2）知，对于任意，都成立。又点睛：本题主要考查了数列的递推式数列的递推式是高考中常考的题型，涉及数列的通项公式，求和问题，归纳推理与数学归纳法证明等式等问题；数学归纳法的注意事项：明确初始值并验证真假； “假设时命题正确”并写出命题形式；分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别弄清左端应增加的项；明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配
12、方等，并用上假设.21. 已知函数（1）当时，求函数的极值点；（2）记，若对任意都有成立，求实数的取值范围【答案】（1）的极小值点为；无极大值点；（2）.【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，求出极值点，再借助导数值与函数的单调性之间的关系说明该极值点是极小点；（2）先将不等式进行等价转化，再构造函数，借助导数知识及分类整合思想分析探求函数的最小值小于等于零：（1），定义域为，令，得，递减极小值递增的极小值点为；无极大值点。（2）由题得，对任意，恒有，令，则，其中，当时，恒有，所以，函数单调递增，成立；当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增；为函数的最小值，又，所以不成立综上所述， 22
13、. 已知函数（1）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）若是函数的极值点，求函数在上的最大值；（3）在(2)的条件下，是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有个交点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）a0；（2）(7，3)(3，).【解析】【试题分析】（1）先对函数求导得f(x)3x22ax3，再将问题转化为在1，)上恒有f(x)0，从而求出实数a的取值范围；（2）先借助题设极值点是建立方程求出a4，再运用导数知识求出其最大值；（3）先将问题转化为方程x34x23xbx恰有3个不等实根，进而转化为方程x24x(3b)0有两个非零不等实根，然后运用二次方程
14、的根与系数之间的关系及判别式建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解： (1)f(x)3x22ax3，f(x)在1，)上是增函数，在1，)上恒有f(x)0.1且f(1)2a0.a0.(2)由题意知f0，即30，a4.f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30得x或x3.f(4)12，f(3)18，f，f(1)2，f(x)在a,1上的最大值是f(3)18.(3)若函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x34x23xbx恰有3个不等实根x0是其中一个根，方程x24x(3b)0有两个非零不等实根b7且b3.满足条件的b存在，其取值范围是(7，3)(3，)点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先对函数求导得f(x)3x22ax3，再将问题转化为在1，)上恒有f(x)0，从而建立不等式组求出实数a的取值范围；解答本题的第二问时先借助题设极值点是建立方程求出a4，再运用导数知识求出其最大值；求解第三问时，先将问题转化为方程x34x23xbx恰有3个不等实根，进而转化为方程x24x(3b)0有两个非零不等实根，然后运用二次方程的根与系数之间的关系及判别式建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解：